第四节 联合光具组成像有什么规律？

一、什么叫联合光具组？

实际的光学系统如摄影镜头，通常是由若干个光组构成，光组可以是单透镜也可以是复杂的透镜组。将这若干光组构成的总体叫做联合光具组。

在实际工作中，常把几个光组结合在一起，求其等效光学系统的基点位置。或者把一个光学系统分解成几个光组，求出每个光组的基点位置。这都是光学系统的组合问题。

二、怎样求联合光具组的基点？

两个光组的组合是最基本的联合光具组。如果一个光学系统是由若干个光组构成，首先把前两个光组（它们的基点位置及它们间距都已知） 联合，求出其等效光组的基点。然后再将等效光组跟下个光组联合，依次类推则可求得整个光学系统的基点。

1. 怎样用几何法求联合光组基点？

如图 2－36 所示：在物空间引一条平行于光轴的光线 RM1，经第一光组折射后，通过 F＇1 射入第二个光组，交于第二个光组的和的方主平面于 M2 处，等高地由像方主平面 H＇2 的 M＇2 射出，其出射线 M＇2F＇必平行于辅助线 BK2，光线 M＇2F＇和光轴交于 F＇，则 F＇为等效系统的后焦点。入射线 RM1 的延长线与其共轭线 M＇2 交于 M＇，过 M＇的垂轴平面， 即为等效系统的像方主平面，其与光轴的交点 H'为等效系统的像方主点。线段 H＇F＇是等效系统的像方焦距值。

如果令光线从反向入射，则可求得等效系统的物方主点、焦点和物方焦距值。

1. 怎样用解析法求联合光具组的基点？

已知两个光组的焦距分别为 f1、f＇1 和 f2、F＇2 及 F＇2 与 F＇1、之间的距离△（叫两系统的光学间隔）来表示两光组的相对位置。F2、F＇ ₁ 之右时，△为正；F2 在 F＇1 之左时，△为负。两个光组中涉及的距离都遵循前述的符号规则。

例：求联合光组的焦点和主点位置及焦距（普通摄影其镜头置于空

气中，节点跟主点重合）。

解：用已知量表示出联合光具组焦点 F、F＇及主点 H、H＇的位置。

①求焦点位置：如图 2－36 所示，对光组Ⅱ而言，等效系统的像方焦点 F＇和光组Ⅰ的像方焦点是一对共轭点（F＇1 为物点，F＇为像点）， 应用牛顿公式可得：

(−∆) x′2 = f2 f ′

x∋2

= - f 2 f2′

∆

（2—34(a) ）

根据光组Ⅱ的符号法则，F＇在 F＇2 之右 x＇2 为正，反之 x＇2 为负。

求得 x＇2 值，等效光组像方焦点 F＇就被确定；同理，令光线从反方向入射，对光组Ⅰ应用牛顿公式可求出等效光组物方焦点相对光组ⅠF＇的位置。

x = f1f1′

（2 - 34(b)）

1 ∆

②求联合光组主点位置（主点到焦点的距离为焦距）。F'在 H'之左， f'取负值，居右则为正，可通过边角关系求得。如图 2－36 所示可知。

u1′ = u2 ，− u ′ = u′2

所以

u′1 = u2

（2－35）

在近轴条件下

u u′2

u′≈tgu∋1 =

h ，u′ = h ，

f1′ f ′

u =   − h′ ， u′ =   − h′ ，

² ∆ − f f ′ + x∋

2 2

令光线反向入射也类同，由上边诸式及式（2—34）可得

f ′ = − f1′ + f2′ （2—36（ a））

 ∆

 f + f

f = ^{1 2} （2—36（ b））

 ∆

可见 f＇及 f 的符号决定于两个光组焦距的符号及两个光组的光学间隔的符号。因此主点的位置可由焦距的符号和数值及焦点的位置来确定。故联合光组的物方和像方焦点位置分别以第一光组的前焦点和第二光组的后焦点为参考点，其数值用式（2－34(a)(b)）求得；求得联合光组的前后焦点之后，可由式（2－35(a)(b)）分别求出焦距，再确定前后主点的位置。变焦镜头就是多个组元组成的复合光组，是通过改变部分组元的光学间隔实现变焦的，就是以式（2－36）为理论依据的。

