第四节 圆锥投影、多圆锥投影、伪圆锥投影

一、圆锥投影

（一）圆锥投影构成的一般公式

圆锥投影是假定以圆锥面作为投影面，使圆锥面与地球相切或相割，将球面上的经纬线投影到圆锥面上，然后把圆锥面沿一条母线剪开展为平面而成。当圆锥面与地球相切时，称为切圆锥投影；当圆锥面与地球相割时，称为割圆锥投影。

按圆锥与地球相对位置的不同，也有正轴、横轴和斜轴圆锥投影。但横轴和斜轴圆锥投影实际上很少应用，所以凡在地图上注明是圆锥投影的，一般都是正轴圆锥投影。

图 2-39 是正轴切圆锥投影示意图，视点在地球中心，纬线投影在圆锥面上仍为圆，不同的纬线投影为不同的圆，这些圆都互相平行，经线投影为相交于圆锥顶点的一束直线。如果将圆锥沿一条母线剪开展为平面，则成扇形， 其顶角小于 360°，在平面上纬线不再是圆，而是以圆锥顶点为圆心的同心圆弧，经线成为由圆锥顶点向外放射的直线束，经线间的夹角与相应的经度差成正比。

设球面上两条经线间的夹角为λ（图 2-40），其投影在平面上为δ，δ 与λ成正比，即δ=Cλ（C 为常数）。纬线投影为同心圆弧，设其半径为ρ， 它随纬度的变化而变化，即ρ是纬度ϕ的函数，ρ=f（ϕ）。所以圆锥投影的平面极坐标一般公式为：

ρ = f (ϕ)

δ = cλ 

(2 − 22)

如以圆锥顶点 S’为原点，中央经线为 X 轴，通过 S’点垂直于 X 轴的直线为 Y 轴，则圆锥投影的直角坐标公式为：

x=-ρcosδ y=ρsinδ

通常在绘制圆锥投影时，以制图区域最南边的纬ϕS 与中央经线的交点为坐标原点，则其直角坐标公式为：

x=ρS-ρcosδ

y=ρsinδ

式中ρS 为投影区域最南边纬线ϕS 的投影半径。

根据（2-22）式可知，圆锥投影需要决定ρ的函数形式，由于 P 的函数形式不同，圆锥投影有很多种。c 称为圆锥系数（圆锥常数），它与圆锥的切、割位置等条件有关，对于不同的圆锥投影，它是不同的。但对于某一个具体的圆锥投影，C 值是固定的。总的来说，C 值小于 1，大于 0，即 0＜c＜ 1。当 c=1 时为方位投影，c=0 时为圆柱投影，所以可以说方位投影和圆柱投影都是圆锥投影的特例。

（二）圆锥投影的变形分布规律

圆锥投影的纬线是同心圆弧，经线是同心圆弧的半径。经纬线是直交的，

所以经纬线的长度比就是最大、最小长度比。

由图 2-41 可以看出，球面上经线微分弧长 AB=Rdϕ，纬线微分弧长AD=rdλ=Rcosϕdλ；

在投影平面上，经线微分线段 A’B’=-dρ（dρ带负号，是因为变量 A’B’与动径 SA’的方向相反），纬线微分线段 A’D’=ρdδ。根据长度比定义，可得

m = A' B' = − dρ



AB Rdϕ

A' D' ρdδ cρ

n = AD

= R cosϕdλ = R cosϕ

P = mn

sin ω =

2

由上面几式可以看出，圆锥投影的各种变形都是纬度ϕ的函数，与经度λ无关。也就是说，圆锥投影的各种变形是随纬度的变化而变化，在同一条纬线上各种变形的数值各自相等，因此，等变形线与纬线平行，呈同心圆弧状分布。在切圆锥投影上，相切的纬线是一条没有变形的线，称为标准纬线， 从标准纬线向南、北方向变形逐渐增大（图 2-42）。

