第一节 地图投影的基本问题

一、地图投影的概念

地球椭球体表面是曲面，而地图通常是要绘制在平面图纸上，因此制图时首先要把曲面展为平面，然而球面是个不可展的曲面，换句话说，就是把它直接展为平面时，不可能不发生破裂或褶皱。若用这种具有破裂或褶皱的平面绘制地图，显然是不实用的，所以必须采用特殊的方法将曲面展开，使其成为没有破裂或褶皱的平面。

由于球面上任一点的位置是用地理坐标（纬度ϕ、经度λ）表示，而平面上点的位置是用直角坐标（纵坐标 x、横坐标 y）或极坐标（动径ρ动径角δ） 表示，所以要想将地球表面上的点转移到平面上，必须采用一定的数学方法来确定地理坐标与平面直角坐标或极坐标之间的关系。这种在球面和平面之间建立点与点之间函数关系的数学方法，称为地图投影。

因为球面上任一点的位置决定于它的经纬度，所以实际投影时是先将一些经纬线交点展绘在平面上，再将相同经度的点连成经线，相同纬度的点连成纬线，构成经纬线网。有了经纬线网以后，就可以将球面上的点，按其经纬度画在平面上相应位置处。图 2-1（a）是球面上的经纬线网，图 2-1（b） 是平面上的经纬线网。球面上点 A、B、C 可按其经纬度在平面上定出其位置， 它们为 A’、B’、C’。由此看来，地图投影的实质是将地球椭球面上的经纬线网按照一定的数学法则转移到平面上。经纬线网是绘制地图的“基础”。它是地图的主要数学要素。

二、地图投影的变形

（一）变形的概念

地图投影的方法很多。用不同的投影方法得到的经纬线网形式不同。图2-2 是几种不同投影的经纬线网形状。从图上可以看出，用地图投影的方法将球面展为平面，虽然可以保持图形的完整和连续，但它们与球面上的经纬线网形状并不完全相似。这表明投影之后，地图上的经纬线网发生了变形， 因而根据地理坐标展绘在地图上的各种地面事物，也必然随之发生变形。这种变形使地面事物的几何特性（长度、方向、面积）受到破坏。为了能够正确使用地图，必须了解因投影所产生的变形。

现在把地图上的经纬线网与地球仪上的经纬线网进行比较，可以发现变形表现在长度、面积和角度三个方面。

长度变形在地球仪上经纬线的长度具有下列特点。第一，纬线长度不等。赤道最长；纬度愈高，纬线越短；极地的纬线长度为零。第二，在同一条纬线上，经差相同的纬线弧长相等。第三，所有的经线长度都相等。在同一条经线上，纬差相同的经线弧长相等（在地球椭球面上，纬差相同的经线弧长虽不完全相等，但相差很小）。

地图上经纬线长度是怎样的呢？在图 2-2（a）上，各条纬线长度相等， 各条经线长度也相等。这说明各条纬线不是按照同一比例缩小的，而经线却

是按照同一比例缩小的。在图 2-2（c）上，同一条纬线上经差相同的纬线弧长不等，从中央向两边逐渐缩小。各条经线长度不等，中央的一条经线最短， 从中央向两边经线逐渐增大。这个图形表明，在同一条纬线上由于经度位置的不同，比例发生了变化，从中央向两边比例逐渐缩小，各条经线也不是按照同一比例缩小，但它们的变化却是从中央向两边比例逐渐增大。

根据上述可知，地图上的经纬线长度与地球仪上经纬线长度特点并不完全相同。地图上经纬线长度并非都是按照同一比例缩小的，这表明地图上具有长度变形。长度变形的情况因投影而异。在同一投影上，长度变形不仅随地点而改变，在同一点上还因方向不同而不同。

面积变形地球仪上经纬线网格的面积具有下述特点。第一，在同一纬度带内，经差相同的网格面积相等。第二，在同一经度带内，纬度愈高，网格面积愈小。然而地图上却并非完全如此。如在图 2-2（a）上，同一经度带内， 纬差相等的网格面积相等，这表明面积不是按照同一比例缩小的。纬度愈高， 面积比例愈大。在图 2-2（c）上，同一纬度带内，经差相同的网格面积不等， 这表明面积比例随经度的变化而变化了。

由于地图上经纬线网格面积与地球仪上经纬线网格面积的特点不同，在地图上经纬线网格面积不是按照同一比例缩小的，这表明地图上具有面积变形。面积变形的情况因投影而异。在同一投影上，面积变形因地点的不同而不同。

