（二）巧算

1.997 997 − 997 ×999 = ？

998 998

想：利用乘法分配律先计算出减数的结果使之与被减数相同，此题可口算得出结果。

997 997

解：997 998 − 998 ×999

= 997 997 − 997 ×999

998 998

= 997 997 − 997 ×（998 + 1）

998

= 0

1

998

1 1 1

2. （1 + 2 ）×（1 − 2 ）×（1 + 3 ）×（1 − 3 ）×Λ Λ

×（1 +

1 ）×（1 −

99

1 ） = ？

99

想：利用乘法交换律，分别算出式中是和的因数的积及是差的因数的积，然后再把这两个积相乘，即可得出结果。

解：（1 + 1 ）×（1 − 1 ）×（1 + 1 ）×（1 − 1 ）×Λ Λ

2 2 3 3

1 1

×（1 + 99 ）×（1 − 99 ）

= （1+ 1 ）×（1 + 1 ）××Λ Λ ×（1 + 1 

 2 3

 1 1

99 ）×

1 

（1 − 2 ）×（1 − 3 ）×Λ Λ ×（1 − 99 ）

 

= 100 × 1

2 99

= 50× 1

99

= 50

99

3.3 3 ×2345 + 5555÷

5

25

256

+ 654.3×36 = ？

想：把 654.3×36转化为6543×3.6后，3 3

5

×2345＋6543×3.6可

运用乘法分配律进行计算。5555÷ 25 可转化为5555× 256 ，约简成 11

256 25

11×8×32/5，进而化简为 8888×6.4，使计算简便。

3 25

解：3 5 ×2345 + 5555÷ 256 + 654.3×36

= 3 3 ×2345 + 6543×3.6 + 5555× 256

5 25

= 3.6×8888 + 8888×6.4

= 8888×(3.6 + 6.4)

= 8888×10

= 88880

7 7 7

4.（1 + 33 ） + （1+ 33 ×2） + （1 + 33 ×3）+Λ Λ +

（1 +

7 ×10） + （1 +

33

7 ×11） = ？

33

想：先把算式中的小括号全部去掉，然后运用加法交换律、结合律及乘法分配律即可进行简算。

7 7 7

解：（1 + 33 ） + （1 + 33 ×2） + （1+ 33 ×3）+Λ Λ +

7 7

（1 + 33 ×10） + （1 + 33 ×11）

= 1+

7 + 1 +

33

7 ×2 + 1 +

33

7 ×3+Λ Λ +1 +

33

7 ×10 + 1 +

33

7 ×11

33

= （1 + 1 + 1Λ Λ +1） + （ 7 +

33

7 ×2 +

33

7 ×3+Λ Λ +

33

7 7

33 ×10 + 33 ×11）

= 11+

= 25

7 ×66

33

5.（2000-1）+（1999-2）+（1998-3）+⋯⋯+（1002-999）+（1001-1000）

=？

想：先把小括号里的结果算出来，可知它们的差是 1999、1997、

1995、⋯⋯、3、1。由 1～2000 有 2000 个自然数，其中有 1000 个奇数看出，1+1999=3+1997=5+1995=⋯⋯=2000，这样搭配的数共有（1000÷2） 对，因此，可得下面的解法。

解：（2000-1）+（1999-2）+（1998-3）+⋯⋯

+（1002-999）+（1001-1000）

=1999+1997+1995+⋯⋯+3+1

=（1+1999）×（1000÷2）

=2000×500

=1000000

1 1 1

6. （1 − 2×2 ）×（1 − 3×3 ）×Λ Λ ×（1− 10×10 ）

= ？

想：观察每个括号差式中减数的结构规律可知所求的积式中共有 9

个因数，其数值依次为 3/4、8/9、⋯⋯、99/100，可按分数乘法的法则进行计算。

解：（1 −

1

2×2

）×（1 −

1

3×3

）×Λ Λ

×（1 −

1

10×10 ）

= 3 8 15 24 35 48 63 80 99

4 × 9 × 16 × 25 × 36 × 49 × 64 × 81 × 100

31×821 ×1551 ×2431×3571 ×4841 ×6391 ×8051×9911

= 4 ×9 ×16 ×25 ×36 ×49 ×64 ×81 ×100

1 31 81 51 21 71 61 91 20

= 11

20

7. 267 + 1230133894 = ?

