我国数学史上的牛顿刘徽

刘徽（约225～约295），山东邹平县人。魏晋时期数学家。他是我国最早明确主张用逻辑推理的方式来论证数学命题的人，我国古典数学理论的奠基者之一。

其杰作《九章算术注》是我国最宝贵的数学遗产，是中华民族宝贵的财富。被称为“中国数学史上的牛顿”。

刘徽出身平民，终生未仕。他在童年时代学习数学时，是以《九章算术》为主要读本的，成年后又对该书深入研究。在长期研习过程中，他发现《九章算术》奥妙无穷，但同时也发现了其中存在的问题。

在当时，刘徽所面对的，是一分堪称丰厚而又有严重缺陷的数学遗产。

其基本情况是：《九章算术》约成书于东汉之初，没有具体的作者，当时的研究者主要有张苍、耿寿昌。此书共有246个问题的解法，在许多方面如解联立方程，分数四则运算，正负数运算，几何图形的体积面积计算等，都属于世界先进之列。

但《九章算术》只有术文、例题和答案，没有任何证明。张苍、耿寿昌之后的许多数学家们，尽管在论证《九章算术》公式的正确性上作了可贵的努力，但这些方法多属归纳论证，对《九章算术》大多难度较大的算法尚未给出严格证明，它的某些错误没有被指出。

也就是说，刘徽之前的数学水平没有在《九章算术》的基础上推进多少，这就给刘徽留下了驰骋的天地。

于是，刘徽经过深入研究后，在263年写成《九章算术注》，对上述存在的问题均作了补充证明。《九章算术注》的第十卷题为《重差》，即后来的《海岛算经》，内容是测量目标物的高和远的计算方法。

《九章算术注》的完成，是刘徽数学研究过程中里程碑式的成就，也使他登上了数学舞台。

刘徽在证明过程中，显示了他的创造性贡献。他建立了我国古代数学体系，并奠定了它的理论基础。这个数学体系包括以下几个方面：

一是用数的同类与异类阐述了通分、约分、四则运算，以及繁分数化简等的运算法则。在开方术的注释中，他从开方不尽的意义出发，论述了无理方根的存在，并引进了新数，创造了用十进分数无限逼近无理根的方法。

二是在筹算理论上，先给率以比较明确的定义，又以遍乘、通约、齐同等三种基本运算为基础，建立了数与式运算的统一的理论基础。他还用“率”来定义我国古代数学中的“方程”，即现代数学中线性方程组的增广矩阵。

三是逐一论证了有关勾股定理与解勾股形的计算原理，建立了相似勾股形理论，发展了勾股测量术，通过对“勾中容横”与“股中容直”之类的典型图形的论析，形成了我国特色的相似理论。

四是在面积与体积理论方面，他用出入相补、以盈补虚的原理及“割圆术”的极限方法提出了刘徽原理，并解决了多种几何形、几何体的面积、体积计算问题。这些方面的理论价值至今仍闪烁着余晖。

刘徽除了建立我国古代数学体系，还提出了有代表性的创见。主要有以下几项：

一是在几何方面提出了“割圆术”，即将圆周用内接或外切正多边形穷竭的一种求圆面积和圆周长的方法。

他利用割圆术科学地求出了圆周率π=3.1416的结果。他提出的计算圆周率的科学方法，奠定了此后千余年来我国圆周率计算在世界上的领先地位。

他还利用割圆术，从直径为2尺的圆内接正六边形开始割圆，依次得正12边形、正24边形等，割得越细，正多边形面积和圆面积之差越小，用他的原话说是“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”他计算了3072边形面积并验证了这个值。

二是在《九章算术·阳马术》注中，在用无限分割的方法解决锥体体积时，提出了关于多面体体积计算的刘徽原理。

三是创见“牟合方盖”说。“牟合方盖”是指正方体的两个轴互相垂直的内切圆柱体的相交部分。在《九章算术·开立圆术》注中，他指出了原来的球体积公式的不精确性，与此同时，引入了“牟合方盖”这一著名的几何模型。

四是在《九章算术方程术》注中，他提出了解线性方程组的新方法，运用了比率算法的思想。刘徽还在《海岛算经》中，提出了重差术，采用了重表、连索和累矩等测高测远方法。

他运用“类推衍化”的方法，使重差术由两次测望，发展为“三望”、“四望”。而印度在7世纪，欧洲在15世纪至16世纪才开始研究两次测望的问题。

事实上，整个《九章算术注》在数学命题的论证上，主要使用了演绎推理，即三段论、关系推理、连锁推理、假言推理、选言推理以及二难推理等演绎推理形式。刘徽《九章算术注》不仅有概念，有命题，而且有联结这些概念和命题的逻辑推理。

这就标志着我国古代数学形成了自己的理论体系。

刘徽的数学体系及其创见，不仅对我国古代数学发展产生了深远影响，而且在世界数学史上也确立了崇高的历史地位。鉴于刘徽的巨大贡献，不少书上把他称作“中国数学史上的牛顿”。

[旁注]

《九章算术》　东汉末年的第一部数学专著。该书内容十分丰富，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就。是“算经十书”中最重要的一种，也是当时世界上最先进的应用数学。它的出现，标志着我国古代数学形成了完整的体系。

筹算　也叫策算。我国古代用竹制的算筹记数，进行加、减、乘、除、开方等运算，称为筹算。开始于春秋时期，直至明代才被珠算代替。

割圆术　由魏晋时期的数学家刘徽首创。是用圆内接正多边形的周长去无限逼近圆周并以此求取圆周率的方法。刘徽的“割圆术”却在人类历史上首次将极限和无穷小分割引入数学证明，成为人类文明史中不朽的篇章。

线性方程组　是各个方程关于未知量均为一次的方程组。刘徽在《九章算术》方程章中，对线性方程组的研究，比欧洲至少早1500年。

张苍（公元前256年～公元前152年），阳武县，即今河南省原阳县人。西汉丞相，封北平侯。张苍校正《九章算术》，制订历法，也是我国历史上主张废除肉刑的一位古代科学家。张苍墓位于原阳县城关镇，为清康熙年间立。

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在我国，首先是由数学家刘徽得出较精确的圆周率：π=3.1416，通常称为“徽率”，他指出这是不足近似值。后来，祖冲之算出了π后面的8位可靠数字，不但在当时是最精密的圆周率，而且保持世界纪录900多年。以至于有数学史家提议将这一结果命名为“祖率”。

追根溯源，其实正是基于对刘徽割圆术的继承与发展，祖冲之才能得到这一非凡的成果。因而当我们称颂祖冲之的功绩时，不要忘记他的成就的取得是因为他站在数学伟人刘徽的肩膀上的缘故。