=

5 5×3 15 7 + 8

答：分子、分母同时相加了 8。

1. 有一串自然数，已知第一个数与第二个数互质，而且第一个数的

5/6 恰好是第二个数的 1/4，从第三个数开始，每个数字正好是前两个数

的和，问这串数的第 1998 个数被 3 除所得的余数是几？

想：因为第一个数×5/6=第二个数×1/4，第一个数：第二个数=1/4∶ 5/6=3∶10，又两数互质，所以第一个数是 3，第二个数是 10，这一串数为：3、10、13、23、36、59、95、154、249、403、652⋯⋯，被 3 除余数为：0、1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2，⋯⋯，按“0、1、1、2、0、2、2、1”循环，周期为 8。

解：1998÷8=249⋯⋯6，所以第 1998 个数被 3 除所得余数是 249， 周期段的第 6 个数即 2。

答：余数是 2。

1. 用

5 、 15 、1 1

分别去除某一个分数，所得的商都是整，这个

28 56 20

分数最小是几？

想：假设所求的分数为 n ，则有 n ÷ 5 ， n ÷ 15 = b，

m m 2 8 = a m 56

n ÷1 1

= c，即：

n × 28 = a， n × 56 = b， n × 20 = c， 其中 a 、

m 20

m 5 m 15

m 21

b、c 为整数。

因为 a、b、c 为整数，所以 m 是 28、56、20 的最大公约数，n 是 5、15、21 的最小公倍数。

解：28、56 和 20 的最大公约数 m 是 4，5、15 和 21 的最小公倍数 n 是 105，

n 105 1

所以这个分数最小是： m =

答：这个分数最小是26 1 。

4

4 = 26 4 。

1. 某班学生不足 50 人，在一次考试中有 1/7 的学生得“优”，1/3

   的学生得“良”，1/2 的学生得“及格”，那么有多少人不及格？

想：把全班人数看作“1 ”，先求出不及格人数占几分之几， 1-

（ 1 + 1

7 3

+ 1 ） = 1 。

2 42

由于人数只能是整数，所以全班人数分别能被 7、3、2、42 整除， 可先求出它们的最小公倍数。

解：7、3、2、42 的最小公倍数是 42，正好符合不足 50 人，因

此，全班人数是42人。不及格人数为：42×

答：不及格人数是 1 人。

1. 同时满足下列条件的分数共有多少个？

（1）大于 1/6，并且小于 1/5；

1. 分子和分母都是质数；

2. 分母是两位数。

1 = 1（人）。

42

1

想：依据题意，由于分母是两位数，且又小于 5 ，所以分子只能是

小于20的质数。

解：分子是2时， 1 = 2

， 1 = 2

，有 2 ；

6 12 5 10 11

分子是3时， 1 = 3

， 1 = 3

，有 3 ；

6 18 5 15 17

分子是5时， 1 = 5 ， 1 = 5 ，有 5 ；

6 30 5 25 29

分子是7时， 1 = 7

， 1 = 7

，有 7 、 7 ；

6 42

5 35

37 41

同理，当分子为 11、13、17、19 时，

有 11 、 11 、 13 、 13 、 17 、 17 、 19 。

59 61 71 73 89 97 97

答：符合条件的有13个，分别是：

2 、 3 、 5 、 7 、 7 、111、

11 17 29 37 14 59

11 、 13 、 13 、 13 、 17 、 17 、 19 。

61 67 71 73 89 97 97

1. 在下面的四个算式中，得数最大的是哪个算式：

（1）（

1 + 1

）×20

（2）（

1 + 1

）×30

19 17 24 29

（3）（

1 + 1

）×40

（4）（

1 + 1

）×50

31 37 41 47

想：原式不能直接比较，可每个算式括号内的两个分数与括号外的整数相乘，都可提出整数 2，再比较后面的分数部分。

1 1 3 1

解：（1）（ 19 + 17 ）×20 = 2 + （ 17 + 19 ）

= 2 + （

9 + 3 ）

51 57

1 1 1 1

（ 2 ）（ 24 +

29 ）× 30 = 2 + （

4 + 29 ）

= 2 + （

9 + 3 ）

36