三、单球面的基点如何分布？

球面是最简单、最基本的光组。用几何法同样可求得球面的焦点和主点。如图 2－37 所示。两边的入射光线 AD 和 BD，交球面于 D 点，与其共轭的两折射线也交直线 AB 于同一点 D，因此物方与像方两个主平面重合（过 D 的垂直平面），当入射高度很小时，就是跟球面顶点相切的平面。两个节点 K 及 K＇跟球心重合。

在近轴条件下，应用式（2－2），并分别将物距和像距为∞代入可得两个焦距：

f = −





f ′ =

nr

n ′ − n

n ′r （2—36（ c））

 n′ − n

反射球面的基点，同样可由几何法求得，如图 2－38 所示。在折反系统中（折反摄影镜头），它也是最基本的光组。

四、厚透镜的基点如何分布？

把厚透镜看作是两个单折射球面的联合光具组，求出等效光组的基点便是厚透镜的基点。

如图 2－39 所示，设两个球面的半径分别为 r1 和 r2，透镜的厚度为d，折射率为 n，若透镜置于空气中，则 n1＝n＇2＝1，n＇1＝n2＝n。由式（2－36（c））可知：

f = − r1

¹ n − 1

，f1′ =

nr1

n − 1

f = n2 r2 ，f ′ = r2

² n − 1 ² n − 1

如图所示以 d 表示△时则：

∆ = d − f1′ + f 2

= n(r2 − r1 ) + (n − 1)d

n − 1

由式（2－36）求得厚透镜的焦距为：

f ′ = f1′f 2′ =

nr1r2

（2—37（ a））

∆ (n − 1)[ n(r2 − r1 ) + (n − d)d]

透镜置于空气中时，

f = −f ′ = − nr1r2

(n − 1)[n( r2 − r1 ) + ( n − 1)d]

（2－37（ b））

确定等效系统焦点位置：①以两个分光组的焦点 F1、F＇2 为坐标原点，由式（2－34(a)、(b)）求出 x1、x＇2；②也可用光组Ⅰ物方主点及第Ⅱ光组像方主点为坐标原点求出 lF、l＇F，由图 2－39，则：

l ′F

l F

= f2′ + x′2

= (−x1 ) + ( −f1 )

将 x1、x＇2、f1、f＇2 的具体表示式，代入上式中则：

  

l ′ = f d （2－38（ b））

 ′1 − 

^F f ′

  ₁ 

  d 

 = −f ′1 +



 （3—38（ c）） f2 

同样以光组Ⅱ像方主点及光组Ⅰ物方主点为坐标原点来确定等效光组的主点，如图 2－39 所示：

l ′H







= f 2′ + x′2 + (−f ′)

= − dr2 （2—39（ a））

n(r2 − r1 ) + (n − 1)d

 = −f + x



1 + f1

• dr

 = ¹ （2—39（ b））

 n(r2 − r1 ) + (n − 1)d

薄透镜是厚透镜的特例，即 d≈0 的情形，此时，O1 与 O2 重合，由式

（2－38(a)）与式（2－38(b)）可知

l ′F = −l F = f ′

由式（2－39(a)与(b)）可知

l ′H = l H = 0

等效系统的两主点重合于 O，如图2－40 所示。那怎样求厚透镜的基点？摄影镜头通常都是复杂的透镜组，而且每个透镜都有一定的厚度， 欲求镜头的基点，可先求出每个透镜的基点，然后进行组合。因此，对透镜的基点分布进行分析是非常必要的。

1. 双凸透镜基点分布如何？

分析透镜的基点分布，可以用几何法（通过光路图直观的求得基点） 和解析法（用式 2－37 和 2－39）。用作图法可定性地求得基点的位置， 并且对各种透镜都适用，其作法如下所示。

①作平行于主光轴的入射光线，经过两个折射球面折射后的出射光线（或反向延长线）跟入射线（或延长线）的交点为像方主平面上的点； 过此点作垂轴平面（像方主平面），它与主轴的交点就是 H'（第二主点）； 出射线跟主光轴的交点就是像方焦点。

②令光线反向入射，同样可求得物方主点和焦点。双凸透镜 r1＞0

（左边球面半径），r2＜0（右边球面半径），以顶点为坐标原点。由式

（2－37）可知当半径 r1 和 r2 一定时，随厚度 d 不同焦距 f'可正、可负。透镜折射率肯定是大于 1 的正数，式（2－37(a)）中的分子为负，而分母的正负由 d 值大小决定。当(n-1)d＞｜n（r2-r1)｜，分母为正，f＇为负；当(n-1)d＜｜n（r2-r1)｜该式分子与分母同时为负故 f'为正。同样通过分析（2－39）式可知 l＇H 与 lH 的正负。

