七数学名题欣赏

**1.鸡兔同笼。**今有鸡兔同笼，上有 35 个头，下有 94 只脚。鸡兔各几只？

想：假设把 35 只全看作鸡，每只鸡 2 只脚，共有 70 只脚。比已知

的总脚数 94 只少了 24 只，少的原因是把每只兔的脚少算了 2 只。看看

24 只里面少算了多少个 2 只，便可求出兔的只数，进而求出鸡的只数。解：兔的只数：

（94-2×35）÷（4-2）

=（94-70）÷2

=24÷2

=12（只）鸡的只数：

35-12=23（只）

答：鸡有 23 只，兔有 12 只。

此题也可以假设 35 只全是兔，先求鸡的只数，再求兔的只数。

解决这样的问题，我国古代有人想出更特殊的假设方法。假设一声令下，笼子里的鸡都表演“金鸡独立”，兔子都表演“双腿拱月”。那么鸡和兔着地的脚数就是总脚数的一半，而头数仍是 35。这时鸡着地的脚数与头数相等，每只兔着地的脚数比头数多 1，那么鸡兔着地的脚数与总头数的差等于兔的头数。我国古代名著《孙子算经》对这种解法就有记载：“上署头，下置足。半其足，以头除足，以足除头，即得。”具体解法：兔的只数是 94÷2-35=12（只），鸡的只数是 35-12= 23（只）。 **2.韩信点兵。**今有物，不知其数。三三数之剩二，五五数之剩三，

七七数之剩二。问物几何。

这是我国古代名著《孙子算经》中的一道题。意思是：一个数除以 3 余 2，除以 5 余 3，除以 7 余 2。求适合这些条件的最小自然数。

想：此题可用枚举法进行推算。先顺序排出适合其中两个条件的数，再在其中选择适合另一个条件的数。

解：除以 5 余 3 的数： 3，8，13，18，23，28，⋯⋯除以 7 余 2 的数： 2，9，16，23，30，37，⋯⋯同时满足以上两个条件的数： 23，58，⋯⋯

满足上两个条件，又满足除以 3 余 2 的最小自然数是 23。答：符合条件物体个数是 23。

我国古代对解这类问题编了这样的歌诀：三人同行七十稀，

五树梅花廿一枝，七子团圆正月半，除百零五便得知。

意思是：一个自然数除以 3 得到的余数乘以 70，除以 5 得到的余数乘以 21，除以 7 得到的余数乘以 15，积相加。如果和大于 105，连续减

105，直到小于 105 为止，这样得到的最小自然数，就是所求的结果。具体解法是：

2×70+3×21+2×15

=140+63+30

=233

233-105×2

=233-210

=23

**三阶幻方。**把 1—9 这九个自然数填在九空格里，使横、竖和对角线上三个数的和都等于 15。

想：1+9=10，2+8=10，3+7=10，4+6=10。这每对数的和再加上 5 都等于 15，可确定中心格应填 5，这四组数应分别填在横、竖和对角线的位置上。先填四个角，若填两对奇数，那么因三个奇数的和才可能得奇数，四边上的格里已不可再填奇数，不行。若四个角分别填一对偶数，一对奇数，也行不通。因此，判定四个角上必须填两对偶数。对角线上的数填好后，其余格里再填奇数就很容易了。

解：

4	9	2
3	6	7
8	6	6

上面是最简单的幻方，也叫三阶幻方。相传，大禹治水时，洛水中出现了一个“神龟”背上有美妙的图案，史称“洛书”，用现在的数字翻译出来，就是三阶幻方。

南宋数学家杨辉概括其构造方法为：“九子斜排。上下对易，左右相更。四维挺出。”具体方法是：

七数学名题欣赏 - 图1

**兔子问题。**十三世纪，意大利数学家伦纳德提出下面一道有趣的问题：如果每对大兔每月生一对小兔，而每对小兔生长一个月就成为大兔，并且所有的兔子全部存活，那么有人养了初生的一对小兔，一年后共有多少对兔子？

想：第一个月初，有 1 对兔子；第二个月初，仍有一对兔子；第三

个月初，有 2 对兔子；第四个月初，有 3 对兔子；第五个月初，有 5 对

兔子；第六个月初，有 8 对兔子⋯⋯。把这此对数顺序排列起来，可得到下面的数列：

1，1，2，3，5，8，13，⋯⋯

观察这一数列，可以看出：从第三个月起，每月兔子的对数都等于前两个月对数的和。根据这个规律，推算出第十三个月初的兔子对数，也就是一年后养兔人有兔子的总对数。

解：根据题中条件，可写出下面的数列： 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，⋯⋯ 因为一年兔子对数也就是第 13 个月初的对数。