8940133124 − 627

想：如果把分母中的 894×124 与分子中的 123×894 变成相同的乘积形式，则便于约分。因此，可把 894×124 变成 894×123+894，这样分子分母可以直接约分，使计算简便。

267 + 1230133894

解: 894×124 − 627

= 267 + 123×894

894×123 + 894 − 627

= 267 + 123×894

894×123 + 267

= 1

8.49÷7777772 = ？

想：先将除法算式转为分数形式，再根据数的分解和组成的知识，

把分子和分母均改写成因数相乘的形式。约分化简后，再由12 = 1,112 =

121, 1112 = 12321, 11112 = 1234321类推,1111112

最后得数。

解：49÷7777772

= 12345654321.就容易求得

49

= 7777772

= 7×7

777777×777777

= 1×1

111111×111111

= 1

12345654321

9. 根据 1 + 2 + 1 = 22 = 4，1 + 2 + 3 + 2 + 1 = 32 = 9，1 + 2 + 3 + 4 +

3 + 2 + 1 = 42 = 16，1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 52 = 25四式的

计算规律，求：1 + 2 + 3 + + 1998 + 1999 + 1998 + + 3 + 2 +

1的和。

想：由前四式的计算结果可以发现，所求的和正好等于中间一个加

数（最大的一个加数）的平方。故得下面的解法。解：1+2+3+⋯⋯+1998+1999+1998+⋯⋯+3+2+1

= 19992

= 3999001

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1

10. 88888888×88888888 = ?

想：首先将题中的分子应用加法交换律和结合律转化为加数都是 8 的加法，进而改写成乘积的形式，然后约分使计算简便。

解: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1

88888888×88888888

= （1 + 7） + （1 + 7） + （6 + 2） + （3 + 5） + （5 + 3） + （4 + 4） + 8

88888888×88888888

= 81 ×81

88888888×88888888

= 1

123456787654321

11. 1×2×4 + 2×4×8+Λ Λ 1998×3996×7992

1×3×9 + 2×6×18+Λ Λ +1998×5994×17982

= ?

想：原式分子可分解成 1×2×4+（1×2）×（2×2）×（4×2）+⋯⋯

+（1×1998）×（2×1998）×（4×1998），进而转化为 1×2×4×（1+2

×2×2+⋯⋯+1998×1998×1998）。同样道理分母分解后转化为：1×3

×9×（1+2×2×2+⋯⋯+1998×1998×1998）而后进行约分，计算非常简单。

解 ： 1×2×4 + 2×4×8+Λ Λ 1998×3996×7992 1×3×9 + 2×6×18+Λ Λ +1998×5994×17982

= 1×2×4×(1+ 2×2×2Λ Λ +1998×1998×1998) 1×3×9×(1 + 2×2×3+Λ Λ +1998×1998×1998)