①当d ＜ n(r2 − r1 ) 时则式（2－37（ a））分子与分母同时为负， n − 1

故 f＇＞0，此时透镜为 O 会聚透镜。由式（2－39(a)）可知，分子为正

（r2＜0），分母为负，则 l＇H＜0，说明 H'位于光组Ⅱ主点之左；同理可知 lH＞0，H 位于光组Ⅰ顶点之右。如图 2—41(a)所示。

②当透镜厚度 d＝r1-r2，即两个面的球心重合。由式（2－37）(a) 可知 f＇＞0，由式（2－39(a)与（2－39(b)）可知：l＇H＝r2，lH＝r1， 说明透镜的两个主平面重合，并位于两个面的共同球心处如图 2－41(b) 所示。

③当d = - n(r2 - r1 ) 时，代入式（2－27(a)）与（2－27(b)）式， n − 1

分母为 0，所以 f'与 f 都为无限大，主平面也在无限远处，此时透镜为无 焦 系 统 ， 如 图 2 － 41 （ c ） 所 示 。

④当透镜的厚度增大到d ＞n( r2 − r1 ) ，由式（2－37（ a ））可n − 1

知 f＇＜0，说明等效光组像方焦点位于其主点 H＇之左。由式（2－39(a)） 及（2－39(b)）可知 l＇H＞0，主点位于第二个球面之右，lH＜0，H 点位于第一球面之左，即二主平面位于透镜之外如图 2－41（d）所示。

1. 双凹透镜基点如何分布？

这种透镜 r1＜0，r2＞0，由式（2－37(a)）可知，两球面等效系统

（即双凹透镜）的焦距 f＇总为负值，是发散透镜。由式（2—39(a)）与

（2－39(b)）可知 l＇H＜0，lH＞0，两主平面位于透镜内部，如图 2－ 42 所示。

1. 负弯月型透镜基点分布如何？

图 2－43 所示各种情况均为负弯月型透镜，其共同点是 r1＞，r2＞0

（两折射面半径符号相同），其焦距的符号随 d 值的大小而异。

①当d ＜n(r1 − r2 ) 时， f ′＜0，l′ ＞0，l

＞0，是发散透镜，主面

n − 1 ^{H H}

偏于球心方向，如图 2－43(a)所示。

②当 d＝r1-r2 时，两球面同心，f＇＜0，l＇H＝r2，l＇H＝r1，透镜仍为发散透镜，二主面重合于二面的共同球心处，如图 2－43(b)所示。

③当d = n(r1 + r2 ) 时， f ′ = ∞，l′ = ∞，l

= ∞，此时透镜为望远

n − 1 ^{H H}

系统（无焦系统），如图 2－43（c）所示。

④当d ＞n( r1 − r2 ) 时，f ′＞0，l′ ＜0，l

＜0，该光学系统为会聚

n − 1

1 H H

透镜，主面位于折射面之左（跟球心相对的方向），如图 2－43（d）所示。4．平凸透镜基点分布如何？

由一个平面和一个凸面构成的透镜，设其 r1＞0，r2＝∞，此时，焦距公式和主点位置公式为：

f ′＝

r1

n − 1

l ′ = − d ，l = 0

H n H

可见平凸透镜的像方焦距总为正，跟透镜厚度 d 无关，一个主面与球面相切，另一个位于透镜内部，如图 2－44 所示。

1. 平凹透镜基点分布如何？

该系统是由一个平面和一个凹面组成，令 r1＞0，r2＝∞，则焦距公式和主点位置公式为：

f ′＝

r1

n − 1

l ′ = − d l = 0

H n H

显然，平凹透镜总为负透镜，焦距跟厚度无关，一个主面与球面顶点相切，另一主面位于透镜内部，如图 2－45 所示。

1. 正弯月型透镜的基点分布如何？

如图 2－46 所示，二折射面半径同号（弯曲方向相同），跟负弯月型透镜的区别，在于凸面半径绝对值的凹面半径小，r2＞r1＞0，则 f＞0， l＇H＜0，lH＜ 0，物方主平面在凸面之前，像方主平面在凹面之前。上述各种透镜在相机镜头中都有应用。