1 1

（3）（ +

87

9 3

）×40 = 2 + （ + ）

31 37 31 37

（4）（

1 + 1

）×50 = 2 + （

9 + 3 ）

41 47 41 47

根据分子相同的分数，分母小的分数比较大，容易看出：（3）

的得数比其余三个的得数大，即（

1 + 1

）×40的得数最大。

31 37

答：得数最大的算式是：（

1 + 1

）×40。

31 37

1. 设A和B都是自然数，并且满足 A + B = 17 ，那么A + B的 和是

11 3 33

多少？

想：在 A + B = 17 中，分母11和3是互质数，抓住这一特征，先将

11 3 33

A + B 通分，然后得 3A + 11B = 3A + 11B = 17 ，可求出A、B各

11 3

33 33

33 33

是多少。

解：3A+11B=17，由于 A、B 都是自然数，经试算得出，A=2，B=1， A+B=2+1=3

答：A+B 的和是 3。

1. 求 1 + 1 + 1 + 1 + 1 的和的整数部分是多少？

3 4 5 6 7

想：本题不计算结果，只判断结果的整数部分，算式中的 5 个数 1/3 最大，因此，如果把 5 个数都看作 1/3，结果一定大于原结果，由此可作出判断。

1 1

解： 3 + 4

1

+ 5 +

1 1

6 + 7

1 1

＜ 3 + 3

1 1

+ 3 + 3

1

+ 3 =

1 ×5 = 1 2

3 3

原式结果一定小于12 ，故整数部分为1。

3

（三）小数的认识

1. 从 5 元、2 元、1 元、1 元、5 角、2 角、2 角、2 角、1 角的人民币里拿出 7.6 元，有几种拿法？

想：7.6 元是 7 元和 6 角组成的，在所给的人民币里，7 元的拿法有5 元+2 元和 5 元+1 元+1 元两种，6 角拿法有 5 角+1 角和 2 角+2 角+2 角两种，所以 7.6 元共有 4 种拿法。

解：有 4 种拿法：

5 元+2 元+5 角+1 角；

5 元+2 元+2 角+2 角+2 角；

5 元+1 元+1 元+2 角+2 角+2 角；

5 元+1 元+1 元+5 角+1 角。

1. 由 0、1、2 三个数字组成的小数，最多能写几个？

想：先排出所有的三位数，再点上小数点，再排除不符合条件的。解：将 0、1、2 三个数字排列可有六种情况：210201 120 102 021 012，

在每种排列情况的第一个数字、第二个数字后面分别点上小数点，可得 2.10 21.0 2.01 20.1 1.2012.0 1.02 10.2 0.21 2.1 0.12

1.2 十二个小数，其中 2.1 和 1.2 不是由 0、1、2 三个数字组成的小数，应排除。

答：由 0、1、2 三个数字最多能组成 10 个小数。

1. 用 5、0、7、6 四个数字最多能写出几个不读出零的小数？

想：要使小数中的零不读出来，零只能在整数部分的个位，当小数部分只有一位时，是□□0.□的形式，当小数部分有两位时是□0.□□ 的形式，其中每一种形式可写 6 个，共可写 12 个小数。

解：用 5、6、7、0 四个数字组成的不读出零的小数有：760.5，670.5， 750.6，570.6，650.7，560.7， 50.76，50.67，60.75，60.57，

70.65，70.56 共 12 个。

1. 用 6、7、8 三个数字和小数点组成的小数中，个位上的数比百分位上的数小的是哪几个？

想：题目要求我们用 6、7、8 三个数字和小数点组成小数，并且要含有百分位，这样的小数整数部分只能是一位数。

解：共能组成六个小数： 6.78，6.87，7.86，7.68，8.67，8.76。从中可以找出符合题目要求的小数：6.78，6.87，7.68。

答：符合条件的数是：6.78，6.87，7.68。

1. 用 3、4、5、0 四个数字组成的小于 1 和大于 5，而小数部分都是三位的小数一共有多少个？

想：小于 1 而小数部分是三位的小数，整数部分只能是零；大于 5 而小数部分是三位的小数，整数部分只能是 5。根据这两个条件先排出小数，便得到一共的个数。

解：小于 1 的小数：0.345，0.354，0.453，0.435，0.534，0.543。大于 5 的小数：5.034，5.043， 5.304，5.340，5.430，5.403。

