第三节 理想光具组成像有什么规律？

一、什么叫理想光具组？

能够成理想像的光学系统叫做理想光具组或理想光学系统，简称光组。

1. 理想光组能成完善像的条件是什么？

理想光组能完善像的条件是：能使物空间的同心光束转化为像空间的同心光束，也就是物空间一点经光组成的像仍是一点，即物空间与像空间是：点点对应；线线对应；面面对应。

1. 近轴（高斯）光学中所谓的理想光组跟应用光学中的理想光组有什么不同？

近轴光学中光组（如折射球面的组合或透镜组等）都是未经严格设计的光组，只在近轴区才能成完善的像，即成像范围及光束宽度均为无限小。

实际光组如摄影镜头成像，被摄对像总是有一定大小的，而且各物点的光束也要求有一定宽度。应用光学中，就将对任意大的范围，以任意大的光束成完善像的系统定义为理想光学系统。尽管应用光学中的光组，如摄影镜头，经过严格设计，但仍不能成完善的像。因此，应用光学中的理想光学系统也只是实际光组的近似。但是，可以利用理想光组成像的特点来比较和估计实际光学系统的成像质量。

在均匀介质中的理想光学系统，物空间及像空间的光线都是直线。物空间一点，在像空间仍然是一点。因此，物跟像的位置就可以用光线通过几何关系来确定。物像的这种几何关系叫做共线成像（或共线变换、共线光学）。

1. 共线光学理论的主要内容是什么？ 共线光学理论主要内容如下：

①物空间每一点对应于像空间一点，而且，只有唯一的一点；此两点叫做物、像空间的共轭点；

②物空间中每一条直线对应于像空间的一条直线，这一对对应的线叫物像两空间的共轭线；

③如果物空间的任意点位于直线上，那么在像空间内的共轭点也必在该直线的共轭线上；

④物空间的任意平面对应于像空间的一平面。

二、理想光组的重要意义是什么？

在设计光学系统时，设计者必须首先心中有数，根据使用条件，提出具体要求。如物和像的位置、放大率、像的倒正、光学系统的纵向和横向尺寸等。上述要求，必须依据理想光组的理论进行运算以获得数据。

研究或分析一个现有的光学系统，如手头的一个摄影镜头，要确定其中每一个光学部件的作用，了解各部件间的相互关系等，也得应用理想光学系统理论。

三、理想光组的基点有哪些？

我们知道共线光学理论是物方与像方的点与点，线与线对应，主要是用光线通过几何关系来确定物和像的位置。物与像的几何关系，通常是采用通过几对具有特殊光学特性的典型光线，构成几何图形，再根据图形边角关系来确定物像位置及放大率（横向放大率和角放大率）。光组主光轴上存在三对共轭点：焦点、主点和节点，它们统称为基点。

1. 什么叫理想光组的焦点和焦平面？

一个光组无论是简单（如一个折射球面，一个薄透镜）还是复杂（如多个透镜组成的摄影镜头），只要把它看成是理想光组，就可以由一些基点和基面来决定物像的共轭关系。至于光组的详细情节，诸如像折射面的曲率、间距、构成透镜的光学材料都不用考虑，如图 2-21 所示。图2-21(a)所示为正光组（会聚光组）的情形，物方焦点在物空间，像方焦点在像空间；图(b)为负（发散）光组，物方焦点在像空间，像方焦点在物空间，各种入射光线，通过负光组后的出射光线都有所发散。图中只给出光组中最前和最后两个折射面及主光轴。跟主轴平行的入射光束（物点在物空间主轴上无限远处），经光组后的出射光束交像空间主轴上一点 F＇，F＇叫光组的像方焦点（或第二焦点、后焦点）。过 F＇的垂轴平面叫光组像方焦平面（第二焦平面、后焦平面）；跟无穷远像点共轭的物点 F，叫物方焦点（第一焦点、前焦点），过 F 的垂轴平面叫物方焦平面（前焦平面、第一焦平面），（如图(a)、(b)所示）。