答：这个养兔人共有 233 对兔子。

**求碗问题。**我国古代《孙子算经》中有一道著名的“河上荡杯” 题（注：荡杯即洗碗）。题目意思是：一位农妇在河边洗碗。邻居问： “你家里来了多少客人，要用这么多碗？”她答道：“客人每两位合用一只饭碗，每三位合用一只汤碗，每四位合用一只菜碗，共用 65 只碗。” 她家里究竟来了多少位客人？

想：若设客人是 x 人，可用各种碗的个数合起来等于碗的总数的关系列方程解答。

解：设有 x 位客人，根据题意，得

1 1 1

2 x + 3 x + 4 x = 65

13 x = 65

x= 60

答：她家来了 60 位客人。

此题《孙子算经》中的解法是这样记载的：“置六十五只杯，以一十二乘之，得七百八十，以一十三除之，即得。”可见《孙子算经》的作者就是用求方程解的方法解这道题的。

**三女归家。**今有三女，长女五日一归，中女四日一归，少女三日一归。问三女何日相会？这道题也是我国古代名著《孙子算经》中为计算最小公倍数而设计的题目。意思是：一家有三个女儿都已出嫁。大女儿五天回一次娘家，二女儿四天回一次娘家，小女儿三天回一次娘家。三个女儿从娘家同一天走后，至少再隔多少天三人再次相会？

想：从刚相会到最近的再一次相会的天数，是三个女儿间隔回家天数的最小公倍数。

解：3，4，5 三个数的最小公倍数： 3×4×5=60

答：三个女儿至少间隔 60 天再相会。

**有女善织。**有一位善于织布的妇女，每天织的布都比上一天翻一

番。五天共织了 5 丈（50 尺）布，她每天各织布多少尺？

想：若把第一天织的布看作 1 份，可知她第二、三、四、五织的布分别是 2、4、8、16 份。根据织布的总尺数和总份数，能先求出第一天织的尺数，再求出以后几天织布的尺数。