五、怎样求联合光具组的光焦度

如果光焦具组置于空气中，其光焦度等于其焦距的倒数。同样，联合光组的光焦度也等于其焦距的倒数。将△＝d-f＇1-（-f2）（由图 2－ 36 可 见 ） 及 -f2 ＝ f ＇ 2 代 入 式 （ 2 － 36(a) ） 则 ：

f ′ =

f1′ + f2′ f1′ + f2′ − α

（2—40（ a））

ψ = 1 =

f ′

1 +

f1′

1 −

f2′

d f1′f 2′

= ϕ1 + ϕ2 − dϕ1ϕ 2

（2－40（ b））

如果两光组间距非常小（d≈0）或胶合在一起，如胶合透镜（消色差、消球差、消像散等），则 d＝0，那么：

ϕ = ϕ1 + ϕ2

六、怎样计算实际光学系统的基点？

摄影镜头的各光组及摄影镜头跟近摄镜、倍率镜、滤色镜等的组合都是具体的实际光学系统。

1. 怎样计算实际光学系统的基点位置？

前面研究的理想光组在近轴区所得的公式，跟近轴（高斯）区所得的结果完全一致，这说明一切共轴球面系统的近轴区都是实际的理想光学系统。也就是说理想光学系统理论可以适用于实际光学系统的近轴区，故实际光学系统基点的位置就是指近轴区的基点位置。

摄影镜头本身或摄影镜头跟附加镜组成的联合光组，大都是共轴的透镜组，透镜都有一定的厚度，只要将每个透镜的基点求得，然后再进行组合，最终总可以求得等效光具组的基点位置。这种方法应用于两个光组构成的光学系统还是比较方便的。对于多个光组构成的光学系统， 这种方法就显得过于繁琐，同时还容易出错，故常用下述两种方法解决。

1. 什么叫正切计算法？

如图 2－47 所示：RM1 为任意平行于主光轴的入射光线，M＇3F＇是与其共轭的经过整个光组的出射线，光线经过每个光组的高度分别为h1、h2、h3、u3 为出射线与光轴的交角。由图 2－47 可知：

l ∋F =

h3

tgu∋3

f ′ =

h tgu ′3

如果系统是由 i 个光组构成的则有：

l ∋F =

f ′ =

hi tgu∋i h tgu′i

（2—41）

显然，只要求出最后出射线的出射高度 hi 及其与光轴的交角 u＇i，焦点

及主点的位置就被确定，自然焦距就可求得。将高斯公式经过等式变换， 并根据几何中的边角关系可导出下式：

tgu1′ = tgu 2

= h1 f1′

h2 = h1 − d1tgu′1

tgu′ = tgu = tgu

• h 2

(2 − 42)

2 3 2

h3 = h2 − d2 tgu′2

f2′

hi = hi−1 − di −1tgu′i −1

tgu∋i = tgui

• hi

f i′

因为第一光组的出射线就是第二光组的入射线，即 u＇1＝u2，又因入射线的任意性，故 h1 是已知的，各光组的焦距（或基点）及它们的间距都是已知的。所以用（2－42）式可求出 tgu＇i 及 hi 再将其代入（2－41） 式便可求出等效系统的焦点、主点（即焦距）。这种方法叫做正切计算法。

1. 什么叫截距计算法？ 将（2—41）式写为：

f ′ = h1

= h1

• tgu2 · tgu3

tgu i

tgu′t

tgu′i

tgu1′ tgu′2

tgu′i −1

因为第一光组的出射角恰是第二光组的入射角即 u＇1＝u2；第二光组出射角又是第三光组的入射角即 u＇2＝u3，依次类推，故上式成立。

因s′ =

h

¹ ，s tgu

= h = s′ tgu′

，s tgu

= h = s tgu′ 代入上

tgu∋1

式则

2 2 2 2 2

i i i i i

f ′ = s′1 ·s′2

s2 s3

s′i

si

（2－43）

对每个光组应用高斯公式，求出各自的物距和像距并代入上式即可求得等效光组的焦距，这种方法叫做截距计算法。当然在计算过程中，得应用过渡式即前一光组的像即为下个光组的物。不管实物、虚物、实像、虚像都要服从各自光组的符号法则。