F 与 F＇不是共轭点，因物点置于 F 处，像并不成在 F＇点，反之变然。像方焦平面的共轭平面，是位于物方无限远处的垂轴平面。由物方无限远处射来的任何方向的平行光束，经光组后必会聚于像方焦平面上一点（副焦点）；物方焦平面跟像方无穷远处垂直于主轴的平面共轭， 因此，自物方焦平面上任一点发出的光束经光组后，必平行于过该点的副光轴射出。上述焦平面的性质，画光路圈时经常用到。

1. 什么叫理想光组的主点和主平面？

①什么叫主点和主平面？

任何理想光组都存在一对横向放大率等于正一的共轭平面。属于物方的叫物方主平面，其轴上点叫物方主点（或叫第一主点，前主点）； 属于像方的叫像方主平面，其轴上点叫像方主点。分别用 H 与 H＇表示前主点和后主点。图 2-22(a)和(b)所示是凸透镜的主点和主平面的情形。从物方焦点 F 发出的光束经两次折射后与主光轴平行；平行于主光轴的光束经两次折射后通过像方焦点。在两图中分别将每对共轭线延长并相交，这些交点的轨迹是垂轴平面，便是主平面，它们与主轴的交点便是主点。

②为什么主平面是横向放大率等于正一的共轭面？

图 2-23 中，H1 为双箭头两共轭线在物方主平面上的交点；H＇1 为单箭头两共轭线在像方主平面上的交点。由图 2-22 所示可见，无论是从 F 发出的光线，还是跟主光轴平行的入射光线。其入射高度（入射线跟物方主平面的交点到主轴的距离）是任意的；图 2-22(a)中出射线恰是图(b) 中的入射线；若两图中的入射高度相等时，其出射线的高度（出射线跟像方主平面的交点至主轴的距离）必相等。因此，图 2-23 所示的情形是

完全可以实现的。此种情况下 H1 可以看作是两条入射光线的会聚点—— 物方主平面上的虚物点，H＇1 则可以看成是 H1 的虚像点。这对共轭点都在主轴同侧且距主轴的高度都相同，故横向放大率为正一。同理，H1H 与H＇1H＇两线段也是共轭的，若将此图线绕至轴旋转一周，H1H 与 H＇1H＇ 所在的两个平面也是共轭的。

物方焦距及物距都是以物方主点 H 为坐标原点，在右为正，居左为负；像方量则以 H＇为坐标原点同样是右正左负。但是，物方量不能从 H＇ 算起；像方量也不能从 H 算起。

四、理想光组的物像有什么关系？

对理想光组已知物求其像，可用图解（作图）法和解析（代数）法： 1.什么叫图解法？

根据光组的焦点和主点的性质，及物空间点、线、面的位置，用作图的方法求其共轭点、线、面的位置，叫做图解法求像。

1. 在理想成像的条件下，从一点发出的光束，经光组折射后必交于一点。因此，要确定像点位置，只须求出由物点发出的光束中的两条典型光线在像空间的共轭光线，则它们的交点就是所求的像点。如图 2-24 所示，系统的主点 H 及 H＇；焦点 F 及 F＇位置都是已知的，垂轴物体 PQ 的位置及大小也是已知的。求其像的位置及大小。首先过 Q 点作一平行于主光轴的光线 QM 交物方主平面于 M 点，根据焦点和主平面的性质，光线 QM 经光学系统折射后的出射光线 M＇P＇必通过后焦点 F＇；再由 Q 点引一条通过物方焦点的光线，交前主面于 N 点，则其共轭光线 N＇Q＇必跟主轴平行。两条折射线的交点 Q＇便是 Q 点的像点；过 Q＇点作垂轴线段 Q＇P＇，就是 PQ 的像。

2. 若物点在主轴上，则上述两条典型光线重合为一条沿主轴传播的光线。因此，必须引一条任意方向的光线，要确定其出射线的方向则需要应用焦平面的性质。如图 2-25(a)所示，用作图法求轴上点 A 的像点： 过 A 作任一条入射线 AM，可以认为此光线是由轴外无穷远物点发出的平行光束（斜射光束）中的一条，再过前焦点 F 作一辅助光线与其平行， 这两条光线构成斜平行光束。它们应会聚于像方焦平面上一点。这一点可由辅助光线来决定，因辅助光线出射系统后，应平行于主光轴，与后焦平面交于 B＇，由此可确定出射线的方向，它跟主轴的交点 A＇便是所求的像点；也可以用图 2-25(b)所示的方法求像点 A＇。