角度变形角度变形是指地图上两条线所夹的角度不等于球面上相应的角度。如在图 2-2（b）、（c）上，只有中央经线和各纬线相交成直角，其余的经线和纬线均不呈直角相交，而在地球仪上经线和纬线处处都呈直角相交，这表明地图上有了角度变形。角度变形的情况因投影而异。在同一投影图上，角度变形因地点而变。

（二）变形椭圆

地图投影的变形，随地点的改变而改变，因此在一幅地图上，就很难笼统地说它有什么变形，变形有多大。为此必须取地面上一个微小部分，来研究它投影到平面上之后是怎样变化的。现取一个微小圆（由于其微小，可忽略曲面的影响，把它当作平面看待），通过下列试验进行分析。

如图 2-3，用铁丝做一个按一定比例尺缩小的北（或南）半球经纬线网模型，在模型的极点和同一条经线上放置几个不透明的小圆，使极点与投影平面相切。在模型的圆心处放一盏灯，经灯光照射后，在投影平面上就有了经纬线网格。模型上的小圆投影到平面上之后，除了极点处的小圆没有变形

（与模型上的小圆相同）外，其余的都变成了椭圆。椭圆的长轴和短轴都比小圆的直径长。如果把灯沿着与投影平面垂直的方向远移，则椭圆逐渐变小， 长轴与短轴的差异也逐渐缩小。当灯移至与投影平面的距离等于模型的直径

（即移到了另一个极点位置）时，模型上小圆的投影变成了圆，但是这些圆的直径都比小圆的直径长。如果把灯继续远移，投影平面上的小圆又变成了椭圆。在试验过程中可以明显地看出，无论灯光在什么位置，半球模型与投影平面相切处的小圆都没有变形。从切点向四周，小圆的变形逐渐增大，有的方向逐渐伸图 2-4 地球面上的微小圆投影在平面上为微小椭圆长，有的方向逐渐缩短。

现在我们来证明球面上一个微小圆，投影到平面上之后是个椭圆。图 2-4

（a）中 ADBC 为地面上微小圆，展在平面上如图 2-4（b）所示，以经纬线为直角坐标轴 X、Y，圆上任一点 M 的坐标为 x=MJ，y=MK。在投影平面上（图2-4（c）），A’B’为 AB 的投影，C’D’为 CD 的投影，M’为 M 的投影。由于投影一般有角度变形，A’B’与 C’D’不一定直交，故 A’B’、C’D’为斜坐标轴系。令其轴为 X’、Y’，则 M’的坐标为 x’=M’J’，y’=M’K’。由此可以得出

M'J' = x' = m

MJ x

M' K' = y' = n

MK y

m 为经线长度比；n 为纬线长度比。

x' 

x = m

y' 

y = n 

（2 - 1）

设在地面上所取的微小圆半径为 1，则 M 点的圆方程为

x2 + y2 = 1 （2 - 2）

在投影平面上 M’点绕 O’点运动的轨迹，显然就是（2-2）式所表示的圆的投影。将（2-1）代入（2-2）得

x'2 + y'2 =

m2 n2 1

这个方程式代表一个以 O’为原点，以相交成θ角的两共轭直径为坐标轴的椭

圆方程式。这就证明了地球面上的微小圆，投影后为椭圆（一般为椭圆，特殊情况下为圆）。这种椭圆可以用来表示投影的变形，故叫做变形椭圆。

在研究投影时，可以借助变形椭圆与微小圆进行比较，来说明变形的性质和数量。椭圆半径与小圆半径之比，可以说明长度变形。很明显地看出长度变形是随方向的变化而变化，其中有一个极大值——椭圆长轴方向，一个极小值——椭圆短轴方向。这两个方向是互相垂直的，称为主方向。椭圆面积与小圆面积之比，可以说明面积变形。椭圆上任意两条方向线的夹角与小圆上相应的两方向线夹角之差为角度变形。

（三）长度比和长度变形

长度比就是投影面上一微小线段（变形椭圆半径）和球面上相应微小线段（球面上微小圆半径，已按规定的比例缩小）之比。设以 ds 表示球面上微小线段，以 ds’表示投影在平面上的微小线段，以μ表示长度比，则

μ = ds'

ds

长度比是一个变量，它不仅随着点的位置不同而变化，而且在同一地点，它还随方向的变化而变化。

这里需要说明的是，长度比与地图比例尺不同。地图比例尺是运用地图投影方法绘制经纬线网时，首先把地球椭球体按规定的比例尺缩小，然后才能把它表示在平面上。这个比例尺称为主比例尺，即一般地图上所注明的比例尺。但是由于投影时有变形，主比例尺仅能被保持在某些地方，其余地方或是大于或是小于这个比例尺。

