黄金比值——0.618

上一世纪中叶，德国心理学家弗希纳曾经做过一次别出心裁的试验。他召开一次“矩形展览会”，会上展出了他精心制作的各种矩形。并要求参观者投票选择各自认为最美的矩形。

入选的四个距形的长与宽，正好都是上一节我们讲到的斐波那契数列中相邻的两个数。它们的比都接近于 0.618。

0.618 这一再出现的神秘数字，终于引起人们的关注。数学家们开始探索这一神奇数字的真正含义！

假定 C 是线段 AB 的一个分点。为了使 C 满足“部分与部分及部分与整体之间的协调一致”，显然必须：

AB∶AC=AC∶CB

令 AB=1，AC=x

则 1∶x=x∶（1-x）

x2+1x-12=0

5 − 1

解得 x = 2 (x＞0)

x 5 − 1

ω = 1 = 2 ≈0.618

瞧！“美的密码”终于露面了！

由于美的密码有许多极为宝贵的性质，所以，人们称 0.618 为“黄金比值”；而导致这一比值的分割，便称为“黄金分割”；C 点则称线段 AB 的“黄金分割点”。一个矩形，如果两边具有黄金比值，则称这样矩形为“黄金矩形”。

黄金矩形的性质也很奇特，它是由一个正方形和另一个小黄金矩形组成。事实上，如果设大黄金矩形的两边 a∶b＝ω，分出一个正方形后，所余小矩形的两边分别为（b-a）和 a，它们的比：

（b－a）∶a = b − 1 =

a

1 − 1

ω

= 1 − 1 = 5 − 1 = ω

5 − 1 2

2

这表明小的矩形也是黄金矩形。

黄金矩形的上述性质，允许我们把一个黄金距形分解为无限个正方形的和！下页图表明了这种分解的过程。有趣的是，这个过程可以用下面的算式表示出来：

ω a a

= b = a + (a + b)

= 1

1 + b − a

a

= 1

1 + a

b

= 1

1

1 + a

1+ b

= 1

1+ 1

1 + 1

1

1 + 1 +

所得的是最为简单的连分数。

容易看出，图中大矩形中各正方形的角点形成两条直线。一条是大矩形的对角线，另一条是小矩形的对角线。这表明这一系列正方形，构成了无穷递缩等比数列！

“黄金比值”这一美的密码，一经被人类掌握，立即成为服务于人类的法宝。艺术家们应用它，创造出更加令人神驰的艺术珍品；设计师们利用它设计出巧夺天工的建筑；科学家们则在科学的海洋尽情地欢奏 0.618 这一美的旋律。

黄金比值，这一造福人类的数字，诚如 17 世纪德国天文学家开普勒所评价的那样：“是几何学的一大宝藏”！