四代数初步知识

便于用字母辅助解答的应用题

1.更新手表厂原计划 14 天生产手表 1680 只，实行生产承包责任制

2后，每天比原计划多生产，这样实际只需几天就能完成任务？

想：设实际只需 x 天就可完成任务，由题目可知实际每天生产手表

1680 ×（1 + 2 ）只。根据“工作效率×工作时间 = 工作总量”可列方

14 5

程。

解：设实际需要 x 天完成任务。

1680

×（1十 5 ）x = 1680

120· 5 x = 1680

x = 1680

168

x = 10

答：实际只需要 10 天就可完成任务。

一条公路，第一天修了全长的 30％，第二天比第一天多修 4 千米，第三天修了 12 千米，正好修完。问这条公路有多长？

想：若设公路全长 x 千米，那么第一天修 30％x 千米，第二天修（30

％x+4）千米。

解：设公路全长 x 千米。30％x+（30％x+4）+12=x

0.3x+（0.3x+4）+12=x

0.6x+16=x

0.4x=16 x=40

答：公路全长 40 千米。

有两筐桃，个数同样多，从甲筐取出 50 个，从乙筐取出 94 个后，乙筐内桃的个数是甲筐的 1/3。原来每筐有桃多少个？

想：可设每筐有桃 x 个。取出若干个桃后，甲筐剩（x-50）个，乙筐剩（x-94）个。

解：设原来每筐有桃 x 个。

x - 94 = 3 （x - 50）

1 50

x - 94 = 3 x - 3

2 x = 232

3 3

x = 116

答：原来每筐有桃 116 个。

一桶油连桶共重 50 千克，将油倒出 1/3 后，剩下的油的重量是桶重量的 4 倍。这桶油净重多少千克？

想：若设这桶油净重 x 千克，那么桶重就是（50-x）千克，将油倒

1 1

出 3 后，剩下的油是（1- 3 ）x千克。

解：设这桶油净重 x 千克。

（1 - 3 ）x = 4（50 - x）

3 + 4x = 200

x = 42 6

答：这桶油净重42 6 千克。

有两缸金鱼，如果从第一缸内取出 15 尾放入第二缸，这时第二缸

内的金鱼数正好是第一缸的 7 。已知第二缸内原有金鱼35尾，第一缸内

原有金鱼多少尾？

想：可设第一缸内原有金鱼 x 尾，取出 15 尾放进第二缸后，第一缸内还有金鱼（x-15）尾，第二缸内有金鱼（35+15）尾。

解：设第一缸内原有金鱼 x 尾。

（x - 15）× 5 = 35 + 15

x - 15 = 70

x = 85

答：第一缸内原有金鱼 85 尾。

甲、乙两地相距 475 千米，客车和货车同时从两地相对开出。已知货车每小时行 45 千米，货车与客车的速度比是 9∶10，经过几小时两车才能相遇？

想：可设经过 x 小时两车相遇。由两车速度比是 9∶10，可知客车

速度为45× 10 千米 / 时。

解：设经过 x 小时两车相遇。

（45 + 45× 10 ）x = 475

95x = 475

x = 5

答：经过 5 小时两车才能相遇。

甲、乙两队合修一条公路，甲队每天修这条路的 1