1. 各光组对等效系统光焦度贡献如何？

将式（2－42）组中的 tgu，⋯，tgui；消去可得下式：

tgu′ = h1 + h 2 + + hi

f1′

f2′

fi′

（或tgu′i = hi ϕ1 + h2 ϕ2 + + hi ϕi ）

将上式代到（2－41）式，则：

ϕ = 1

= tgu′i = ϕ

• h ϕ

+ + h ϕ

f ′ hi

如果取 h1＝1 可得：

1 2 2 i i

ϕ = h1ϕ1 + h2 ϕ 2 + + hi ϕi ）（2－44）

显然，各光组对总光焦度的贡献除本身光焦度大小外，还与该光组在光路中所处的位置有关（因高度 h 随位置而异）。也就是具有一定光焦度的光组随所处的位置不同，对总光焦度的贡献是不同的。

七、怎样应用求基点公式？（以例说明）

例一：在焦距 f＇＝50mm 的标准镜头前加焦距 f'等于 100mm 的近摄镜，求当两镜间距 d 值依次为 20mm 和 40mm，求联合光具组的基点位置及焦距。

这里只用联合光组求基点公式求未知量

首先将已知量的值标在示意图 2－48 上，图中Ⅰ表示近摄镜，Ⅱ表示标准镜头。因为题目没给出两个透镜的厚度（可认为是薄透镜，故每个透镜的两个主面都重合。由（2－36）式：x＇2＝-f2·f＇2/Δ，x1 ＝ f1·f＇1/Δ，其中 d＝f＇1+Δ+(-f2)，则Δ＝d-f＇1+f2（由图 2－36 可见，它可适合任意情况）或由下式求出焦点位置。由图 2－36 所示，并将上边各式及（2－36）式代入 l＇H 及 lH 表示式则

l ′ = f ′ + x′ + (−f ′) = f ′ − f2 · f2′ + f1′f 2′



H 2 2 2 2 ∆ ∆

= f 2′ (f1′ + ∆ − f 2 )

∆

l = f1 ( f1′ − f2 + ∆)

H ∆

如将Δ＝d-f＇1+f2，f2＝-f＇2 代入上式则：

l ∋H = −

f2′d

f1′ + f2′ − d

（2—46）

l H =

f1′d

f1′ + f 2′ − d

由（2－36）式求出的等效光组焦点位置是相对两个单光组焦点的距离； 由（2—45）式及（2－46）式求出的主点位置是相对两上单光组主平面的距离。用哪个公式结果都是等效的。几何光学的公式都是代数式，在运算过程中将已知量的正负一定代入，除非强调某一式子中各量都是绝对值，才不必考虑符号。下边按（2－46）式计算：

①d＝20mm

l ∋H = −

f2′d

f1′ + f2′ − d

= − 50 × 20

100 + 50 − 20

= −7.69mm

l H =

f1′d

f1′ + f2′ − d

= 100 × 20

100 + 50 − 20

= 15.38mm

计算结果说明等效系统的像方主平面在标准镜头（光组Ⅱ）主平面之左，距离为 7． 69 mm 处；等效系统物方主平面在近摄镜（光组Ⅰ） 主平面之右距离为 15．38mm 处。

f ′ = −f = − f1′f 2′ = −

∆

f1′f1′

d − f1′ − f2′

= − 100 × 50

20 − 100 − 50

= 38.46mm

计算结果说明等效系统像方主点在其像方焦点之左，距离为 38． 46 mm 处；物方主点在物方焦距之右相距 38．46 mm 处。

②d＝40mm，其它条件跟①相同，则

f ′ = −f = −

100 × 50

40 − 100 − 50

= 45.45mm

同理，计算得：l′H = −18.18mm，l H

= 36.36mm。

从计算结果可知，加近摄镜后，系统的像方主点比没加之前向左移动了（跟标准镜头像方主点比），同时随着两个光组间距的增加向前（向左）移动的愈显著。因此增加了像距（后主平面到曝光窗之间的距离）， 如图 2－49(a)与 2－49(b)所示。在标准镜头前加近摄镜，可