解：5 丈=50 尺

第一天织布尺数：

50÷（1 + 2 + 4 + 8 + 16）

= 50÷31

= 1 19 （尺）

第二天织布尺数：

119 ×2 = 3 7

（尺）

31 31

第三天织布尺数：

l 19 ×4 = 6 14 （尺）

31 31

第四天织布尺数：

119 ×8 = 12 28 （尺）

31 31

第五天织布尺数：

119 ×16 = 25 25 （尺）

31 31

答：从第一天到第五天分别织布1 19 尺、3 7 尺、6 14 尺、

12 28 尺、25 25 尺。

31 31 31

31 31

**蜗牛爬井问题。**德国数学家里斯曾出过这样一道数学题：井深 20

尺，蜗牛在井底，白天爬 7 尺，夜里降 2 尺，几天可以到达井顶？

想：解这道题的关键是把最后一天爬行的情况与前面几天爬行的情况区别考虑。

解：蜗牛前 3 天昼夜爬行的高度：

（7-2）×3=15（尺）最后一天爬行的时间：

（20 - 15）÷7× 1 = 5 × 1 = 5

（天）

2 7 2 14

共用的时间：

3 + 5

= 3 5 （天）

答：3 5

天可以到达井顶。

**巧分银子。**10 个兄弟分 100 两银子，从小到大，每两人相差的数量都一样。又知第八个兄弟分到 6 两银子，每两个人相差的银子是多少？想：因为每两个人相差的数量相等，第一与第十、第二与第九、第

三与第八，⋯⋯每两个兄弟分到银子的数量和都是 20 两，这样可求出第

三个兄弟分到银子的数量。又可推想出，从第三个兄弟到第八个兄弟包含 5 个两人的差。由此便可求出两人相差的银子是多少。

解：每人平均分到银子数量： 100÷1O=10（两）

第三个兄弟分到的数量： 10×2-6=20-6=14（两）

每两人相差的银子数量：

（14 - 6）÷( 8 - 3） = 8÷5 = 1 3 （两）

答：每两人相差银子1 3 两。

**泊松问题。**法国数学家泊松少年时被一道数学题深深地吸引住了，从此便迷上了数学。这道题是：某人有 8 公升酒，想把一半赠给别

人，但没有 4 公升的容器，只有一个 3 公升和一个 5 公升的容器。利用

这两个容器，怎样才能用最少的次数把 8 公升酒分成相等的两份？

想：利用两次小容器盛酒比大容器多 1 公升，和本身盛 3 公升的关

系，可以凑出 4 公升的酒。

解：（1）将 8 公升酒倒入小容器，倒满后，把小容器的酒全部倒入

盛 5 公升的容器中。

再倒满小容器，将小容器的酒再向 5 公升容器倒，使它装

满酒，此时小容器内只剩 1 公升酒。

将 5 公升容器中的酒全部倒回盛 8 公升的酒瓶中，接着把

小容器中的 1 公升酒倒入这时的空容器中。

再把酒瓶中的酒倒满小容器，酒瓶中剩下的酒整好是 8 公升的一半。

**牛顿问题。**英国大数学家牛顿曾编过这样一道数学题：牧场上有一片青草，每天都生长得一样快。这片青草供给 10 头牛吃，可以吃 22

天，或者供给 16 头牛吃，可以吃 10 天，如果供给 25 头牛吃，可以吃几天？

想：这片草地天天以同样的速度生长是分析问题的难点。把 10 头牛

22 天吃的总量与 16 头牛 10 天吃的总量相比较，得到的 10×22-16×

10=60，是 60 头牛一天吃的草，平均分到（22-10）天里，便知是 5 头牛

一天吃的草，也就是每天新长出的草。求出了这个条件，把 25 头牛分成

两部分来研究，用 5 头吃掉新长出的草，用 20 头吃掉原有的草，即可求

出 25 头牛吃的天数。

解：新长出的草供几头牛吃 1 天：

（10×22-16×1O）÷(22-1O）

=（220-160）÷12

=60÷12

=5（头）

这片草供 25 头牛吃的天数：

（10-5）×22÷（25-5）

=5×22÷20

=5.5（天）

答：供 25 头牛可以吃 5.5 天。

**托尔斯泰问题。**俄国大文学家托尔斯泰对数学很感兴趣，曾经编过这样一道题：一组割草人要把两块草地的草割掉，大的一块草地比小的一块大一倍。全体组员用半天时间割大的一块，下午他们便对半分开，一半组员仍留在大块草地上，到傍晚时把草割完了。另外一半组员到小草地上割草，到傍晚时还剩下一块，这块由一个割草人又用了一天时间才割完。假若每人割草的进度都相同，这组割草人共有多少？

七数学名题欣赏 - 图2

想：如图，把大块草地面积看作单位“1”，则小块草地面积就是

1 。全体组员割了一上午，一半组员割了一下午，把大块地割完，可推

出一半组员半天割大块草地的 3 。一半组员在小草地上割了半天，剩下

的是1

- 1 = 1

3 6

，正好是一人一天的工作量。知道了总工作量和每个人的工作

量，便容易求出全组人数。

1 1

解：(1 + 3 ）÷（ 2

= 1 1 ÷ 1

- 3 ）

3 6

= 8（人）

答：这组割草人共有 8 人。

**墓碑上的年龄问题。**丢番图是古希腊杰出的数学家，在他的墓碑上刻着一首谜语式的短诗，内容是一道有趣的数学问题。

丢番图的一生，幼年占 6 ，

青少年占

1 1

12 ，又过了 7 才结婚，

5 年之后生子，子先其父 4 年而死，寿命是他父亲的一半，

问丢番图活了多少岁？

想：把丢番图的年龄看作单位“1”，那么（5+4）年的和相当于

他年龄的（1 - 1 - 1

6 12

- 1 -

1 ）。

解：（5 + 4）÷

(1 - 1 - 1

6 12

- 1 - 1 ）

7 2

= 9÷ 3

= 9× 28

= 84（岁）

答：丢番图活了 84 岁。

**百鸡问题。**古代《张邱建算经》中的“百鸡问题”是一道很有名的算题。题目内容是：用 100 元买 100 只鸡，大公鸡 5 元 1 只，母鸡 3

元 1 只，小鸡 1 元 3 只。问各能买多少只？

想：把三种鸡的只数分别设为未知数 x、y、z，然后利用总只数、总钱数两个条件，列出两个方程，根据鸡的只数必须取整数的要求，一步一步推出各种鸡的只数。

解：设大公鸡 x 只，母鸡 y 只，小鸡 z 只。根据题意，得

x + y + z = 100 ①

5x + 3y + 1 / 3z = 100 ②

x + y + z = 5x + 3y + 3 z

= 6x + 3y ③

把③式代入①式z+y+6x+3y=100

x = 100 - 4y = 4×(25 - y)

