第二节 什么叫透镜

透镜通常是用透明物质（如玻璃、石英、岩盐）制成。透镜的表面也可以是复杂的形式，如柱面、抛物面等。但大多数两个表面都是球面或有一个面是平面。凡中间部分比边缘部分厚的

两球面曲率中心的直线称为透镜的主轴，如图 2－11 所示为各种透镜的主轴的情形。透镜通常制成圆形，且以主轴为对称轴。透镜大都磨成薄片，圆片的直径叫做透镜的孔径。物点在主轴上时，由于对称性，任意主截面内的光线分布都相同。所以，通常只研究一个主截面内的光路。透镜两表面在其主轴上的间隔称为透镜的厚度（以 d 表示）。若厚度跟曲率半径比可忽略时则叫做薄透镜；否则就称为厚透镜。

一、厚透镜成像有什么规律？

厚透镜是由两个折射球面组成的光具组，因此，可用逐次成像的方法求得它最后的像。如图 2-12 所示。n 为构成透镜材料的折射率；n1 和n2 分别为物方和像方折射率；r1 和 r2 分别表示左右两边球面的曲率半径；t 为厚度；若物距为 S 时，求跟 P 点其轭的像点（对透镜而言）P＇ 的位置即 S＇值是多少？应用球面成像公式，对两个球面可列出如下两个方程，立即可求得最后的像距。

 n − n1

= n − n1 （对左边球面）

S′′ S

 n n

r1

n − n

 2 −

 S′

S′′ − t

= ² （对右边球面）

r2

二、薄透镜成像有什么规律？

薄透镜是厚透镜的特例（镜头中的镜片实际大都是薄透镜）。当 t

＜＜S＇时，从厚透镜的联立方程中消去 t 就可得到薄透镜的普遍适用的物像公式：

n2 − n1 = n − n1 + n2 − n

（2－9）

S′ S r1 r2

1. 什么是薄透镜的焦距？

对于薄透镜而言如图 2-12 所示的 O 与 O＇认为是重合的，这点叫做薄透镜的光心，以 O 表示。物方焦点和像方焦点的定义跟球面镜的相同。分别将 S＝-∞和 S＇＝∞，代入（2-9）式中，则可得到像方焦距和物方焦距表示式为：（从光心 O 算起）

f ′ = n

/  n − n1 + n2 − n



（2 - 10）

₂ 

 r1



r2 

f = n

/  n − n1 + n2 − n



（2 - 11）

₁ 

 r1



rr 

f＇和 f 的正负，由 r1 和 r2 的正负及 n1、n、n2 的大小决定。对于凸透镜f 为负在物空间，f＇为正在像空间；对凹透而言 f＇为负在物空间、相应的焦点 F＇为虚焦点（出射线反方向延长线的交点），f 为正在像空间， 如图 2-13(a)和(b)所示。

1. 什么叫薄透镜的焦平面和副光轴？

通过焦点 F，F＇垂直于主光轴的平面分别叫做物方焦平面和像方焦平面。通过光心任一直线称为薄透镜的副光轴，副光轴跟焦平面的交点称为副焦点。与副光轴平行的入射光线其出射线都会聚于副轴跟像方焦平面的交点上，如图 2-14 所示的(a)和（c）；通过（或指向）物方焦平

面上某点的光线，经折射后的出射线都跟通过该点的副光轴平行，如图 2

－14 中的(b)和（d）所示。上述诸情况在画光路图时，经常要用到。3.什么叫做薄透镜的作图求像法？

如图 2-15 所示：P 为近轴物点，我们从以 P 点为顶点的入射光束中选择三条特殊（典型）光线如下：①通过光心的光线方向不变；②通过

（或指向）物方焦点的光线，其出射光线跟主光轴平行；③跟主光轴平行的入射光线，其出射光线都交于（或指向像方焦点。在作光路图时， 从上述三条光线中任选其中两条，它们出射线的交点就是所求的像点。如果物点在主光轴上，上述三条特殊光线重合为一条，故得不到交点， 此时需要用副光轴和焦平面的有关性质来画光路图。