在割圆锥投影上，球面与圆锥面相割的两条纬线（图 2-43，ϕ1、ϕ2 为割线）是标准纬线，在两条标准纬线之间的纬线长度比小于 1，两条标准纬线以外的纬线长段比大于 1，离标准纬线愈远，变形愈大。

根据圆锥投影变形分布情况，这种投影适于制作中纬度沿东西方向延伸地区的地图。由于地球上广大陆地位于中纬度地区，又因为圆锥投影经纬线网形状比较简单，所以它被广泛应用于编制各种比例尺地图。

圆锥投影按变形性质可以分为等角、等积和等距三种投影。无论哪一种均有切圆锥与割圆锥之分。

（三）等角圆锥投影

等角圆锥投影的条件是使地图上没有角度变形，即ω=0。为了保持等角条件，必须使图上任一点的经线长度比与纬线长度比相等，即 m=n。在切圆锥投影上，相切的纬线为标准纬线，其长度比等于 1；从标准纬线向南、北方向纬线长度比均大于 1，因而经线长度比也要相应的扩大，使其值与纬线长度比相等。表 2-11 为标准纬线ϕ0=35°的等角圆锥投影变形数值表。从这个表中可以看出，在单标准纬线等角圆锥投影中，标准纬线没有变形；从标准纬线向南、北方向变形逐渐增加，但在距离标准纬线纬差相同的地方，变形数值是不等的，标准纬线以北比标准纬线以南变形增加的要快些。

表 2-11 等角切圆锥投影（ϕ0=35 °）各种变形数值表

ϕ 15 ° 20 ° 25 ° 30 ° 35 ° 40 ° 45 ° 50 ° 55 °

m=n 1.059 1.033 1.015 1.004 1.000 1.004 1.016 1.038 1.071

P 1.221 1.067 1.030 1.008 1.000 1.008 1.032 1.077 1.147

w 0 ° 00’ 0 ° 00’ 0 ° 00’ 0 ° 00’ 0 ° 00’ 0 ° 00’ 0 ° 00’ 0 ° 00’ 0 ° 00’

在割圆锥投影上，相割的两条纬线为标准纬线，其长度比等于 1；两条标准纬线之间，纬线长度比小于 1，因而经线长度比也要相应的小；两条标准纬线之外，纬线长度比大于 1，经线长度比也要相应的大，同时使任一点上经线长度比与纬线长度比相等。表 2-12 为标准纬线ϕ1=25°、ϕ2=45°的等角割圆锥投影各种变形数值表。从表中数值可以看出，在双标准纬线等角圆锥投影上，两条标准纬线没有变形；在两条标准纬线之间长度变形是向负的方向增加，即投影后的经纬线长度均比地面上相应的经纬线长度缩短了；在两条标准纬线以外长度变形向正的方向增加，即投影后的经纬线长度均比地面上相应的经纬线长度伸长了。面积变形也是如此，在两条标准纬线以内是负向变形，在两条标准纬线以外是正向变形。变形增加的速度也是北边比南边快些（图 2-44）。

表 2-12 等角割圆锥投影（ϕ1=25 °、ϕ2=45 °）各种变形数值表

ϕ 15 ° 20 ° 25 ° 30 ° 35 ° 40 ° 45 ° 50 ° 55 °

m=n 1.004 1.018 1.000 0.989 0.985 0.988 1.000 1.021 1.053

P 1.090 1.036 1.000 0.978 0.970 0.976 1.000 1.042 1.109

w 0 ° 00’ 0 ° 00’ 0 ° 00 ’ 0 ° 00’ 0 ° 00’ 0 ° 00 ’ 0 ° 00’ 0 ° 00’ 0 ° 00’