2.什么叫解析法？

如果一个物体相对于光组的位置是已知的，用公式计算像的位置和大小的方法叫解析法。此种方法没有作图法求像方便、直观，但比较精确。由于所取坐标原点不同，也分牛顿公式和高斯公式两种。如图 2-26 所示。x 为焦物距，它是以 F 点为原点，x＇为焦像距，是以 F＇点为原点，符号都是左负右正。图中标的都是几何置（正值）。

1. 如何推导牛顿公式？

如上图所示，四个三角形：1、2、3、4。可有下式：

− y′ = − f

• y ′ x′

， =

y − x y f ′

则 xx′ = ff ′ （2－20）

相对于牛顿公式的横向放大率为

β= y′ = − f

= − x′

（2－21）

y x f ′

1. 如何推导高斯公式？

如上图所示，S 表示物点 P 至物方主点 H 的距离（物距），S＇表示像点 P＇至像方主点 H＇的距离，S 及 S＇的符号是以主点（H 及 H＇（为坐标原点，仍然是左负右正。由图可知：x＝S-f；x＇＝S＇-f＇，代入牛顿公式，整理得到高斯公式如下：

f ′ + f （2 - 22）

s′ s

摄影镜头多数情况是在同种介质中使用，此时 f＝-f＇上式变为：

1 − 1 = 1

（2 - 23）

s′ s f ′

相对高斯公式的横向放大率也可以由牛顿推导出：将x′ = ff ′ 的

x

两边各加上 f＇，再将 x＇+f＇＝s＇及 x+f＝s 代入，并整理得：

− f = − x′ = s′

(2 − 23) 即β= s′

（2 - 24）（ a）

x f ′ s s

以上高斯公式及其横向放大率均由牛顿公式推导而得；反之，牛顿公式也可以由高斯公式推导而得；或者它们都直接由光路图中边角关系推得。

任何型号的摄影镜头，只要将其看成是理想光组，求得基点后，就可按图 2-26 的方法作图求得像的位置。

五、联合光组的放大率为什么等于各部分放大率之积？

一个光学系统可以由一个部件或几个部件组成，每个部件可以由一个透镜和几个透镜组成。每个部件都可以单独看作一个光组。例如照相机的变焦镜头通常是由四部分组成：前固定组、变倍组、补偿组和后固定组。变焦镜头的放大率就等于四部分放大率之积。下边我们推导由三个部件组成的光学系统的放大率。若物长为 y，通过三个部件成像的高度为：y＇1、y＇2、y＇3。证明：

β＝β1β2β3 （2-24）(b) 因为第一光组的像是第二光组的物，即：

y2＝y＇1

第二光组的像是第三光组的物，即：

y3＝y＇2

第三光组的像也就是联合光组的像，即：

y＇3＝y＇

根据横向放大率的定义有：β1

= y′ =β

y 2

= y′2 ，β

y 3

= y′3

y

= y′ ，

y′

β= y′ 。

y

则β= y′ / y = β 3 y′2

2 3 2

= β 2 β 2 y1′ =β β β （2 - 25）

y y 1 2 3

六、什么叫联合光组的光焦度？

光学系统的光焦度是光学系统的会聚本领或发散本领的数值表示， 其数值的大小用 n＇/f＇或 n/f 来量度，若用ϕ表示光组的光焦度时则：

ϕ = n′ （2 - 26） f ′

若光组置于空气则

ϕ = 1

f ′

= − 1

f

普通摄影即适用式（2-27）所示情况。光学系统的光焦度为正表示它是正组，对光线有会聚作用；ϕ为负表示光组是负组，对光线有发散作用。照相机镜头通常都是由正负光焦度的光组构成的联合光具组，这种联合光具组的光焦度一定为正。照相机的短焦距镜头（鱼眼镜头、广角镜头）具有大光焦度，它将使出射光束相对于入射光束有非常大的偏折作用。而望远系统（无焦系统），则对光束不起偏折作用（只改变光束孔径），光焦度为零，焦距为无限大。