300 米，4 天修完，甲队每天修多少米？

，乙队每天修

想：如果设甲队每天修 x 米，那么公路总长为 10x 米。解：设甲队每天修 x 米。

4x+300×4=10x

6x=1200 x=200

答：甲队每天修 200 米。

一列快车从甲地到乙地需要 3 小时，一列慢车从甲地到乙地需要 5

小时，快车每小时比慢车多行 24 千米。这两地之间的距离是多少千米？

千米，则甲每小时行 3 千米，乙每小

时行 5 千米。根据题意可列方程。

解：设两地之间相距 x 千米。

x x 3 - 5

= 24

2x = 24

x = 180

答：甲、乙两地之间的距离是 180 千米。

一轮船在甲、乙两地之间往返航行，水流速度是每小时 3 千米，

顺水航行需 6 小时，逆水航行需 8 小时。甲、乙两地之间的距离是多少？

千米，则轮船顺水速度是每小时 6 千米，

逆水速度是每小时 8 千米。这两个速度相差2个水流速度。

解：设甲、乙两地之间的距离是 x 千米。

x x 6 - 8

= 3×2

x = 6

x = 144

答：甲、乙两地之间的距离是 144 千米。

甲、乙两汽车同时从同一地到另一地，甲的速度是每小时 50 千

米，乙的速度是每小时 75 千米，结果甲比乙晚到 2 小时。这两地间的距离是多少千米？

想：可设两地间的距离是x千米，则甲行全程需

需 x 小时。两个时间相差2小时。

x 小时，乙行全程

解：设两地间的距离是 x 千米。

x 50 -

75 = 2

= 2

150

x = 300

答：两地之间的距离是 300 千米。

一年级有甲、乙两个班，甲班人数是全年级人数的 56％，如果从

甲班调出 12 人到乙班，这时乙班人数正好也是全年级人数的 56％，那么甲班原来有多少人？

想：如果设甲班原有 x 人，方程不好列。于是改设全年级人数为 x，则甲班人数为 56％x，乙班人数为（1-56％）x，乙班增加 12 人后，人数与甲班原人数相等。

解：设全年级共有 x 人。56％x=（1-56％）x+12

0.12x=12 x=100

56％x=100×0.56=56

答：甲班原有 56 人。

一汽车在甲、乙两地之间行驶，从甲地到乙地每小时行 45 千米，

从乙地到甲地每小时行 60 千米，往返一次共用 7 小时。问甲乙两地之间的距离是多少？

想：如果设两地之间的距离是 x 千米，方程不好列。可以改设从甲地到乙地需 x 小时，则从乙地到甲地需（7-x）小时。根据往返距离相等，可列方程。

解：设从甲地到乙地需 x 小时。45x=60（7-x）

105x=420

x=4 45×4=180（千米）

答：甲、乙两地相距 180 千米。

甲、乙两地相距 400 千米，它们之间是山路，一辆汽车上坡每小

时行 40 千米，下坡每小时行 80 千米，从甲地到乙地需行驶 8 小时，问从乙地到甲地需多少小时？

想：解此题的关键是设未知数，如果设走全程的时间为 x 小时，方程就难列出。考虑到从甲地到乙地的距离和时间都已知，因此可设下坡用时间 x 小时，则上坡用时间（8-x）小时。

