分牛传说析疑

传说古代印度有一位老人，临终前留下遗嘱，要把 19 头牛分给三个儿子。

1 1 1

老大分总数的 2 ；老二分总数的 4 ；老三分总数的 5 。按印度的教规，

牛被视为神灵，不能宰杀，只能整头分。先人的遗嘱更需无条件遵从。老人死后，三兄弟为分牛一事而绞尽脑汁，终于计无所出，最后决定诉诸官府。官府面对此事一筹莫展，便以“清官难断家务事”为由，一推了之！

话说邻村住着一位智臾。一天，他路过三兄弟家门，见三人愁眉不展， 唉声叹气。动问之下，方知如此这般。但见老人沉思片刻说：“这好办！我有 一

头牛借给你们。这样，总共就有20

1. 10头；老二分 1

头牛。老大分 2 可得 4

可得5

1

头；老三分 5 可得

4头。你等三人共分去19头牛。剩下的一头牛再

还给我！”

真是妙绝了！一个曾经使人绞尽脑汁的难题，竟如此轻松巧妙地得以解决。这自然引起了当时人们的热议，并一时传为佳话，以至流传至今。

不过，后来人们在钦佩之余总带有一丝怀疑。老大似乎只该分 9.5 头，

最后他怎么竟得了 10 头呢？

这件事终于惊动了数学家，他们决心对此弄个水落石出！数学家们进行

了

1 1 1

如下计算： 19头牛按老大 2 ，老二 4 ，老三 5 的份额去分，各人分别可得

19 19

2 头 ， 4

19

头和 5

19

头。这时显然没有分完，还剩下（19－ 2

19 19

－ 4 － 5 ）

＝ 19 头。

20

1 19

所剩的牛自然仍要按遗嘱分给各人。于是老大又得 2 × 20 头；老二又得

1 19 1 19 19

4 × 20 头；老三又得 5 × 20 头。计算一下便知道，牛仍未被分完，还剩 202

头。于是还得再按遗嘱规定去分，如此等等。这个过程可以一直延续到无究， 只是每次所剩越来越少罢了！

很明显，在上述过程中老大共分得牛数

S = 19 + 1 × 19 + 1 × 9 +



¹ 2 2 20 2 20²

19

= 2

1 - 1

20

= 10

同理，老二、老三所分牛数

S = 19 + 1 × 19 + 1 × 19 +

² 4 4 20 4

19

= 41 = 5

20²

1- 20

S = 19 + 1 × 19 + 1 × 19 +

³ 5 5 20 5

19

= 51 = 4

20²

1- 20

数学家们终于用审慎的态度支持了智叟。他们宣告说：智叟的分牛结论是正确的！

没过多久，有人对智叟的“动机”提出了疑议，他们认为智叟的做法充其量只是“瞎猫碰上死老鼠”而已。他们举例说，倘若老人留下的只是 15 头牛

而不19 1 1 1

头；遗嘱规定的是老大分 2 ，老二分 4 头牛老三分 8 那么结果又将

怎样呢？

设想智叟牵来一头牛，添成 16 头。按遗嘱：老大分 8 头，老二分 4 头，

老三分 2 头。三人共分去 14 头牛。那么，智叟是否要把剩下的两头牛都牵回去？谁敢保证智叟没有“渔利”之嫌？！

说的不无道理！于是一个即将偃旗息鼓的问题，又死灰复燃起来。经过几番争论，人们终于弄清楚，智叟的办法确实带有某种盲目性！问题的症结不在于智叟是否牵牛来，或牵几头牛来又牵几头回去，而在于按遗嘱三兄弟所获牛数的比：

1 1 1

2 ∶ 4 ∶ 5 = 10∶5∶4

只要最后这个简单的整数比，能够将 19 整分，那么结果必然皆大欢喜，又何须再牵一头牛来？反之，如若遗嘱中的简单整数比，不能将牛数整分的话， 那么纵然智叟有再高十倍的智商，也只能是一阵空忙！

上述结论为人们提出了分牛问题的最佳解答：

S = 19× 10

= 10

 1 10 + 5 + 4

 5

S = 19× = 5

 2 10 + 5 + 4

S = 19× 4 = 4

 3

10 + 5 + 4