等角圆锥投影应用很广。如我国地图出版社 1957 年出版的《中华人民共和国地图集》中的分省地图是采用这种投影编制的，两条标准纬线的纬度为

ϕ1=25°，ϕ2=45°；1981 年出版的《中华人民共和国地图集》中，分省地图采用边纬线与中纬线长度变形绝对值相等的双标准纬线等角圆锥投影；1960 年和 1972 年出版的《世界地图集》中大多数分国地图均采用了等角圆锥投影。世界上有些国家，如法国、比利时、西班牙等国都曾采用这种投影作为地形图的数学基础。此外，西方国家出版的许多挂图、地图集中亦广泛采用等角圆锥投影。

1962 年联合国于波恩举行的世界百万分之一国际地图技术会议制定的规范建议，新编国际百万分之一地图采用双标准纬线等角圆锥投影。这样可使世界 1∶100 万普通地图与 1∶100 万世界航空图的数学基础一致。该投影自赤道起按纬差 4°分带。北纬 84°以北和南纬 80°以南采用等角方位投影。

1978 年我国新制订的《1∶100 万地形图编绘规范》，规定采用边纬线与中纬线长度变形绝对值相等的等角割圆锥投影，作为 1∶100 万分幅地形图的

数学基础。也是按纬差 4 °分带，每个投影带的两条标准纬线近似为

ϕ1=ϕS+35’，ϕ2=ϕN-35’（ϕS 为每一带最南边纬线的纬度，ϕN 为每一带最北边纬线的纬度），各带长度变形最大值为±0.03％，面积变形最大值为±0.06

％。

（四）等积圆锥投影

等积圆锥投影的条件是使地图上没有面积变形，即 P=1。为了保持等积条件，必须使投影图上任一点的经线长度比与纬线长度比互为倒数，即m=1/n。

在切圆锥投影上，相切的纬线为标准纬线，其长度比等于 1；从标准纬线向南、北方向纬线长度比均大于 1，因而经线长度比要相应的小，其值是纬线长度比的倒数。在割圆锥投影上，相割的两条纬线为标准纬线，其长度比等于 1；两条标准纬线之间，纬线长度比小于 1，因而经线长度比要相应的大；两条标准纬线之外，纬线长度比大于 1，经线长度比要相应的小，同时使任一点上经线长度比与纬线长度比互为倒数。表 2-13 为等积割圆锥投影

（标准纬线ϕ1=25°，ϕ2=47°）各种变形数值。从表中数值可以看出，在双标准纬线等积圆锥投影中，面积没有变形；两条标准纬线没有变形；在两条标准纬线之内，纬线变形是向负的方向增加，经线变形是向正的方向增加； 在两条标准纬线以外，纬线变形是向正的方向增加，经线变形向负的方向增加。角度变形随离标准纬线愈远而愈大（图 2-45）。

表 2-13 等积割圆锥投影（ϕ1=25 °、ϕ2=47 °）各种变形数值表

等积圆锥投影常用以编制行政区划图、人口密度图及社会经济地图等。例如中国地图出版社出版的 1∶800 万、1∶600 万和 1∶400 万《中华人民共和国地图》采用了双标准纬线（ϕ1=25°、ϕ2=47°）等积圆锥投影。以前还曾用过标准纬线为 25°和 45°以及边纬线（ϕS=18°、ϕN=54°）和中纬线

（ϕM=36°）长度变形绝对值相等的等积圆锥投影。其他国家出版的许多挂图、桌图和地图集中，亦广泛采用等积圆锥投影。

（五）等距圆锥投影

等距圆锥投影的条件是沿经线方向长度没有变形，即 m=1。等距切圆锥投影，相切的纬线为标准纬线，没有变形；从标准纬线向南、北方向纬线长度比大于 1，经线长度比等于 1，面积变形和角度变形均随离标准纬线愈远而愈大。等距割圆锥投影，相割的两条纬线为标准纬线，没有变形；两条标准纬线以内，纬线长度比小于 1；两条标准纬线以外，纬线长度比大于 1，经线长度比等于 1；在两条标准纬线之内，面积变形向负的方向增加；在两条标准纬线以外，面积变形向正的方向增加，角度变形随离标准纬线愈远，变形