 y1 = 4



由 y₂ = 11

x1 = 12



得x₂ = 8

x2=8y3=18

y = 18 x = 7

 3  3

把 x、y 的解代入③式得

z1 = 84

z = 81

 ₂

 z = 78

 3

答：买大公鸡 12 只，母鸡 4 只，小鸡 84 只；

或买大公鸡 8 只，母鸡 11 只，小鸡 81 只；

或买大公鸡 4 只，母鸡 18 只，小鸡 78 只。

**土耳其商人和帽子。**有一个土耳其商人，想找一个助手。有两个人前来报名，商人想测验一下这两人中谁更聪明。他把两人带进一间既没有镜子，也没有窗户，全靠灯来照明的房子里。然后商人打开一个盒子说：“这里面有五顶帽子，两顶红的，三顶黑的，现在我把灯熄掉，我们三人每人摸一顶戴在自己的头上，然后我把盒子盖上，点亮灯后，你们要尽快说出自己头上戴的什么颜色的帽子。”说毕，就照着做了。当灯亮之后，两个人都看见商人戴着一顶红帽子。过了一瞬间，其中一个人说：“我戴的是黑色的帽子！”这个人猜对了。想一想，他是怎么猜对的？

想：应首先排除不可能的情况，然后一步步推出必然出现的情况。解：猜对的人是这样推想的：一共两顶红帽子，商人头上已经戴了一顶红帽子，如果我戴的是红帽子，对方马上就能断定自己戴的

是黑帽子。

我们都不能马上判断，显然对方和我戴的一样，都是黑色的帽

子。由于他抢先一步，就猜对了。

**苏步青爷爷做过的题目。**甲和乙分别从东西两地同时出发，相对而行，两地相距 100 里，甲每小时走 6 里，乙每小时走 4 里。如果甲

带一只狗，和甲同时出发，狗以每小时 10 里的速度向乙奔去，遇到乙后即回头向甲奔去，遇到甲后又回头向乙奔去，直到甲乙两人相遇时狗才停住。这只狗共跑了多少里路？

想：只从狗本身考虑，光知道速度，无法确定跑的时间。但转个角度，狗在甲乙之间来回奔跑，狗从开始到停止跑的时间与甲乙二人相遇时间相同。由此便能求出答案。

解：10×[100÷(6+4）]

=10×[100÷10]

=10×10

=100（里）

答：这只狗共跑了 100 里。

哥德巴赫猜想。二百多年前，有一位德国数学家名叫哥德巴赫。他发现，每一个不小于 6 的偶数，都可以写成两个素数（也叫质数）的和，简称“1+1”。例如：

6=3+3 100=3+97 1000=3+997

8=3+5 102=5+97 1002=5+997⋯⋯

12=5+7 104=7+97 1004=7+997

哥德巴赫对许多偶数进行了检验，都说明这个推断是正确的。以后有人对偶数进行了大量的验算，从 6 开始一个一个地一直验算到三亿三千万个数，都表明哥德巴赫的发现是正确的。

但是，自然数是无限的，是不是这个论断对所有的自然数都正确呢？还必须从理论上加以证明，哥德巴赫自己无法证明。1742 年，他写信给当时有名的数学家欧拉，请他帮忙作出证明。后来欧拉回信说：“他认为哥德巴赫提出的问题是对的，不过他没有办法证明。因为没能证明，不能成为一条规律，所以只能说是一个猜想，人们就把哥德巴赫提出的那个问题称为“哥德巴赫猜想”。

从此，哥德巴赫猜想成了一道世界有名的难题。有人称它为“皇冠上的明珠”，它好比是数学上的一座高峰。谁能攀登上这座高峰呢？二百多年来，许许多多数学家都企图给这个猜想作出证明。我国数学家陈景润在对“哥德巴赫猜想”的研究上取得突破性进展，居于世界领先地位。他的著名论文《大素数表为一个素数及不超过两个素数乘积之和》中的成果被国际数学界称为“陈氏定理”。