拍摄较近物体并能获得较大的影像（因为，β= s′ ）。

s

两个光组的联合系统其等效焦距 f'的值随两光组间距 d（或△）的变化而异，d 值愈小，f'值也愈小，当 d 趋于或等于 0 时，由式（2—

 f ′f ′ 

40(a)）可知此时其焦距为 f ′ = − ^{1 2} ；变

 − f ′ − f ² 

焦镜头就是通过改变组元间的距离（改变式（2－40(a)）中的 d 值）实现变焦的。在标准镜头前加近摄镜可以使等效系统焦距小于标准镜头的焦距，因而可以近摄。

例二：用正切法和截距法求联合系统基点位置和焦距。设两光组都置于空气中且都是薄透镜，f＇＝-f1＝90mm，f＇2＝-f2＝60mm，d＝50mm

（两者间距）。

①正切计算法（如图 2－50 所示）：

引一条与主光轴平行的入射光线，即 tgu1＝0，设 h1＝f＇1＝90mm

（因为入射高度是任意的，故可取方便于计算的值），按（2－42）式则

有：

tgu1′ = tgu 2

= h1

f1′

= 90 = 1

90

h2 = h1 − dtgu1′ = 90 − 50 × 1 = 40mm

tgu′ = tgu

• h2

= 1 + 40 = 5

f2′

60 3

因为此系统是由 2 个光组构成，故 i＝ 2。将所求得数据代到（2－ 41）式可求得像方基点位置为：

l ∋F =

f ′ =

h2 tgu∋2 h1 tgu′2

= 40

5 / 3

= 90

5 / 3

= 24mm

= 54mm

以上求出的是像方量，欲求物方量可将光具组前后颠倒求得的数值加负号即可。

②截距计算法（如图 2－50 所示）

按高斯公式 1 − 1 = 1 ，光线平行入射，即被摄物体在无穷远，此时

s′ s f ′

s1 = ∞，则：

s1′ = f ′ = 90mm

光组Ⅰ的像即为光组Ⅱ的物，所以：

s = s′ − d = 40 1

= 1 + 1

= s2 + f2′

2 1 s′

f ′ s

s f ′

1 1 1

2 2 2 2 2

− =

s′ s f ′

s′ =

s2 f2′

= 40 × 60 = 24mm

2 2 2

s2 + f2′

40 + 60

将两光组的物距及像距代到式（2－43）中即

f ′ = s′1s′2

s2

= 90 × 24 = 54mm

40

平行光线经过系统后的最后像点 s＇2 即为联合系统的像方焦点，再结合求得焦距 f＇的值及符号就可确定联合系统像方主点的位置。同理可求得物方量。

例三：欲获得一个对无限远物体成实像的系统要求 f＇＝ 1000 mm， 筒长 ι＝700mm（从系统第一面到像平面的距离），后截距 l＇＝400 mm。试求系统应有的结构。

题意 f＇＞ι，而且是成实像的系统，凸透镜能成实像，但只要厚度不特别大时，主面不可能在系统前即不能使 f＇＞ι。所以合题意的系统一定是联合光具组。为简便起见设两光组都是薄透镜。设它们像方焦距分别为 f＇1 和 f＇2，两光组间距离为 d。如果求出 f＇1、f＇2 及 d 的值， 所求系统的结构就算知晓。三个未知量，如果按联合光具组理论能列出三个方程式，通过解方程就可获得答案。依题意及式（2－40(a)）及（2

－38(a)），下列方程组成立：

f ′ =



f1′f2′

f1′ + f2′ − d

= 1000

l′ = l ′ =  − d  = 400

 F f1

 



f₁′

d + 400 = 700(即d + l′ = 700)



解得

d＝300 mm，f＇1＝500mm，f＇2＝-400mmf＇1 为正说明光组Ⅰ是一正透镜；f＇2 为负值说明光组Ⅱ是负透镜，且两者相距 300mm，如图 2-51 所示。

