神奇的循环小数

大概所有的中学生都知道，任何一个分数都能化成小数。要么是有限的， 要么是无限循环的。用除法便能得到需要的答案。反过来，一个循环小数一定可以化为有理分数。如：0.16＝0.16＋0.0016＋0.000016＋⋯⋯

• •

0.16 = 0.16 + 0.0016 + 0.000016 +

= 0.16

1 - 0.01

= 16

99

•

1.4 3 = 1.4 + 0.03 + 0.003 + 0.0003 +

14

= 10

0.03

+ 1 − 0.1

= 14 + 3

10 90

= 43

30

不过，我们还有更为巧妙的计算方法：

• •

令 x＝0.16

• •

则 100x＝16.16

即 100x = 16＋x 16

∴ x = 99

•

“0.9 = 1吗？”，这一问题往往引起初学者的疑虑。他们感到明明前

面的数比 1 小，怎么可能等于 1 呢？其实，在他们的脑中是用有限数

去跟1作比较。殊不知，当n趋于无限时有 lina n ＝1

n→∞

有些循环小数具有奇妙的特性，例如：

循环节 142857 是个很有趣的数。当把后面的数码依次调到前头时，所得的数恰是原来的倍数：

714285＝142857×5

571428＝142857×4

857142＝142857×6

285714＝142857×2

428571＝142857×3

其中，最后一道算式，即 1956 年上海市第一届中学生数学竞赛题的答案。原题如下：“设有六位数 labcde，乘以 3 后，变成 abcdel，求这个数”。

由于上题中的位数是确定的，所以可以用代数的方法进行求解。令

x = abcde

则依题意

（105＋x）·3＝10x＋1

解得 x＝42857

不过，倘若所求数的位数不知道，便就有些困难。这类问题在数学游戏中称为“蜻蜓咬尾”。下面便是一道“蜻蜓咬尾”题：一个多位数，最高位是 7，要把头上这个 7 剪下来，接到这个数的尾巴，使得到的新数是原数的七分之一。

这道题可以用蚂蚁啃骨头“的办法，从上式步步推算出结果。所得的是一个长达 22 位的数目

7101449275362318840579

循环小数最为神奇的性质是：分母是质数的分数，若具有偶数循环节， 则其相隔半个循环节长度上的两个数字之和为 9。

n

为什么呢？假定p为质数， p 的循环节长为2s，前半循环节为A，后

半循环节为 B。于是

n ＝0.ABABAB

p

A +

= 10^s

1−

B 102s

1

= A·10^s + B (10^s + 1)(10^s − 1)

102s

很明显 10s－1 不能被 P 整除，因为如若不然有10s－1＝kp

n kn kn 1 1

则 p = 10^s − 1 = 10^s (1 + 10^s

+ 102s )

其循环节长只有 S，这与原来的假定的矛盾。这样，由前面式子知道，P 既不能整除 108-1，则必整除 108＋1

n s

∴ p ·(10

+ 1) =

A(10^s − 1) + A + B 10^s − 1

= A + A + B

10^s − 1

上式左端显然是整数，从而右端也必须是整数。再注意到 A、B 都不大于 108

－1，从而只能：

A＋B = 10^s －1＝914992 439

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