第二节 方位投影

一、方位投影的概念和种类

（一）方位投影构成的一般公式

方位投影是以平面作为投影面，使平面与地球表面相切或相割，将地球表面上的经纬线投地影到平面上所得到的图形（下面只介绍比较常用的切方位投影。为了方便起见，将地球视作半径为 R 的球体）。由于球面与投影平面相切位置的不同，分为正轴（切于地球极点，设以ϕ0 表示切点的纬度，ϕ0=90

°）、横轴（切于赤道，ϕ0=0°）和斜轴（切点既不在地球极点，也不在赤道上，即 0°＜ϕ0＜90°）投影。

正轴方位投影，经线为从一点向外放射的直线束，夹角相等，而且等于相应的经度差；纬线是以经线的交点为圆心的同心圆。横轴方位投影，除经过切点的经线和赤道投影为互相垂直的直线外，其余的经纬线均为曲线。斜轴方位投影，除经过切点的经线投影为直线外，其余的经纬线均为曲线。

在正轴投影中，因为经线和纬线互相直交，所以经纬线方向和主方向一致。在横轴和斜轴投影中，一般讲经纬线方向不互相直交，因此经纬线方向不是主方向。那么什么方向是其主方向呢？为此，需要介绍一种球面坐标系。

地理坐标系是球面坐标系的一种，它是以地轴为极轴。如果另选一个极轴，如图 2-17（b）中的 PP1，通过 PP1 和球心的平面与地球表面相交的大圆， 称为垂直圈。垂直于垂直圈的各圆称为等高圈。以 P 为极点，以垂直圈和等高圈为坐标网，所形成的坐标系叫做球面坐标系。球面坐标系是用天顶距 Z

（由一点到新极 P 的大圆弧距）和方位角ψ（该弧与极轴——过新极的经线的夹角）来表示地球面上一点的位置（图 2-17（a））。很明显，球面坐标系中的垂直圈和等高圈相当于地理坐标系中的经线圈和纬线圈，故在方位投影中，若使投影平面切于球面坐标系的极点上，则类似正轴方位投影那样， 垂直圈投影为从一点向外放射的直线束，夹角相等，而且等于相应的方位角之差；等高圈投影为以垂直圈的交点为圆心的同心圆。因此，在横轴和斜轴方位投影上，垂直圈与等高圈互相垂直，垂直圈与等高圈的方向与主方向一致。

地理坐标系中一点的经度和纬度是由大地测量方法推算出来的。而在球面坐标系中该点的天顶距和方位角是不知道的。故在横轴和斜轴方位投影中，采用球面坐标系，必须将一点的地理坐标（ϕ，λ）换算成该点的球面坐标（Z，Ψ），才能进行点的平面极坐标或平面直角坐标的计算。如图 2- 17（a），设球面坐标极 P 的地理坐标为ϕ0λ0，A 点的地理坐标为（ϕ，λ）， 其球面坐标为 Z，Ψ，则由球面三角形 NAP，可以求出它们的关系式为：

cosZ=sinϕsinϕ0+cosϕcosϕ0cos（λ-λ0）

ctgΨ=tgϕcosϕ0csc（λ-λ0）-sinϕ0ctg（λ-λ0）

将正轴、横轴和斜轴方位投影加以比较，不难看出，正轴和横轴不过是斜轴中的特殊情况。因此，只要研究斜轴方位投影，就自然可以了解正轴和横轴投影了。

设地球与投影平面切于 P（图 2-18），P 为球面坐标极，A 为球面上任意点，PA 为垂直圈。球面上点 A 投影在平面上为 A’，PA 投影为 P’A’。PA 与 PN 的夹角为Ψ，其投影为δ。前面已经讲过，δ与Ψ是相等的，即δ=ψ。设P’A’=ρ，ρ的长短随 A 点到 P 的大圆弧距 Z 的变化而变化，故ρ是 Z 的函数， 即ρ=f（Z）。因此，方位投影的极坐标公式可写为：

ρ = f ( Z)

δ = ψ 

(2 − 11)