解：设从甲地到乙地下坡用时间 x 小时。80x+40（8-x）=400

40x=80

x=2

由此可知，从甲地到乙地下坡为 80×2=160（千米），上坡为 400- 160=240（千米）

反过来，从乙地到甲地上、下坡的路程正好相反，所以从乙地到甲地所用时间为：

160 + 240 = 4 + 3 = 7（小时）

40 80

答：从乙地到甲地需 7 小时。

两辆汽车分别从甲、乙两地出发相对而行，一汽车从甲地出发先

小时，通过的路程是甲、乙两地距离的 5 ，然后另一汽车从乙地

出发，两车相对而行，经 8 小时相遇。问这两辆汽车走完全程各需几小

时？

想：甲车走完全程的时间可直接求得：

6÷ 1 = 30（小时）

于是可设乙走全程所用时间为 x 小时。由以上两数可想到：甲每小

时走全程的

1 1

30 ，乙每小时走全程的 x ，二车相对而行，8小时走完全

程的8（

1 + 1 ），它与（1- 1 ）相等。

30 x 5

解：设乙车走完全程需 x 小时。

1 1 1

8（ 30 + x ） = 1- 5

1 = 1 - 1

x 10 30

1 1

x = 15

6÷ 1 = 30（小时）

答：甲、乙走完全程所用时间分别为 30 小时、15 小时。

现有含盐 25％的盐水 40 千克，要使盐水含盐 20％，应加水多少千克？

想：可设应加水 x 千克。加水后盐水重（40+x）千克，含盐 20

％·（40+x）千克。这与原来盐水的含盐量相等。解：设应加水 x 千克。

20％·（40+x）=40×25％

0.2x=2 x=10

答：应加水 10 千克。

现有浓度为 10％的盐水 800 克，需要把它的浓度增加到 20％，
则需加盐多少克？

想：可设需加盐 x 克，则加盐后盐水为（800+x）克，加盐前、后盐水中所含水的重量不变。

解：设需加盐 x 克。

（1-10％）×800=（1-20％）（80+x） 0.8×（800+x）=720

800+x=900 x=100

答：需加盐 100 克。

一根绳子用去全长的 20％，用去的比剩下的少 21
米，这根绳子原来长多少米？

想：如果设绳子原长 x 米，那么用去的是 20％·x 米，剩下的是（1-20

％）·x 米。

（1-20％）x-20％x=21

0.6x=21 x=35

答：这根绳子原来长 35 米。

1 1

一根木棒，先截去它总长的 4 ，再截去剩下的 3 ，再截去第二

次剩下的 5 ，最后余下2米。这根木棒总长是几米？

想：可设木棒总长x米，则第一次截后剩下（1- 1 ）x米，第二次截

1 1 1 1

后剩下（1 - 4 ）（1- 3 ）x米，第三次截后剩下（1 - 4 ）（1 - 3 ）（1-

1 ）x米。

解：设木棒总长 x 米。

1 1 1

（1 - 4 ）（1- 3 ）（1 - 5 ）x = 2

2 x = 2

x = 5

答：这根木棒总长 5 米。

某水池有甲、乙两个水管注水。单放甲管需 12 小时注满，单放

乙管需 24 小时注满。现在要求 10 小时注满水池，并且甲、乙两管合放的时间尽可能的少，甲、乙两管合放最少需要多少小时？

想：要使两管合放的时间最少，注水快的甲管应一直开放，即甲管

应开放10小时，可注池水的 10 。设乙管开放的时间是x小时（也就是两

管合放的时间）。那么乙管可注池水的 x 。

解：设两管合放最少需要 x 小时。

10 x

12 + 24 = 1

x = 1

24 6

x = 4

答：两管合放最少需要 4 小时。

某年级三个班在植树节那天共种树 180 棵，甲班植树棵数的

1 1 1

4 与乙班的 2 加丙班的 3 相等。问各班植树分别是多少棵？

1 1 1

想：考虑到三班植树棵数的 4 、 2 、 3 相等，因此可设甲班植树4x

棵，则乙、丙班植树分别为 2x 棵、3x 棵。

解：设甲班植树 4x 棵，则乙班植树 2x 棵，丙班植树 3x 棵。4x+2x+3x=180

9x=180

x=20 4x=4×20=80

2x=2×20=40

3x=3×20=60

答：甲、乙、丙三班植树分别为 80 棵、40 棵、60 棵。

甲、乙、丙三人分人民币100 1

丙的 5 ，甲、乙、丙各应分得多少元？

想：可设甲分得 x 元，则乙分得 4x 元，丙分得 5x 元。由三人共分10O 元，可列方程。

解：设甲分得 x 元，则乙分得 4x 元，丙分得 5x 元。x+4x+5x=100

x=10 4x=4×10=40

5x=5×10=50

答：甲分得 10 元，乙分得 40 元，丙分得 50 元。

已知右图中正方形的面积为
15 平方厘米，求它里面最大的圆的面积。

想：欲求圆的面积，须先知圆的半径或半径的平方。若设半径为 x 厘米，则正方形边长为 2x 厘米。根据“正方形的面积为 15 平方厘米”，可列方程求x ² 。

解：设圆的半径为 x 厘米。

（2x）² = 15

x² = 15 / 4

S = πx²

= π· 4

= 11.775

答：圆的面积是 11.775 平方厘米。

四 代数初步知识

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