七、理想光组对任意大小物体用任意宽光束成像的普通公式是什 么？

在图 2-27 中，轴上物点 P 发出的光线 PM 与光轴成 u 角，交物方主平面于 M 点，入射高度为 h。PM 的共轭光线 M＇P＇，交主平面于 M＇点， 和光轴交角为 u＇。由直角三角形△PMH 和△P＇M＇H＇有

h = stgu = s＇tgu ＇ 或（ x + f） tgu =（ x＇+f ＇）tgu ＇

由式（2 - 21），得x = − y if 和x′ = − y′ f ′代入上式得

y y

yftgu = - - y＇ f＇ tgu＇（2 - 28）

对于理想光组，上式对 u（或 y）、u＇（或 y＇）取任何值时都成立， 当然当 u（或 u＇）趋于零时也成立：

yfu = y＇ f＇ u＇

和（2-6）式中拉氏不变量 muy＇＝n＇u＇y＇相比可得：

f ′ = - n′ （2 - 29）

f n

若物方和像方介质相同则：

f＝-f＇ 将（2-29）代到（2-28）中则：

nytgu = n＇y＇tgu ＇（2 - 30）

它是光组对任意大小物体用任意宽光束成像的普遍公式——拉赫公式。

八、什么叫角放大率？

如图 2-27 所示，过光轴上一对共轭点，任取一对共轭光线 PM 和 P＇ M＇，其与光轴的夹角分别为 u 与 u＇，这两角的正切之比，叫这对共轭点的角放大率，即：

ν= tgu′ （2 - 31） tgu

将（2-28）式中的 tgu＇与 tgu 的关系代入得

v = tgu′ = −

y · f

= − 1 · f = 1 · n (2 − 32)

tgu

y′ f ′

β f ′ β n′

如果光学系统在同种介质中，则

v = 1 （2 - 33）

β

如果将β = − f

x

= − x′ 代入（2 - 32）式中， f ′

则 v = − 1 · f = x = f （2 - 33）

β f ′ f ′ x′

显然，角放大率与角 u 及 u＇无关，只跟物体的位置有关。在同一对共轭点上，所有共轭光线与光轴夹角的正切之比恒为常数。

九、什么叫光组的节点？

1.何为光组的节点？

在光组主轴上存在一对角放大率等于正 1 的一对共轭点叫做光组的节点。属于物方的叫做物方节点，属于像方的叫做像方节点。分别以 K 与 K＇表示。角放在等于正一，说明通过节点的一对共轭线是平行的且方向相同如图 2-28 所示。2.如何确定节点的位置？

根据（2 - 33）式， v = x / f ′ = f / x′ = 1，则： x = f ′

x′ = f ′

上述结果说明，物方节点距物方焦点的距离等于像方焦距值，如 f＇

为正则F点往右量，距离等于 f ′ 处即为K点；如f＇为负，则从F点往左量，距离等于f ′ 处即为K点；同样也可以确定K＇点的位置。

如果光组处于同种介质中，节点跟主点重合。普通摄影时，镜头就是处于同种介质——空气中。如果是薄透镜，则前后主点和前后节点四点合而为一称为光心，以 O 表示，所以 O 点同时具有主点和节点的性质。

1. 如何用节点的性质画光路图？

以前我们用焦点和主点的性质可以用图解法求像。同样，用焦点和节点的性质也可以用图解法求像。如图 2-29 所示，当相机镜头置于空气

中时，则主点跟节点重合，并设主点和焦点的位置是已知的，由物体 PQ 的 Q 点引一条通过前节点（即前主点）的光线，则共轭光线一定通过后节点（即后主点）且与入射线平行；再作一条平行于光轴的光线或过物方焦点的光线，与其共轭的出射光线必通过像方焦点或平行于主光轴， 与通过像方节点的光线相交 Q'点，它即是 Q 点的像，过 Q'点作垂轴线段P'Q'，就是物体 PQ 的像。