例四：在焦距为 500 mm 的光学系统前方或后方加焦距为 100 mm 的负透镜，间距 d＝40mm，求组合光具组的焦距，及主点位置 l＇H、lH 的值？

(1)负光组在前，f＇1＝-f1＝-100，f＇2＝-f2＝50mm，d＝40mm。由

式（2-40(a)）及（2-46）则：

f ′ =

f1′f2′

f1′ + f2′ − d

= − 100 × 50

− 100 + 50 − 40

= 55.56mm

l ∋H =

f2′d =

f1′ + f 2′ − d

50 × 40

− 100 + 50 − 40

= 22.22mm

l H =

f1′d

f1′ + f 2′ − d

= 100 × 40

100 + 50 − 40

= 44.44mm

(2)正组在前 f＇1＝-f1＝50mm，f＇2＝-f2＝-100mm，d＝40mm 求：f＇、l＇H、lH 的值。

解：由公式（2-40(a)）及式（2-46），则有：

f ′ =

l ∋H =

f1′f2′

f1′ + f2′ − d f2′d

f1′ + f 2′ − d

= 50 × (−100) ＝55.56mm 50 − 100 − 40

= 100 × 40 ＝－44.44mm

− 100 × 50 − 40

l H =

f1′d

f1′ + f 2′ − d

= 50 × 40 ＝-22.22mm 50 − 100 − 40

从计算结果可见，正负光组组合，在两个光组间距及它们各自焦距不变条件下，两个光组相对位置不同，联合光具组的基点分布截然不同。如示意图 2-52(a)与(b)可见：负组在前时，等效系统（联合光组）的像方主平面位于联合光组之后，此种情况下，有较大的后截距（l＇值大）。具有这种特征的摄影镜头称为反摄远型镜头。因为单镜头反光照相机， 有较大的后工作距，所以它可以安装反远距型短焦距摄影镜头，进行正常取景和拍摄；正组在前时，等效兴具组的像方主点前移到联合光具组之前，以致于联合光具组的后焦距比镜筒还长，具有这种性质的结构称摄远型结构。一般长焦距镜头采用这种结构，可使筒长减小三分之一。

在现代大地测量仪器及长焦距照相机中，多采用这种光学系统。

例五：求三片型照相物镜的基点位置和焦距。如图 2-53 所示，已知

条件如表 2-1 所示。

表 2-1 例五已知数据

可见，此系统就不能作为薄透镜组来处理，必须把每一个球面作为一单光具组，故此系统就是由六个单光组构成的联合系统。欲求该系统的基点位置及焦距，用光具组理论中哪种方法都可以。下面再介绍一种常用的方法——近轴光的光路计算方法。

1. 什么叫近轴光的光路计算？

如图 2-3 所示，由 P 点发出入射于球面的光线与光轴的夹角 u 很小， 其相应的 i，i′，u′也很小，则这些角度的正弦值可以用弧度代替。这种光线很靠近光轴，所以叫“近轴光线”。光轴附近区域称为“近轴区”。对△PAC 及△PAC 应用三角形正弦定律，并以弧度值近似其正弦值，再配合折射定律可得到下列一组公式：

i = s − r u r

i ′ = n i

n′

（2 - 47）

u′ = u + i − i ′

s′ = r + r i ′

u′

由于在近轴区，所以图 2-3 中弧 AO 可以认为是直线以 h 表示，称为A 点的入射高度（等于该点的出射高度）。由△APO 和△AP′O 可知：

tg(−u) = −u = h

• s

tgu′ = u′ = h

s′

则 su＝s′u′＝h（2-48）

利用（2-47）式中各式及过渡公式（2-48），就可求出例五中最后一球面的像点 s′6，此点就是联合光具组的后焦点，如果再求出后焦距 f

′，则其后主点的位置就被确定。 2.怎样进行近轴光的光路计算？

首先进行正向光路计算，取初始坐标：设 s1＝-∞（即被摄物体的轴上点以平行于主轴的平行光束入射，u1＝0）并令 h1＝10。第一面

的入射角i

= h1 ，如图2 - 54所示，此种情况下，i = ϕ ，ϕ

= sinϕ = t

1 1 1

1

gϕ = h1 （因为是近轴区）。由（2 - 47）式中第一式有： r1

h1 = s1 − r1 u

r1 r1

(s1 − r1 )u1 = h1 = 10

具体计算过程如表：2-2 所示。由 S′6 确定焦点 F′位置 l＇F＝s＇6＝ 67.4707。按（2-41）式，其中 h1＝10，tgu＇6＝0.121869（查表 2-2） 则有：

