曲线运动 万有引力一、疑难分析

  1. 向心力、向心加速度及其来由

曲线运动中，当质点所受合外力方向与速度方向垂直时，合力仅改变物体速度的方向，不改变速度的大小；当合外力方向与速度方向夹角小于90°时，作用力起改变速度方向并增大速度量值的作用；若合外力方向与速度方向夹角大于 90°时，作用力起改变速度方向并减小速度量值的作用。为使研究方便，我们把合外力正交分解为与速度方向垂直的法向分力和与速度方向同一直线的切向分力。切向力产生的加速度称切向加速度， 它的作用是只改变运动质点的速度大小；法向力产生的加速度称法向加速度，它的作用是只改变运动质点速度的方向，而不改变速度的大小。当质点作圆周运动时，其法向加速度指向运动的圆轨道的中心，所以又叫做向心加速度。产生向心加速度的力（即法向分力）叫做向心力，方向也指向质点运动的圆轨道的中心。质点作曲线运动时，其向心力（即法向分力） 的“向心”可理解为指向曲线上各点的曲率中心。作匀速圆周运动的质点， 只具有向心加速度，即该质点所受外力的合力必定就是使质点产生向心加速度的向心力。

  1. 地球上物体的重力与万有引力的关系

地球上物体的重力不等于地球对物体的万有引力，这是物体随地球自转所需向心力正来自于万有引力的缘故。地球对物体的万有引力实际上是物体重力与物体随地球自转所需向心力的矢量和。设物体的质量为 m，处于纬度φ的位置，地球的质量为 M，半径为 R，自转角速度为ω，则应有

F = G + F ，其中F = G Mm ，G = mg，F = mω2 Rcosφ。

引 向 引 R2 向

地球上同一物体的重力从赤道到两极是逐渐增加的。其原因有二：一是赤道时φ=0，cosφ=1，即 F 向最大；二是地球赤道半径大于两极半径，赤

道上 F 引最小，根据 G=F 引−F 向可得，在赤道时，G=F 引min−F 向max 是最小的， 而在两极，G=F 引max 是最大的。又由于ω2Rcosφ≈0.025《g，故在精度要求不高的条件下用 G=F 引还是可行的。

  1. 对初学者在概念理解上的几个常见错误的分析*

①认为“匀变速运动一定是直线运动”，而“平抛运动、斜抛运动的速度大小与方向时刻在改变着，因此它们都是变加速运动”。这两种认识都是错误的。首先，所谓“匀变速运动”，就是加速度的大小与方向都是恒定的运动。平抛运动、斜抛运动的加速度都是恒定的：大小等于 g=9.8 米/秒 2，方向始终是竖直向下的。由此可见：平抛运动、斜抛运动都是匀变速运动。这就是说，匀变速运动既可以是直线运动，也可能是曲线运动。

②认为“匀速圆周运动是匀变速运动”，这也是错误的。因为速度与加速度都是矢量，不仅有大小，而且有方向。作匀速圆周运动的质点，其速度方向在时刻变化着，即其向心加速度的方向也在时刻改变着，因此， 匀速圆周运动是一种变加速运动，其“匀速”两字只是“匀速率”的意思， 决不是“匀速度”的含义！

2

③认为“向心加速度公式a =

R

υ 2 2

和a = ω2 R是相互矛盾的。因为从

a = 看，a与R成反比；但从a = ω

R

R看，a与R成正比，这岂不矛盾

υ2

吗？”其实这两个公式并不矛盾。因为在公式a =

R 中，a与R成反比

是以υ不变为先决条件的；而在公式 a=ω2R 中，a 与 R 成正比则是以ω不变为条件的。