神奇的质数序列

瑞士数学家列昂纳德·欧拉（leonhard Euler，1707～1783）

从 19 岁开始发表论文，直至 76 岁。半个多世纪期间，共写出论文、论

著 868 篇，其中有近 400 篇是在他双目失明的 17 年间靠心算和口述写成的。

在欧拉逝世后，彼德堡科学院为整理他的遗稿，足足忙了 47 年！他勤勉而光辉的一生，为人类智慧的宝库增添了巨大的财富！

欧拉关于质数无限性的精彩证明，绝非欧几里德证明所能相比！ 大家知道，当 o＜X＜1 时，我们有：

1＋x＋x2 ＋x3 ＋

1

= 1- x

，从而

1＋x＋x2 ＋

x n ＜

1

1− x

若P为任一质数，则x = 1 ＜1，有：

P

1 1 1 p

1 + p + p2 + + p n ＜ p − 1

另一方面，在非常著名的自然数倒数的求和式中

1 1 1 1 1

+ 2 + + + +

尽管后来的项越来越小，但其部分和却能无限地增大。事实上，令

1 1 1

A m = 1 + 2 + 3 + + 2m

则有A - A = 1 +

1 + + 1

m+1 m

2m + 1

2m + 2

2 m+1

＞

同理可得：A - A

1

2m+1

＞ 1

  • 2m = 1

2

m m-1 2

1

A m−1－Am－ 2 ＞ 2

1

A 2 －A1＞ 2

1

A 1－A 0 ≥ 2

以上各式相加，并注意到 A0=1 则得：

A m－1

  • 1 m

2

这证明了 Am 当 m 增大时，能够无限地增大。

下面我们回到欧拉关于质数无限性的讨论上来。用反证法，假设质数序列是有限的，它们依序是

2，3，5，7，11，⋯⋯，P于是，我们有：

1 1 1

A m = 1 + 2 + 3 + + 2m

1 1 1 1 1 1

＜ (1 + 2 + 22 + + 2n )·(1 + 3 + 32 + + 3n )

  • (1 1 1 + + 1 ) (1 1 1 + + 1 )

+ 5 + 52 5n + p + p2 pn

这是因为左式分母的每一个数，都可以唯一地分解为若干质数的积，而

这些积都对应着右式展开后的某一个项。当然，在 m 确定之后，我们的 n 必须选择得足够大。显然，右式对任何的 n 都小于 Mp

M = 2 ·

3 · 5 · · P

p 2 - 1

3 − 1

5 − 1

P − 1

而 Mp 是一个固定的数。当 m 取很大时必有

M ＜1 + m

p 2

这样一来，我们同时有一串矛盾的不等式

1 + m ＜A

2

m ＜Mp

＜1 + m

2

这表明原先假定质数序列有限是错误的。这便是欧拉关于质数无限性的证明！这个证明过程，充分体现了无限中有限的思想。

当然，欧几里得的证法，也因首次冲破质数无规律的障碍而载入史册。相同的方法可以用来证明质数序列中存在着很大的间隙。事文上，我们可以随心所欲地挑出一串足够长的连续合数，并把它插在两个质数的间隙之中！

例如，我们希望插入 1000 个连续合数。我们可以先找出第一个大于 1000 的质数 1009，那么以下的 1000 个数：

2×3×5×⋯×1009＋2

2×3×5×⋯×1009＋3

2×3×5×⋯×1009＋4

2×3×5×⋯×1009＋5

⋯ ⋯

2×3×5×⋯×1009＋1001

显然便是连续的合数。这意味着我们在质数序列中，至少找到了 1000 个数的间隙！

虽然质数序列稀稀拉拉，但是，质数之间也不是个个都离得很开。人们也发现了不少紧挨在一起的质数，如：3，5；5，7；11，13；17，19；29， 31；⋯；10016957，10016959；⋯；1000000007，1000000009；⋯。这使得

质数序列显得更加神秘莫测。

公元 1830 年，法国数学家勒让德（Legendre，1752～1833）猜想，小于N 的质数个数π（N）为

π(N ) ～

N

InN

而号称“数学之王”的高斯（Gauss，1777～1855），也几乎同时独立地猜出了这一公式。勒让德和高斯的猜想，具有很高的精确度。

然而，在很长的一段时间里，勒让德和高斯的结论依然停留在猜想上。只是在 20 年之后，大约公元 1848 年，俄国数学家车比雪夫取得了一些积极

成果，但此后又沉寂了半个世纪。直到上世纪末，公元 1896 年，智慧超群的法国数学家阿达玛（Hadamard，1865～1963）和比利时数学家布散（Poussin） 同时独立地取得了这一猜想的严格证明，并称之为“质数定理”。

“质数定理”同时独立地被提出，又同时独立地被证明，这不能不成为数学史上的佳话！鉴于阿达玛的证明需要用到高深的知识，数学家们常常为此感到美中不足。人们为寻找更为简易的证明，又花去了半个世纪。公元 1949 年，质数定理的初等证明终于被找到。

大凡有关质数分布的命题，包括前面讲的质数定理，其证明大都使用到欧拉在证明质数无限性时所创造的方法，这大概就是数学家们为什么对欧拉的证明感到特别赞叹的原因！