由图（2-36）可知

f ′ =

h1 u′6

= 10

0.121868

= 82.055

l ′H = l′F − f ′ = −14.564

把系统倒转（原第一个面变为最后一个面；最后一个面变为第一个面），如表 2-3 所示。

l ′F = l′6 = 70.0184

f ′ =

h1 u′6

= 10

0.121869

= 82.055

l ′H = l′F − f ′ = −12.0366

上述结果是反向光路计算得到的数据，应把它们改变符号。这样系统物方基点位置及焦距为：

l F = −l ′F = −70.0184

f = −f ′ = −82.055

l H = −l ′H

= 12.0366

以上计算结果如图 2-55 所示。

3.在计算过程中为什么要列成表格？

从（2-47）各式可知：若知球面半径 r，物距 s 和入射孔径角 u 由第一式可求得入射角 i；已知物方和像方折射率（n 与 n′及 i）用第二式就可求得折射角 i′；由已知的 u 和所求出的 i 及 i′，用第三式便可求得像方孔径角 u′；用第五式则可求出该折射面所成像的位置 s′。

怎样由一个折射球面过渡到下一个折射球面呢？如图 2-54 所示可知：前一面的出射孔径角恰是下个面的入射孔径角；前一面的像距跟两面的间距之差（s′-d）便是后一面的物距。再重复用（2-47）式中各式就可求出该面的像距。依次类推就可求得最后一个折射面的像距，再由有关公式就能求得整个系统的基点位置和焦距。但如此孤立的运算，不利于检查运算过程的正确性。如果有错误，很难确定哪一步出了问题， 但列表就不同了。

表 2-2 求三片型镜头基点的计算过程数据表

表 2-3 反向运算过程数据表

从表 2-2（或表 2-3）可见：①各折射面的诸物理量如入射角 i、折射角 i′、物方孔径角 u、像方孔径角 u′、物方折射率 n、像方折射率 n

′、折射面的半径 r 等的数值及符号都一目了然。②各物理量的关系都清清楚楚列入表中，同时每一格内各项运算结果，刚好是次一格第一项的值。以表中最左边各格为例加以说明。第一格中的 s 减 r，正是第二格中的第一项；第二格中各项运算结果正是第三格中的第一项 i（式（2-47） 之一式）；第三格运算结果便是第四格中的第一项（（式（2－47）之二式）；第四格各项运算结果是式（2－

1. 之四式的变形——s′－r＝r i ′ ，其中u′＝u + i - i′是式(2 - 47) u′

之三式，（s′-r）则是第五格中第一项，第五格中各项运算结果恰是第六格中的 s′；第七格恰是通过式（2－48）来求像距 s′，可以跟前边求得的 s′值进行比较，若两者相等，说明前边的计算过程无误；第八格中的（s′-d）就是下个折射四的物距，此面的 u′便是下个折射面的物方孔径角 u。

总之，对实际光学系统进行近轴光路计算之所以要列表，一方面是方便校对计算是否正确，一方面也是为了便于用台式计算机或计算器进行计算。此种方法对于多个光组的系统比用光具组理论求基点位置及焦距要简单方便些。摄影镜头通常都是多个球面的共轴系统，因此用这种方法更为简单方便。

八、摄影中的无限远是什么意思？

“∞”是无限大的符号。物理学中常用的无限大跟数学中的无限大是不同的。

数学中的无限大（∞）不是具体的数，当然就不能跟很大的数混为一谈。数学中的无限大指的是变量（因变量），它比任意给定的无论多么大的数还大。

物理学中也常用无限大（∞）这个量，但通常指的是比较大的数， 而且是相对的。象电磁学中的无限长直线电流的磁场，只要导线外 a 点处距导线的距离远远小于导线的长度时，该直线电流的长度就可认为是“无限长”。光学成像中的无限远同样具有相对意义。例如，摄影镜头的焦距决定着物与像的

比例（横向放大率β）。在照相机中，除显微摄影外，其余各种照相机横向放大率均小于 1。一般民用照相机其镜头焦距不外是 50 mm、75 mm 或 100 mm，有些有特殊用途（摄远型）的摄影镜头的焦距可达 500 mm 至 600 mm。一般摄影对象的物距 s 都比焦距大得多，因此像平面（感光胶片）总在像方焦平面附近。此时，就可以认为 s 为无限大（s＝∞）， 则 1/s＝0，利用高斯公式

1 - 1 = 1

s′ s f ′

s′ = f ′

例如用焦距为 50mm（标准镜头）的照相机拍照几米远的景物（或人）， 其物距 s 就可以认为是无限远。

“无限远”轴上点的光束可认为是平行于主光轴的光束；轴外点的光束则可认为是斜平行（跟主光轴成一定夹角的）光束。