1. 节点的物性有什么应用？

节点的特性除用于画光路图之外，还被用在全景照相机上，这种相机称作转机。其原理就是让相机的镜头绕通过像方节点的轴旋转，将其底片改在以像距为半径的圆弧面上，就可以摄得大场面的照片。

如图 2－30 所示：被摄人群处在以像方节点 K'为圆心，以物距与两节点间距离之和为半径圆弧线上；胶片则放在以后节点为圆心，以像距为半径的圆弧面上。普通转机，常在镜头前和镜头后（曝光窗）装有狭缝。来自被摄体的光线必须同时通过两个狭缝（前者为入射线，后者为出射线）才能使胶片某一小区域感光，形成清晰影像。当曝光窗狭缝位于 u 时，自左上方被摄体射入的光线通过镜头在胶片 a 小区域内可形成清晰的像；当摄影镜头连同曝光窗狭缝绕 K'点顺时针旋转至正前方时， 自正前方被摄体射入的光线，通过摄影镜头在胶片小区域 b 可形成清晰像；随着摄影镜头的旋转，曝光窗狭缝就依次扫过整个胶片，因此，就可以获得较大场面的照片。

十、如何测定摄影镜头的基点？

摄影镜头的基点，虽看不到，摸不着，但却客观的存在着并能测定。我们不涉及如何精确地测定基点的问题，只介绍一下简便宜行的方法。

1. 如何测定焦点？

摄影镜头总体是一个正光组，相当于一个厚透镜，对光线起会聚作用。让太阳光直射镜头，如图 2－31 所示，在光组后用一小屏（如一张白纸）沿光轴左右移动，如移动到 a 或 b 处，屏上的光斑直径都较大， 唯独在 F'处，光斑最小，可近似为一点（此处纸屏可被烧焦），F'就是镜头后焦点；同样，将镜头左右对调则可测出物方焦点 F。

1. 如何测定镜头的主点和节点？

普通摄影，镜头总是置于空气中，物方主点跟物方节点重合；像方主点跟像方节点重合。因此，只要测得其节点，主点自然也就被测得了。这就得根据节点的性质来测节点。

如图 2－32 所示：保持被摄物体和像面不动。将镜头绕垂直于纸面的轴旋转，轴心位置不同时，像点的位置也不同。但轴心通过镜头的后节点时，像点的位置不变。图(a)所示镜头是静止的，平行光束的像点为P'；镜头绕像方节点 K'顺时针旋转一小角度如图(b)所示，像点的位置未变；图（c）所示。轴心未通过后节点时镜头旋转一小角度，像点的位置却改变了。因为，两节点是角放大率等于正 1 的共轭点，图 2－32 中入射光线的方向都是沿横坐标轴 x 方向进行的，所以过后节点的出射线必须平行于入射光线，其跟像面的交点就是平行光束的清晰像点。

令摄影镜头沿 x 轴缓慢平移，同时又绕垂直于纸面的轴（O）轻轻左

右旋转，直至平行光束或无限远景物的像在旋转时不发生位移为止。此时，旋转中心 O 恰好跟后节点重合，故可准确的测定 K'点；若将镜头前后颠倒，同样可测出镜头前节点。

十一、摄影镜头的基点如何布局？

各种相机都是根据使用要求确定结构尺寸的，其结构内容包括系统的组成，各组元的焦距，各组元的相对位置和横向尺寸。其中摄影镜头基点的布局直接影响相机的轴向（长度）尺寸，镜头的孔径直接影响相机的横向尺寸。

