康托的“无限理论”

倘若有人告诉你，一根头发丝上的点，和我们生活着的宇宙空间里的点一样多。对此，你可能感到不可思议！其实，只要挣脱“有限”观念的束缚， 上面讲的一切都可能发生！

虽说人类早在二千年前就认识“无限”，但真正接触无限本质的却鲜有其人。第一个有意识触及“无限”实质的，大约要算意大利科学家伽俐略， 他把全体自然数与它们的平方一个对一个对应起来：

1 2 3 4 5 6

β β β β β β

12 22 32 42 52 62

它们谁也不多一个，谁也不少一个，一样多！然而，后者很明显只是前者的一部分。部分怎么能等于整体呢？伽俐略感到迷惑了，但他至死也没能理出一个头绪来！

真正从本质上认识“无限”的，是年轻的德国数学家，29 岁的伯林大学教授乔治·康托（G·Gantor，1845～1918）。他的出色的工作，起于公元1874 年。

康托的研究是从计数开始的。他发现人们在计数时，实际上应用了一一对应的概念。譬如教室里有 50 个座位，老师走进教室，一看坐满了人，他再也无须张三李四地一个个点数，即知此时听课人数为 50。这是因为每个人都

占一个座位，而每个座位都坐着一个人，两者成一一对应。倘若此时空了一些座位，我们立即知道，听课学生少于 50，这是因为“部分小于整体”的缘故。然而这只是有限情形下的规律。对于无限的情形，就像前面讲到的伽俐略例子一样，部分可能等于整体！这，正是无限的本质！

经过深刻的思考，康托教授得出一个重要结论：即如果一个量等于它的一部分量，那么这个量必是无限量；反之，无限量必然可以等于它的某一部分量。

接着，康托教授又引进了无限集基数的概念。他把两个元素间能建立起一一对应的集合，称为有相同的基数。例如伽俐略的例子，自然数集与自然数平方的数集，有着相同的基数。康托教授正是从这些简单的概念出发，得出了许多惊人的结论。

例如，康托证明了在数轴上排得稀稀疏疏的自然数，能够与数轴上挤得密密麻麻的有理数全体，建立起一一对应。也就是说，自然数集与有理数集有相同的基数！

下面是康托的证明。

先把全体有理数按表 1 排列，表中的每一个数都对应着唯一的一个有理数。反之，任何一个有理数也都可以在下表中找到。表的构造细看自明：

现在我们把表中的数，按下页图箭号方向的顺序排成一串长队，删去与前面重复的数后，便得出已经排了队的全体有理数。

0，1，2，－1 1 2，3，4， - 3， 它显然可以与自然数建

， 2 ，－

立一一对应。因此有理数集与自然数集基数相同。

由于自然数集的元素是可以从一开始逐个点数的，所以凡是与自然数集基数相同的集合，都具备可数的特性。显然，可数集基数是继有限数之后紧挨的一个超限数。为叙述方便，康托教授用希伯莱字母“阿列夫”卍，加上下标 0 来表示它。于是，我们有以下的基数序列：

1，2，3，4，5，⋯⋯卍。

这一序列后面还有没有其他的超限基数？答案是肯定的。因为倘若所有的无限集基数都相同，那么康托教授的理论也就无足轻重了！

下面我们再看一些令人惊异的例子。

下图可能是读者所熟悉的，它建立了圆周与直线上点的一一对应。这表明一个有限长圆周上的点，可同无限长直线上的点一样多！

更为神奇的是，我们还能得出，单位线段内的点，能与单位正方形内的点建立起一一对应。这一点远不是人人都很清楚的。大约读者中也会有不少人对此表示诧异！

其实，道理也很简单。设单位正方形内点的坐标（α，β）其 K 中α， β写为十进小数是：

α＝0.a1a2 a 3a 4 a4



β＝0. b1b2 b 3b4

令γ＝0.a1b1a2b2a3b3⋯⋯

则γ必为（0，1）内的点。反过来，单位线段内部的任一点γ*： γ*＝0.c1c2c3c4c5c6c7c8⋯⋯它对应着单位正方形内部的唯一一个点（α

*β*）。

α^*＝0.c1c3c5c7

 *

β ＝0.c2 c4c6 c8

这样，我们也就证明了一块具有一定面积的图形上的点，可同面积为零的线段上的点一样多！

瞧！康托的“无限理论”是多么地奇特，多么地与众不同，又多么地与传统观念格格不入？！难怪康托的理论从诞生的那一天起，便受到了习惯势力的抵制。有人甚至骂他是疯子。连他所敬重的老师，当时颇负盛名的数学家克朗涅克（Krone－cker，1823～1891），也宣布不承认康托是他的学生！ 精神上的巨大压抑，激烈论战的过度疲劳，终于超出康托所能忍受的限度。1884 年，康托的精神崩溃了！此后他时时发病，并于公元 1918 年 1 月 6 日逝世于萨克逊州的一所精神病医院。

然而，历史是公正的。康托的理论并没有因歧视和咒骂而泯灭！如今康托所创立的集合论，已成为数学发展的基础。康托使人类从本质上认识了“无限”。人们将永远缅怀他的不朽功绩！