实数的最佳逼近

阿基洣德曾用“逼近”的思想，求出圆周率π满足：

3 10 ＜π＜3 1

1 22

71 7

22

其中3 7 =

7 只比π的真值大0.04％，因此用 7

代替π对于人类的日常生活

是足够了！所以历史上称 22 为π的“约率”。

7

但约率并不是最接近π的分数。不过，在分母小于 100 的分数中，再也

找

不到第二个比它更接近π了！比

22 333

7 更接近π的下一个分数是 106 ；而分母小

于三万的数中，最接近π的是 355 。

113

355 = 3.14159292

113

它只比π的真值大亿分之八。这个值是由我国南北朝时期的伟大数学家祖冲之（429～500）找到的，通称“密率”。

实际上，还有比密率更接近π的分数，只是分母要更大，它们形成了一串逼近π的分数理，π便是它们的极限！

3， 22 ， 333 ， 355 ， 103993 ，

7 106 113 33102

为了弄清这些渐近分数的规律，我们先介绍一些连分数的知识。

因为任何一个实数都可以通过辗转相除的方法，表为连分数的形式，例

如

87 = 2 + 1

32 1 + 1

2 + 1

1

1 +

= 1.414213562

1 + 1

4

= 1 + 1

2 + 1

2 + 1

1

2 + 2+Ο

5 − 1 = 1

2 1 + 1

1 + 1

1

1 + 1+Ο

同理，我们能够算得

1

= 3 +

7 + 1

1

15 +

1 + 1

1

292 + 1+Ο

连分数其实是特殊的繁分数。很明显，一个有限的连分数代表着一个有理数；反过来，一个有理数也一定能通过辗转相除，化为有限连分数。因而无理数只能表示为无限连分数的形式。公元 1761 年，德国数学家兰伯特（Lambert， 1728～1777）证明了π是个无理数。从而，把π展成连分数，它一定也是无限的！

为节省篇幅，我们简记连分数为：

a 0 +

a1 +

1 = [a 0 ; a1 ,a 2 , ; an ] 1

a 2 +Ο +

n

例如 87 ＝[2；1，2，1，1，4]

32

2＝[1；2，2，2， ]

π＝［3；7，15，1，292，1，⋯⋯］

连分数的截断部分，我们称为渐近分数，简记

Pk

［a ；a ，a ， ，a ］＝

0 1 2 k Qk

一个连分数的渐近分数，可以根据定义加以计算。例如π的各渐近分数，可以依次算得如下：

1 22

[3；7] = 3 + 7 = 7

[3；7，15] = 3 + 1

7 15 [3；7，15，1] = 3 +

= 333

106

1

1

335

= 113

7 + 1

15 + 1

[3；7，15，1，292] = 3 +

1

15 + 1

1

103993

= 33102

1 + 292

⋯⋯ ⋯⋯

其中第二、第四个渐近分数，就是我们前面讲过的约率和密率。假如我们设想 P-1=1，Q-1=0，那么我们便有递推关系式；

Pk = a k Pk-1 + Pk-2

Q = a Q + Q

 k k k-1 k-2

按上述规律，我们可以列表计算如下：

如求ω =

5 − 1

2

的各渐近分数；

ω=[0；1，1，1，1⋯]

所得{Pk}、{Qk}都是一串斐波那契数。

对于熟悉电脑的读者，还可以设计出求任一实数的渐近分数的程序，那可就“一劳永逸”了！

实数 a 的渐近分数的最重要性质是：它一大一小交错着向 a 逼近！即

P0 ＜ P2

0 Q 2

＜ P4

Q 4

＜ P6 ≤a Q6

P1 ＞ P3 Q1 Q3

＞ P5

Q5

＞ P7 ＞ a Q7

而且我们还不难证明

a − ＜ a −

及a − ≤ 1

2

这表明α的渐近分数，一个比一个更加接近于α，且

lim Pn = a

n→∞ Qn

P

渐近分数的逼近是最佳的！意思是说，对α的某一渐近分数 Q ，我们再

也找不到分母比它小而又更接近α的分数了。