= 8

27

11 11 11 11

12. （11 - 36 ） + （9 - 36 ×5） + （1- 36 ×3） + （5 - 36 ×9） +

（3 - 11 ×7） + （7 - 11 ×11） = ？

36 36

想：整体观察式题特点，开括号，重新恰当分组，便使计算简便。

解：（11 - 11 ） + （9 - 11 ×5） + （1- 11 ×3） +

36 36 36

11 11 11

（5 - 36 ×9） + （3 - 36 ×7） + （7 - 36 ×11）

11

= （11 + 9 + 1 + 5 + 3 + 7） - 36 ×（1 + 5 + 3 + 9 + 7 + 11）

= （1 - 11 ）×（1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11）

36

25

= 36 ×36

= 25

13.1994+1993-1992-1991+1990+1989-1988-1987+ ⋯ ⋯ +10+9-8-

7+6+5-4-3+2+1=？

想：观察此题可以看出，题中每 4 个数的运算结果都是 4，共有1994

÷4=498（组）⋯⋯2，所余的 2 个数的和是 2+1=3。此题可用下面的方法简算。

解： 1994+1993-1992-1991+1990+1989-1988-1987+ ⋯⋯ +10+9-8- 7+6+5-4-3+2+1

=4×（1994÷2）+（2+1）

=4×498+3

=1992+3

=1995

14. 1 + 2

41 41

+ 3 + + 40 = ？

41 41

想：此题是以 41 作分母的所有真分数求和的式题，真分数的个数是分母减一。从首尾向中间数，总是两两相对的数和为 1。因此可用“个数折半”的方法巧算分数加法。

1 2

解： 41 + 41

3 40

+ 41 + + 41

= 41- 1

2

40

= 2

= 20

1

15. 2 +

1 + 1

6 12

+ 1 + 1 +

20 30

1 = ？

42

想：题中分数的分子均为 1，分母是两个连续自然数之积，即：1×2、2 × 3 、 3 × 4 、⋯⋯ 6 × 7 。像这类形式的分数可以分解成两

1 1 1 1

个分数之差，如12 = 3×4 =

后，可使计算简便。

3 - 4

。这样，把每个分数作恒等变形之

解： 1 +

2

1 + 1

6 12

+ 1 +

20

1 + 1

30 42

1 1 1 1 1 1

= 1×2 + 2×3 + 3×4 + 4×5 + 5×6 + 6×7

1

= （1 - 2 ） + （

1 1

2 - 3

1

） + （ 3 -

1 1

4 ） + （ 4

1

- 5 ） +

（ 1 - 1 ） + （ 1 - 1 ）

5 6

1 1

= 1- 2 + 2

1

= 1- 7

= 6

7

1

- 3 +

6

1 1

3 - 4

7

1 1

+ 4 - 5

1 1

+ 5 - 6

1 1

+ 6 - 7

1

16. 1×3 +

1

3×5

1

+ 5×7

1

+ + 11×13 = ？

想：这是一道求分子为 1，分母是两个连续奇数的积的分数的和的题目。关键是把一个分数分解成两个分数相减的形式，从而消去许多分数使计算简便。

1 1 1 1

解： 1×3 + 3×5 + 5×7 + + 11×13

= （ 1 - 1 ） + （ 1 - 1

） + （

1 - 1

） + + （

1 - 1 ）

2 6

1 1 1 1

= - + -

6 10

1 1

+ -

10 14

1 1

+ + -

22 26

2 6 6 10

1 1

= 2 - 26

10 14

22 26

= 6

13

1 1 1 1 1 1 1 1

17. （ 10 + 11 + 12 + 13 ）×（ 11 + 12 + 13 + 14 ） -

（ 1 + 1 + 1

+ 1 + 1

）×（

1 + 1 + 1 ） = ？

10 11 12

13 14

11 12 13

想：题中

1 + 1 + 1 与

1 + 1

+ 1 + 1

分别出现□两次，如果用字

11 12 13

11 12

13 14

母 a、b 分别表示这两个算式就很容易计算出结果。

解：设

1 + 1

+ 1 = a，

1 + 1

+ 1 + 1

= b，代入原式得：

11 12 13

1 1 1 1

11 12 13 14

1 1 1 1

（ 10

+ 11

+ 12

+ 13

）×（ 11

+ 12

+ 13 + 14 ） -

（ 1 + 1 + 1 + 1

+ 1 ）×（

1 + 1 + 1 ）

10 11 12

1

13 14

1

11 12 13

= （ 10 + a）×b - （ 10 + b）×a

= 1 b + ab - 1 10 10

1

a - ab

= 10 ×（b - a）

1 1

即： 10 ×（ 11

1

+ 12

1

+ 13

1

+ 14

1 1

- 11 - 12

1

- 13 ）

= 1 × 1 = 1

10 14

19 5 + 3 9 − 5.22

140

18. 93 10

 1993 × 0.4

1.6 

5

19 9

− 6 27

50

+ 5.22

÷ 

 1995 × 0.5

+  = ?

1995

想：这是一道复杂的计算题，先看被除式这个繁分数，如果分子中

的3 9

10

- 5.22与分母中的5.22 - 6 27 相等，则被除数为1。这里，

50

则被除

9 27 45 27 22 9

数为1。这里，3 10 + 6 50 = 350 + 6 50 = 10 50 ，变形得： 3 10 − 5.22 =

5.22 − 6 27 。再看除式中数据的特征，可应用分数的基本性质使第一

50

个加数的分母变为 1995，再把 1.6 写成 2×0.8，使计算简便。

5 9

19 9 + 3 10 − 5.22

 1993 × 0.4

1.6 

解: 5

19 9

− 6 27

50

+ 5.22

÷  1995 × 0.5 +

1995

19 5 + 3 9 − 5.22

= 9 10

 1993 × 0.4 × 2

2 × 0.8

5

19 9

+ 5.22 − 6

÷  +

 1995 × 0.5 × 2

50

1995 

= 1÷ 0.8 × (1993 + 2)

1995

=1÷0.8

=1.25

19.1×2×3×4×5⋯⋯×99×100 的积的末尾有多少个 0？

想：因为 2×5=10，这样含有一个 2 和一个 5，乘积末尾就会有一个0。因此，只要观察这 100 个因数中一共含有多少个 2 和 5。又知，在这

100 个因数中，含 2 个的数一定多于 5 的个数，所以只需知道乘积中含有

5 的个数，就可知积的末尾连续 0 的个数。

解：这 100 个因数中是 5 的倍数的有 5、10、15⋯⋯95、100 共有 20 个，其中 25、50、75、100 又是 25 的倍数，各有两个 5。所以乘积中共有 5 的个数是 20+4=24（个）。因此，乘积的末尾共有 24 个连续的 0。