图 2-16 所示为物点在凸透镜主轴上成像作图的具体方法步骤如下： (1)从 P 点作沿主轴的入射线，经凸透镜折射后方向不变；

1. 从P点作任意光线PA跟透镜交于A点，跟物方焦平面交于B

点；

1. 作辅助线BO（通过B点的副光轴），过A作平行BO的折射

光线与沿主轴的光线交于 P＇，它就是所求跟物点共轭的像点（P＇）， 如图 2-16(a)。

同样，也可以利用像方焦平面及副光轴OB′作图求得像点P ′，如图

2-16(b)所示。

上述用物方焦平面或像方焦平面，及副光轴求像的方法，也同样适合于凹透镜成像的情况。不过要注意凹透镜的像方焦平面在物空间，物方焦平面在像空间。图 2-17 所示为用凹透镜的像方焦平面作的成像光路图。步骤如下：

1. PA为从P点（物点）发出的任意光线，与凹透镜交于A点（

如图 2-17 所示）；

1. 过凹透镜光心O作辅助线（副光轴）平行PA跟像方焦平面

交于 B＇点；

(3)连接 A，B＇两点，它的延长线就是出射光线（折射光线）的方向， 它与通过主轴的光线交于 P＇，则 P＇点即为所求的像点。同样可利用物

方焦平面及副光轴作图求得像点 P＇。上述方法同样适用于轴外（近轴） 物点成像的情形。只不过比利用三条典型光线作图复杂罢了。但是，这种方法对处理复杂的光学系统（如显微镜、望远镜等）成像相当方便。

1. 什么叫薄透镜的横向放大率）？

我们下边只推导在近轴光学条件下，置于空气中的薄透镜的横向放大率和角放大率。

①根据横向放大率的定义（垂直于主轴的像长跟物长之比），和几何知识来推导横向放大率跟物（或焦物）距，像（或焦像）距之间的关系如下：

图 2-18(a)所示带阻影的两个三角形相似，所以-y＇/y＝S＇/（-S）， y＇/y＝S＇/S，因β＝y＇/y

则 β= S′ （2 - 12）

S

由图 2-18(b)所示带阴影的两个三角形，对应边成比例，所以-y＇/y

＝x＇/f＇

则 β= y′ = - x′ （2 - 13）

y f ′

由图 2-18（c）的示带阴影的两三角形，对应边成比例，所以-y＇/y

＝-f/-x

则 β= y′ = - f （2 - 14）

y x

②由图 2-19 所示两三角形及角放大率定义，来推导角放大率的过程如下

tgu′≈u′≈ h ,

S′

tg(-u)≈− u≈ h

• S

即u＇S＇= us

则ν= u＇ = S

（2 - 15）

u S＇

由（2-12）及（2-15）两式可知，在 n1＝n2 的前提下，β与ν的值互为倒数，在近轴条件下，β与ν的值其大小跟 y 值（即物长）无关， 也就是说，它们跟入射光线的孔径角无关。因此，作光路图时，无论是用三条典型光线，还是采用任意光线其结果都是一致的。

由（2-14）式可知，在焦距一定时，透镜对物成像的横向放大率是跟物体远近有关的，物体离镜头愈远β值愈小；当物跟透镜距离一定时， 透镜的焦距越大，则β值也越大。

从前面透镜成像光路图可知：凸透镜对光线有会聚作用，故有时将凸透镜也叫会聚透镜或正透镜；凹透镜则对光线有发散作用，故可叫做发散透镜或叫负透镜。

1. 什么叫薄透镜的高斯公式和牛顿公式？

如果把薄透镜的焦距表示式代入薄透镜的普遍物像公式中，并加以整理即可得到普遍的高斯公式为：

f ′ + f

= 1 （2 - 16）

S′ S

如果薄透镜置于空气中（n1＝n2＝1），普通摄影，大都是这种情况。于是上式变为：

1 − 1 =

1 （2 - 17）

S′ S f ′

有的书上（2-17）式中间是加号，是因为符号法则不同的缘故。这是常用的基本公式。

如果把物距及像距以焦物距和焦像距代替则可得到牛顿公式的形式：

xx′ = ff ′（2 - 18）

xx′ = -f ² （在n = n 时）（2 - 19）

三、薄透镜组成像有什么规律？

普通的摄影镜头都是由透镜组组成，可以按每个球面逐次成像法求得最后的像；如果将每个透镜看成是薄透镜时，则可按薄透镜逐次成像法求得最后的像。第一个透镜的像是第二个透镜的物；第二个透镜的像又是第三个透镜的物⋯⋯。不过每次成像时的参考点是不同的，分别是每个透镜的光心。