愈大（图 2-40）。表 2-14 为双标准纬线（ϕ1=25°、ϕ2=47°）等距圆锥投影各种变形数值。

表 2-14 等距割圆锥投影（ϕ1=25 °、ϕ2=47 °）各种变形数值表

等距圆锥投影上虽然具有长度、面积和角度变形，但变形值却比较小， 它的角度变形小于等积圆锥投影，面积变形小于等角圆锥投影。

等距圆锥投影在我国出版的地图中不常见。在国外则有用的。例如苏联出版的苏联全图，一般常用ϕ1=47°、ϕ2=62°的等距割圆锥投影。

（六）几种圆锥投影变形性质的图形判别

圆锥投影经纬线形式具有共同的特征。经线为放射状直线，夹角相等； 纬线为同心圆弧。如果地图上没有注明变形性质，则可以根据一条经线上的纬线间隔变化来判断。

纬线为同心圆弧，其长度比从图上不易直接观察出来。但是经线是同心圆弧的半径——直线。由于投影的变形性质不同，经线长度比就不同，它在图形上表现为纬线间隔的变化是不一样的。根据表 2-15 可以得出以下结论： 沿着经线量取纬差相等的纬线间隔，从地图中心向南、北方向逐渐扩大者， 为等角圆锥投影；若纬线间隔从地图中心向南、北方向逐渐缩小者，为等积圆锥投影；纬线间隔相等者，则为等距圆锥投影（图 2-47）。

表 2-15 各种常用圆锥投影经纬线长度比变化情况表

二、多圆锥投影

（一）多圆锥投影的概念

在切圆锥投影中，离开标准纬线愈远，变形愈大。如果制图区域包含纬差较大时，则在边缘纬线处将产生相当大的变形。因此，采用双标准纬线圆锥投影比采用单标准纬线圆锥投影变形要小些。如果有更多的标准纬线，则变形会更小些，多圆锥投影就是由这样的设想建立起来的。假设有许多圆锥与地球面上的纬线相切，将球面上的经纬线投影于这些圆锥面上，然后沿同一母线方向将圆锥剪开展成平面，如图 2-48 所示。由于圆锥顶点不是一个， 所以纬线投影为同轴圆弧，其圆心都在中央经线的延长线上，除中央经线为直线外，其余的经线投影为对称于中央经线的曲线。凡是经纬线形式符合上述特征的，均称为多圆锥投影。由于多圆锥投影的经纬线系弯曲的曲线，具有良好的球形感，所以它常用于编制世界地图。

（二）普通多圆锥投影

普通多圆锥投影除了中央经线和每一条纬线的长度比等于 1 外，即m0=1，n=1 其余经线长度比均大于 1。这个投影在中央经线上纬线间隔相等， 在每一条纬线上经线间隔相等。普通多圆锥投影属于任意投影，中央经线是一条没有变形的线，离开中央经线愈远，变形愈大。这个投影适于作南北方向延伸地区的地图。美国海岸测量局曾用此投影制作美国海岸附近地区的地图。

普通多圆锥投影的另一个用途是绘制地球仪用的图形。把整个地球按一定经差分为若干带，每带中央的经线都投影为直线，各带的投影图在赤道相接（图 2－49），将这样的图形贴于预制的球胎上，就成为一个地球仪。

（三）改良多圆锥投影

改良多圆锥投影是由普通多圆锥改良而成的。过去长时期国际上用它编绘百万分之一分幅地图，这是由 1909 年伦敦国际地理学会议决定的，故又名国际百万分之一地图投影。

国际百万分之一地图，在纬度 0°—60°范围内，按纬差 4°、经差 6° 分幅；在纬度 60°—76°范围内，按纬差 4°、经差 12°分幅；在纬度 76

°—88°范围内按纬差 4°、经差 24°分幅。每幅单独投影。每幅图的南北两条边纬线是同轴圆弧，其圆心位于中央经线的延长线上。将这两条纬线按经差 1°等分，过相应分点连成的直线即为各条经线。其他纬线是 4 等分各经线后，将相应分点联成的平滑曲线。