如用平面直角坐标表示，则为

x = ρcos δ

y = ρsinδ

根据上述可知，方位投影主要是决定ρ的函数形式问题。由于决定ρ函数形式的方法不同，方位投影有很多种。

球面坐标极的位置可根据制图区域的情况选择。如果球面坐标极与地理极重合，则为正轴方位投影，δ=λ，Z=90°-ϕ，等高圈与纬圈重合，垂直圈与经线重合。若球面坐标极位于赤道上，则为横轴方位投影。

关于 Z 和ψ，可按前面所提到的由地理坐标换算为球面坐标的公式来决定。

（二）方位投影的变形分布规律

如图 2-19，设 A’B’C’D’为球面上 A、B、C、D 的投影，垂直圈 PA 与 PD 的夹角为 dψ，弧 PB=z，在投影平面上∠A’P’D’=dδ，P’B’=ρ，若以μ1 示垂直圈的长度比，以μ2 示等高圈的长度比，由长度比的定义，得

μ = A' B'

¹ AB

μ = B'C'

² BC

但 A’B’=dρ，B’C’=ρdδ，AB 和 BC 为球面上的弧长，由图 2-20 可以看出

AB = Rdz

BC = rdψ = R sin zdψ dρ

所以 μ1 = Rdz

μ =   ρ

² R sinz

（2 - 12）

（2 - 13）

由于垂直圈和等高圈投影后成正交，故其长度比μ1、μ2 为最大、最小长度比，因而面积比和角度最大变形公式为：

Pdρ

P = μ1μ 2 = R² sin zdz

sin ω =

2

（2 - 14）

（2 - 15）

当μ ＞μ

ω

时， sin =

，若μ

＞μ ，则sin ω = μ 2 − μ1 。

1 2 2

2 1 2

μ 2 + μ1

从公式（2-12）至（2-15）可以看出，方位投影的变形公式都是 z 的函数，如果 z 不变，则变图 2-21 切方位投影等变形线分布形值不变。这就是说， 在同一等高圈上各点的各种变形数值均各自相等，等变形线（变形值相等的各点连线）是与等高圈一致的同心圆。

图 2-21 上同心圆是等变形线，箭头所指方向为变形增加的方向。投影中心是没有变形的点，从投影中心向四周变形逐渐增大。

方位投影的中心，也就是投影平面与地球相切的点，没有变形；过投影中心球面上的大圆弧投影为直线，而且从中心到任何点的方位角没有变形。因此，这种投影被称为方位投影。

由于制图时，总是希望地图上变形尽可能的小，而且分布比较均匀，所以一般要求等变形线最好与制图区域轮廓一致。据此，方位投影适合制作圆形区域的地图。从区域所在的地理位置来说，两极地区宜采用正轴方位投影； 赤道附近地区宜采用横轴方位投影；其他地区则采用斜轴方位投影。

（三）方位投影的种类

方位投影可以分为透视方位投影和非透视方位投影两大类。

透视方位投影的视点位于垂直于投影面的地球直径或其延长线上，由于视点位置不同，而有不同的透视方位投影，常见的有以下几种。

中心射方位投影（球心投影） 位于地球中心，按变形性质来说，属任意投影。

平射方位投影（球面投影） 位于地球表面，属等角投影。正射方位投影 位于无限远，属任意投影。

非透视方位投影是按照一定的条件构成的。在这类投影中有等距方位投影和等积方位投影。

以上所述系方位投影总的概念。为了进一步理解方位投影的特性和用途，现举几种在地图上常用的方位投影加以说明。

二、平射方位投影

平射方位投影（等角方位投影）是一种透视方位投影，视点位于地球表面，故又称球面投影。平射方位投影的等高圈半径ρ是根据视点在球面这个条件决定的。如图 2-22，投影平面与地球切于 P 点，视点在 P1，球面上任意点 A，其天顶距为 Z，投影到平面上为 A’，PA’=ρ，