可以通过作图法求得像的位置及大小，也可以用解析法（用高斯公式或牛顿公式）计算出未知量。例如前边曾提及过的变焦镜头的前固定组和变倍组是正负透镜的组合。如图 2-20 所示，若凸透镜 L1 和凹透镜 L2 的焦距分别为 20.0cm 和 40.0cm，L1 在 L2 之右 40.0cm。傍轴小物放在 L1 之左 30.0cm 处，求它的像，包括像距和横向放大率。

①作图法：根据题意，将两透镜和它们焦点的位置，物体的位置按比例标在图 2-20 上。物 PQ 通过 L1 成实像为 P1Q1；P1Q1 对 L2 而言是虚物

（会聚光束），光线不是从虚物发出的，而是指向虚物的，即 L1 的出射光束的交点，但在还没有会聚之前就遇到了 L2。在画 L1 成像光路图时， 就当作 L2 不存在，从 P 点引两条入射光线：一条跟主光轴平行；一条通过光心，它们出射线的交点 P1 即是 P 点的像，由 P1 作光轴的垂线，其垂足 Q1 便是 Q 点的像。

L2 对 P1Q1 成像的光路作法：用 L1 的两条出射线（对 L2 而言不属于三条特殊光线之列），必须应用焦平面和副光轴的性质。为简单仍用典型光线。所不同的是，光线不是来自 P1，而是指向 P1。具体作法如图 2-20 所示，虚线表示光线延长线。

L1 的放大率为β1＝-/P1Q1PQ，L2 的放大率为β2＝-/P＇Q＇-P1Q1；总

放大率β＝β1β2

②解析法（利用物像关系求未知量）

1. 利用高斯公式：1/S＇＝1/S＝1/f＇，高斯公式是代数式，所以在具体运算时，必须把已知量按符号法则冠以正负号；求得的未知量由它的符号就可以判断它跟光具组的相对位置。仍然用逐次成像法。首先

求 L1 对旁轴小物 PQ 成的像 P1Q1：

L1 成像：S1＝-30cm，f＇1＝20cm，求 S＇＝？

1 − 1 = 1 ，S′ = 60.0cm

1

S1′ − 30 20

（S＇1 在 L1 之右距 O 点 60.0cm 处）。P1Q1 便是 L2 的虚物再求其像距。

L2 成像：已知（如图 2-20 所示），

Q1Q2 ＝40.0cm，∴S2 = 20.0cm f1′ = -40.0cm

求 L2 对 P1Q1 所成像的位置，即 S＇2＝？

解：高斯公式：

1 − 1

S′2 S2

= 1 ，

f2′

1

S′2

− 1

20.0

= 1

− 40.0

则 S＇2＝40.0cm（居 L2 之右 20.0cm 处）

1. 利用牛顿公式：xx＇＝ff＇，如图 2-20 所示，对 L1 而言， 焦距和焦物距都是已知，很容易求得其焦像距（ F1′Q1 ）；对< /PGN00 74 / PGN > L2 而言其焦物距（ F2 Q1 ）就算已知，而且焦距也是已知的，于是便可求得其焦像距。具体计算如下：

第一次成像：

x1 = −10.0cm，f1 = −20.0cm f1′ = 20.0cm，

x′ = f1 f1′ = − 20.0 × 20.0 = 40.0

x1 − 10.0

第二次成像：

x21 = −20.0cm， f2 = −40.0cm f2′ = −40.0cm，

x′ = f2 f2′ = 40.0 × (−40.0) = 80.0

² − 20.0

显见，上述三种方法所得结果完全一致。下边我们用不同方法求成像的横向放大率：

①几何法：

β = P1Q1

¹ PQ

= − 2 = −2 1

β = P′Q′ = − 4 = 2

P1Q1 − 2

β = β1β2

= −4

或直接由最后的像长跟物长之比求之

β = P′Q′ = − 4 = −4

PQ 1

Q＇P＇为放大的倒立的实像。

②用（2-12）或

β= S′

S

β = 60.0

= −2 β＝β β ＝-4

1

β2

③用（2-13）或

− 30.0 ^{1 2}

= 40.0 = 2

20.0

β = − x′ 或（2 - 14）或β = − f

f ′ x

β = − x′ = − 40.0 = −2

¹ f ′

β = − x′ =

² f ′

20.0

80.0 = 2

− 40.0

β = β1β2 = ( −2) × 2 = −4

可见，三种不同方法计算结果完全相同。