6+6=12（个）

答：符合条件的小数共有 12 个。

1. 用 0、1、2、3 和小数点组成的小数中，零不读出来又小于 30，而且小数部分是两位的小数有几个？

想：由小数部分是两位可知整数部分也是两位，因为零不读出来， 所以零只能在个位上。小于 30 的小数只能是 10 点几和 20 点几，小数部分由 2、3 组合或 1、3 组合可得。

解 ： 符 合 条 件 的 小 数 是 ： 10.23，10.32，20.13，20.31。一共 4 个。

答：符合条件的小数有 4 个。

1. 四人步行，速度分别是每小时 4 千米、3.95 千米、4.25 千米、4.5 千米。已知甲比丁快，但比丙慢，丁比乙慢，甲比乙快。那么，甲、乙、丙、丁四人的速度分别是多少？

想：要想确定甲、乙、丙、丁四人的速度可以根据题目中的条件把四人的速度按从大到小或从小到大的顺序排列出来，然后与四个数据一一对应即可得到结果。

解：由甲比丁快但比丙慢可知：丙＞甲＞丁，又知丁比乙慢，甲比乙快可得乙介于甲、丁之间， 即：丙＞甲＞乙＞丁。与具体数量对应是 4.5 千米＞4.25 千米＞4 千米＞3.95 千米。

答：甲的速度是 4.25 千米，乙的速度是 4 千米，丙的速度是 4.5 千

米，丁的速度是 3.95 千米。

1. a、b、c、d 四人的体重分别是 36.5 千克、45.8 千克、38.5 千克、

42 千克中的一个。已知 a 比 d 重，但比 c 轻。d 比 b 轻，a 比 b 重。问： a、b、c、d 四人的体重分别是多少千克？

想：把四人的体重按从大到小或从小到大的顺序排列起来，然后一一对应得到结果。

解：用 a→d 表示 a 比 d 重，d 比 a 轻。根据题义可得右图。由图可知 c＞a＞b＞d。从而得到 c 的体重是 45.8 千克，a 的体重是 42 千克，b 的体重是 38.5 千克，d 的体重是 36.5 千克。

答：a 的体重是 42 千克，b 的体重是 38.5 千克，c 的体重是 45.8 千克，d 的体重是 36.5 千克。

1. 在3.79392&的某一数字上再添上一个小圆点，使新产生的循环小数

尽可能的大。这个圆点应点在哪个数字的上面？

想：根据循环小数的特点和循环节的作用推想。

解：要使新产生的循环小数尽可能大，必须使小数点后第六位上的数尽可能大，即循环节的第一个数字尽可能大，所以这个小圆点应点在数字 9 上，有两个 9，应选哪一个呢？同理，必须使循环节的第二个数字尽可能大，所以应点在第一个 9 上。

答： 3.79&392&就是所要求的新的循环小数。

1. 现有循环小数1.100102&03&，移动前一个小圆点，使新的循环小数尽可能小，这个新的循环小数是多少？

想：根据循环小数的特点和小数比较大小的方法推想。

解：左边的数字尽可能小，则该小数就越小。而 0 是最小的数，因此，新的小数是1.10&010203&。

答：这个循环小数是1.10&010203&。

1. 在 0.3 和 0.75 之间，以 20 为分母的最简分数有多少个？

想：先把0.3和0.75写成以20为分母的分数 6 和 15 ，然后写 出 分

20 20

母是 20 的所有分数，从中找出符合条件的分数。

解：0.3和0.75写成以20为分母的分数是

6 和 15 。20为分母的分数

20 20

有 7 、 8 、 9 、 10 、 11 、 12 、 13 、 14 。比较知：在

20 20 20 20 20 20 20 20

0. 3和0.75之间以20为分母的最简分数有4个：

答：符合条件的分数有 4 个。

7 、 9 、 11 、13 。

20 20 20 20

12.小数 2.32123212321⋯⋯小数点右边第 80 位数字是几？

想：小数部分是 3212 四个数字循环，求出 80 除以 4 的余数，然后根据余数对应看数字是几。

解：80÷4=20，没有余数，即第 80 位数字为 3212 的最后一个数字 2。答：第 80 位数字是 2。

想：数 a 有 1999 位小数，数 b 有 2000 位小数，小数加减时，应把

小数点对齐。小数乘、除时，要注意积和商的小数位数。