ρ = 2Rtg Z

2

因此，可得出平射方位投影的极坐标公式为：

ρ = 2Rtg Z

2

δ = ψ

如果是正轴平射方位投影，则ψ=λ，Z=90°-ϕ，其公式为：

ρ = 2Rtg 90° − ϕ （ρ为纬线半径）

2

δ=λ（δ为经线夹角）

用正轴平射方位投影绘制北（南）半球图时，先画一圆，它的半径等于按比例缩小了的地球直径，这个圆代表赤道。然后引两条互相垂直的直径， 并按规定的经线间隔将圆周等分，各等分点与圆心的连线就是经线。以经线交点为圆心，按纬线半径公式所求得的数值为半径画圆（计算纬线半径时， 要将地球半径 R 按比例缩小），即为各条纬线。

如果是绘制横轴和斜轴投影，则须按下列步骤进行： 1）确定球面坐标极，其地理坐标为ϕ0，λ0；

1. 将各经纬线交叉点的地理坐标（ϕ，λ）换算成球面坐标（Z，ψ）；

2. 计算平面极坐标（ρ，δ）和平面直角坐标（x，y）；

3. 连接相同经度的各点、相同纬度的各点构成经纬线网。

Z

现在来讨论这种投影的变形。将ρ = 2Rtg 2 代入（2 - 12）、（2 - 13）

两式，可得

Z

μ = d2Rtg 2

¹ RdZ

Z

= sec ² Z

2

Z

μ = 2Rtg 2

² R sinZ

= 2Rtg 2

2R sin Z

2

= sec² Z

2

即μ1=μ2，因此这种投影具有等角性质，故又称等角方位投影。

面积比P = μ1 μ2

= sec ⁴ Z

2

角度最大变形sin ω = μ1 − μ 2

ω = 0

2 μ1 + μ 2

根据上述变形公式计算出平射方位投影的各种变形值，列于表 2-1 中。

表 2-1 平射方位投影的各种变形值表

90 ° 2.000 4.000 0 °

由表 2-1 看出，这种投影的中心附近变形小，离开中心点愈远，变形愈

大。图 2-23 是用这个投影绘制的东半球图。图上的面积等变形线呈同心圆状分布。

因平射方位投影是等角的，曾被欧洲一些国家用作地形图的投影。美国

的“通用极球面投影”（Universal Polar Stereographic Projection，简称“UPS”投影），实际上就是正轴等角割方位投影，它是视地球为椭球体， 投影中心的长度比为 0.994，割线的纬度约为 81°，80°纬线的长度比为1.0016。该投影用于两极地区的地形图。

三、等积方位投影

等积方位投影是要使投影图上的面积和实际地面上相应的面积相等，也就是以等积条件决定ρ=f（Z）函数形式的一种方位投影。按公式（2-14）， 应有

即

两边积分得

ρdρ

P = R² sin ZdZ = 1

ρdρ = R² sin ZdZ

ρ2

= k − R² cos Z（k为积分常数）

2

在上式中，若 Z=0，则ρ=0，于是 k=R2。

所以 ρ² = 2(R² − R² cos Z) = 2R² (1 − cos Z) = 2R² • 2 sin ² Z = 4R² sin² Z

2 2

则 ρ = 2R sin Z 2

等积方位投影的极坐标公式为：

ρ = 2R sin Z

2

δ = ψ

如系正轴投影，则ψ=λ，Z=90°-ϕ。等积方位投影的变形公式为：

d2R sin Z

μ1 =

dρ = −

RdZ

2

RdZ

Z

= cos Z

2

μ 2 =

ρ

R sin Z

= 2R sin 2

R sin Z

Z

= sec 2

P = μ1μ 2 = 1

Z Z

ω sec 2 − cos 2 



Z Z

sin 2

= Z Z Θ sec 2 > cos 2 

sec 2 + cos 2

根据上述变形公式，计算出本投影的各种变形值，列于表 2-2 中。

由表 2-2 看出，这种投影沿垂直圈方向长度比不断缩小，沿等高圈方向长度比不断增大；在一点上，垂直圈长度比与等高圈长度比互为倒数。投影中心附近变形小，离中心点愈远，变形愈大。图 2-24 是用斜轴等积方位投影绘制的陆半球图。图上表示出角度最大变形，其等变形线呈同心圆状分布。