这个投影南北两条边纬线长度比等于 1，其余纬线长度比均小于 1，以中央纬线长度比为最小。在按经差 6°的分幅中，距中央经线经差为±2°（在按经差 12°的分幅中，距中央经线经差为±4°，在按经差 24°的分幅中， 距中央经线经差为±8°）的经线长度比等于 1，中间经线长度比小于 1，边缘经线长度比大于 1。这种投影按变形性质来说属任意投影。由于每一幅图包括的范围不大，因而变形很小。在我国范围内长度变形不超过 0.06％，面积变形不超过 0.12％，角度最大变形不超过 5’。故总的来说，这种投影精度还是很高的。但因它不具有等角条件，故现已被等角圆锥投影所取代。

（四）等差分纬线多圆锥投影

这个投影是由我国地图出版社于 1963 年设计的一种不等分纬线的多圆

锥投影。赤道和中央经线是互相垂直的直线，其他纬线为对称于赤道的同轴圆弧，其圆心均在中央经线的延长线上；其他经线为对称于中央经线的曲线， 各经线间的间隔，随离中央经线距离的增大而逐渐缩短，按等差递减。极点为圆弧，其长度为赤道的 1/2。

这种投影的变形性质属任意投影。我国绝大部分地区的面积变形在 10％ 以内，面积比等于 1 的等变形线自东向西横贯我国中部；中央经线和纬度± 44°交点处没有角度变形，我国境内绝大部分地区的角度最大变形在 10°以内，少数地区在 13°左右（图 2-50）。地图出版社用这一投影编制过数种比例尺的世界政区图和其他类型的世界地图。

1976 年地图出版社又拟定了另外一种不等分纬线多圆锥投影——正切差分纬线多圆锥投影，这个投影的经线间隔，由中央经线向东西两侧按与中央经线经差的正切函数递减。正切函数随角度增加递增速度越来越快。因此， 正切差分纬线多圆锥投影的经线间隔，在中央经线附近变化较小，在远离中央经线的地方，变化较大。地图出版社 1981 年出版的 1：1400 万世界全图采用了这个投影。

三、伪圆锥投影

伪圆锥投影是在圆锥投影的基础上，根据某些条件改变经线形状而成的。这类投影的纬线形状与圆锥投影类似，即纬线为同心圆弧，圆心位于中央经线上，但经线则不同，除中央经线为直线外，其余的经线均为对称于中央经线的曲线。

按投影的变形性质，伪圆锥投影和伪圆柱投影一样，没有等角投影，因为这种投影经纬线不直交。伪圆锥投影只有等积投影和任意投影。最常用的伪圆锥投影是等积伪圆锥投影。

等积伪圆锥投影又称彭纳投影，由法国水利工程师彭纳（Rigobert- Bonne）于 1752 年首先提出并应用于法国地形图而得名。彭纳投影的中央经线为直线，其长度比等于 1，即 m0=1；纬线为同心圆弧，沿纬线长度比等于 1， 即 n=1；图上面积与实际相应的面积相等，即 P=1。在一条纬线上的经线间隔相等，在中央经线上纬线间隔相等，中央经线与所有的纬线正交，中央纬线与所有的经线正交。

这个投影没有面积变形，中央经线和中央纬线是两条没有变形的线，离开这两条线愈远，变形愈大（图 2-51）。

彭纳投影主要用于编制小比例尺的大洲图。例如，我国地图出版社出版的《世界地图图 2-51 彭纳投影及其最大角度变形集》中的亚洲政区图，英国

《泰晤士世界地图集》中的澳大利亚与西南太平洋地图，都是采用的彭纳投影。