1. 摄影镜头横向尺寸中主要有几部分？ (a)什么叫像面定位距？

镜头与镜头座相配合的镜筒轴向定位端面，至该镜头的焦平面（曝光窗平面）之间的距离叫像面定位距。

(b)什么叫后工作距（后截距、后顶焦距、像方顶焦距）？自摄影镜头最后一片透镜的后顶点，到其像方焦点的距离叫后工作距。

1. 什么叫前顶焦距？

自摄影镜头最前一片透镜的前顶点到物方焦点的距离叫前顶焦距。其值的大小决定了镜头前片距被摄物平面间的空间大小。

1. 什么叫光学长度？

自摄影镜头第一片透镜的前顶点到其最后一片透镜的后顶点之间的距离叫摄影镜头的光学长度。

1. 摄影镜头按焦距长短分几类？

摄影镜头可以不同标准分类。其中以焦距为标准可分为三类：标准镜头、广角镜头和长焦镜头。

1. 什么叫标准镜头？

在照相机使用的镜头系列中，通常将焦距值跟所摄画幅对角线相接近的那个摄影镜头，叫做标准摄影镜头。例如卡侬 135 单镜头反光照相

机，画幅尺寸为 24 mm×36 mm。其摄影镜头系列共备有 55 种不同焦距

和性能的摄影镜头。其中焦距为 50 mm（画幅对角线长为 43． 27 mm）

的摄影镜头称为该 135 型相机的标准镜头。

1. 什么叫长焦距和短焦距摄影镜头？通常把焦距比标准镜头焦距长的镜头称为长焦距镜头；把焦距比标准镜头焦距短的镜头称为短焦距摄影镜头。

1. 摄影镜头的基点布局有几种情况？

普通摄影镜头都置于空气中，因此节点跟主点是重合的，故只研究镜头焦点和主点的分布情况。基点分布情况是多种多样的，我们仅举几个例子来说明。

例一， 120 型柯克镜头，画幅尺寸为 56 mm×56 mm，对角线尺寸为 79．20 mm。其中-lF 为前顶焦距，lF 为后工作距，物（像）方焦点及物（像）主点等分布如图 2－33 所示。图 2－34 所示为尼柯 50 mm 镜头的基点分布情况。F 与 F'为物方和像方焦点；H 与 H'为物方和像方主点；

-f 为物方焦距；f＇为像方焦距；lF 为后工作距；-lF 为前工作距；△为光学长度；l 为镜筒长度。对普通摄影镜头而言，通常 F 通常位于前顶点

之前。例二，长焦距镜头的基点分布如图 2－35(a)和(b)所示。为了拍摄远景，又要使远处物体在像面上形成较大的像，必须得用长焦距镜头。焦距长，相机结构相应的要大，为了缩短筒长，常采用正负组分离且正组在前的结构。图(a)为柯克摄远物镜，它的焦距在 100 mm～500 mm； 视场角在 20°～40°；相对孔径从 1：8～1：3．5，是长焦距摄影镜头中最基本的一种。这种摄远型结构，使主面平推向物空间，筒长（ι） 小于焦距（f＇），一般筒长可缩短三分之一。图 2－35(b)所示为尼柯， Q－AUTO400 mm、 1：4． 5 长焦距摄影镜头的光学结构图，其基点分布如图(b)所示。可见，同是长焦镜头，基点分布也不完全相同。图(a)H' 位于前顶点之外（左）；图(b)H'位于前顶点之后的镜组中间。

例三，短焦距（反摄远型）镜头基点的分布，如图 2－35（c）所示。在普通照相或电影摄影中，为了获得较大视场的影像和丰富的体视感， 宜采用短焦距的广角镜头。由于物镜和底片之间要放置分光元件或反光元件，希望镜头有较长的后工作距。为此宜采用如 2－35（c）所示的反远摄型结构，就能得到大于焦距的后工作距离。

总之，不同摄影镜头的主点 H 与 H'相对镜筒的位置是各不相同的： 有的位于光圈叶片附近，有的位于镜筒前部，有的位于镜筒后部，有的位于摄影镜头外部。通常情况下，H 位于物方，H'位于像方，但也有两者倒置的情况。

在普通摄影镜头上，一般物方焦点 F 位于摄影镜头前顶点的前方， 但也有少数摄影镜头的物方焦点 F 位于摄影镜头内部。

还有少数变焦镜头，当焦距变到某一值时，物方主点 H 后移一到该镜头像方焦点 F'的后边。如法国昂热尼 15×变焦镜头应存在上述情况。但是，不管摄影镜头基点分布如何千变万化，所遵循的原则是相同的：如果把各种不同摄影镜头都看为是理想光具组，都必须满足理想光组的物像关系；满足需要的放大率；使相机既轻便，同时又能容纳下该有的元件。