表 2-2 等积方位投影各种变形值表

等积方位投影是目前小比例尺地图上应用比较广泛的一种投影，它的横轴投影主要用于编制东、西半球图（ϕ0=0°，λ0=+70°；ϕ0=0°，λ0=-110

°），非洲地图（ϕ0=0°，λ0=+20°）。斜轴投影主要用于编制水、陆半球图（ϕ0=-45°，λ0=180°；ϕ0=+45°，λ0=0°），亚洲地图（ϕ0=40°，λ

₀=+90°），欧洲地图（ϕ0=52°30’，λ0=+20°），北美洲地图（ϕ0=45°， λ0=-100°），拉丁美洲地图（ϕ0=-10°，λ0=-70°），南美洲地图（ϕ0=-10

°，λ0=170°）。斜轴投影也曾用于编制中华人民共和国全图（包括南海诸岛），其投影中心为ϕ0=35°，λ0=105°。

四、等距方位投影

等距方位投影是使垂直圈投影后保持长度没有变形，即垂直圈方向长度比等于 1 的一种方位投影。按照公式（2-12），应有

μ1 =

dρ = 1 RdZ

即 dρ=RdZ

两边积分得 ρ=RZ+k（k 为积分常数） 若 Z=0，则ρ=0，于是 k=0，所以

ρ=RZ

等距方位投影的极坐标公式为ρ=RZ

δ=ψ

如系正轴投影，则ψ=λ，Z=90°-ϕ 等距方位投影的变形公式为

μ1 = 1

μ 2 =

Z

sin Z Z

P = sin Z

sin ω

Z − 1

= sin Z = Z − sin Z (Θ Z > sin Z,μ

> μ )

2 Z + 1

sin Z

Z + sin Z ^{2 1}

根据上述变形公式计算出本投影的各种变形值，列于表 2-3 中。

表 2-3 等距方位投影各种变形值表

由表 2-3 看出，这种投影的变形变化规律和前两种投影一样，投影中心附近变形小，离中心点愈远，变形愈大。不过这种投影变形比较适中，它的面积变形小于等角投影，角度变形小于等积投影。这种投影既不等角又不等积，属任意投影。

等距方位投影多用来编制北冰洋和南极洲地图，也可用来编制半球图（图2-25）。

由于等距方位投影由投影中心到任意点的直线是大圆，并保持其方位角和距离都正确，所以用来编制供确定由某地（将它作为投影中心）至任何一地的距离和方位角的地图（如航行图）是十分有用的。

五、几种方位投影变形性质的图形判别

方位投影经纬线形式具有共同的特征。正轴投影，其经线为放射状直线， 夹角相等；纬线为以经线的交点为圆心的同心圆。横轴投影，赤道和中央经线为互相垂直的直线，其他经纬线均为曲线。斜轴投影，除中央经线为直线外，其余的经纬线均为曲线。但是由于各种方位投影的条件不同，垂直圈和等高圈长度比不同，因此其变形性质就不相同。不同变形性质的投影适合于不同的用途。一般，在地图上应该注明投影名称。如果地图上没有注明投影名称，则可以根据中央经线上纬线间隔的变化判别它们的变形性质。

等高圈在方位投影上表现为同心圆，其长度比从图形不易观察出来，但垂直圈是半径方向，表现为直线；在正轴投影上，为经线；在横轴投影上，

为赤道和中央经线；在斜轴投影上，为中央经线。垂直圈的长度比在图形上是有反映的，它表现为中央经线上纬线间隔的变化，根据表 2-4 可以得出以下结论：

表 2-4 三种方位投影的纬线半径和纬线间隔变化表（设 R=1 ）

Z 等角方位投影 等积方位投影 等距方位投影

纬线半径 纬线间隔 纬线半径 纬线间隔 纬线半径 纬线间隔

等角方位投影，在中央经线上，纬线间隔从投影中心向外逐渐扩大，80

°—90°相当于 0°—10°的 1.8 倍；等积方位投影，在中央经线上，纬线间隔从投影中心向外逐渐缩小，80°—90°相当于 0°—10°的 7/10；等距方位投影，在中央经线上纬线间隔相等（图 2-26）。