在某点上，长度比随方向的变化而变化，通常在研究长度比时，不一一研究各个方向的长度比，而只研究其中一些特定方向的长度比，即研究最大长度比（a）和最小长度比（b），经线长度比（m）和纬线长度比（n）。投影后经纬线呈直交者，经纬线长度比就是最大和最小长度比。投影后经纬线不直交，其夹角为θ，则经纬线长度比 m、n 和最大、最小长度比 a、b 之间具有下列关系：

m2 + n2 = a 2 + b2

mn sinθ = ab

（2 - 3）

（2 - 4）

(a + b)2

= m2 + n 2 + 2mnsiθ

或 (a − b)2

= m2 + n2 − 2mnsiθ

(2 − 5)

用长度比可以说明长度变形。所谓长度变形就是（ds’-ds）与 ds 之比。以 Vμ表示长度变形，则

V = ds'−ds = ds' − 1 = μ − 1

μ ds ds

由上式可知，长度变形就是长度比与 1 之差。长度比是一个相对数量，只有

大于 1 或小于 1 的数（个别地方等于 1），没有负数。而长度变形则有正有负。长度变形为正，表示投影后长度增长；长度变形为负，表示投影后长度缩短。

（四）面积比和面积变形

面积比就是投影平面上微小面积（变形椭圆面积）dF’与球面上相应的微小面积（微小圆面积）dF 之比。球面上微小圆面积 dF=π12，投影平面上变形椭圆面积 dF’=πab，以 P 表示面积比，则

P = dF' = πab = ab

（2 - 6）

dF π12

或 P=mnsinθ （2-7）

面积比是个变量，它随着点的位置不同而变化。

用面积比可以说明面积变形。所谓面积变形就是（dF’-dF）与 dF 之比， 以 Vp 表示面积变形，则

V = dF'−dF = dF' − 1 = P − 1

p dF dF

由上式可知，面积变形就是面积比与 1 之差。面积比也是个相对数量，只有

大于 1 或小于 1 的数，没有负数。面积变形则有正有负，面积变形为正，表示投影后面积增大；面积变形为负，表示投影后面积缩小。

（五）角度变形

投影面上任意两方向线所夹之角与球面上相应的两方向线夹角之差，称为角度变形。过一点，可以做许多方向线，每两条方向线均可组成一个角度， 这些角度投影到平面上之后，往往与原来的大小不一样，而且不同的方向线所组成的角度产生的变形一般也是不一样的。从图 2-5 可以看出 a’-a 与 u’- u 并不相等。通常在研究角度变形时，不一一研究每一个角度的变形数量， 而只研究其角度的最大变形。

在图 2-5 中，X’、Y’轴的方向系表示主方向的投影，故其是正交的。图上任一方向线 OA 与主方向线的夹角为 a，投影到平面上后，OA 投影为 O’A’，

O’A’与 X’轴的夹角为 a’。设 A 点的坐标为（x、y），A’点的坐标为（x’、y’）， 则

y tgα = x

tgα' = y'

x'

而 y' = b, x' = a y x

即 y' = by, x' = ax

所以 tgα' = by = b tgα

ax a

将上式两边各减和加 tgα以推演得出：

sin（α - α' ） = a − b （sinα + sinα' ）

a + b

在上式中，显然当（a+a’）=90°时，sin（α-α’）的值为最大，即 a-a’为最大。以 a0-a’0 代表最大值，则

sin(α

− α' ) = a − b

（2 - 8）

0 0 a + b

上式表明的是一条方向线 OA 与主方向 OX 的夹角变形情况，即方向变形。可以设想在相邻象限内，一定有一个方向线 OB 与主方向 OX 的夹角也是 a， 投影之后变为 a’。在微小圆上 OA 与 OB 的夹角为 u，投影后 O’A’与 O’B’的夹角为 u’，则由图上可以看出

u’-u=（180°-2a’）-（180°-2a）=2（a-a’）

因为我们要研究角度最大变形，所以用 a0 和 a’0 代替 a 和 a’，以ω代表 u’-u 的最大值，则

ω = 2(a 0 − a'0 )

ω = a 2

0 − a'0

代入（2 - 8）式，则得

ω

sin 2

= a − b

a + b

（2 - 9）

若已知经线长度比 m、纬线长度比 n 和经纬线夹角θ，则角度最大变形公式为：

ω

sin 2 =

(2 − 10)

三、地图投影的分类

地图投影的种类很多，为了学习和研究的方便，应对其进行分类。由于分类的标志不同，分类方法就不同。从使用地图的角度出发，需要了解下述两种分类。

（一）按变形性质分类

按变形性质地图投影可以分为三类：等角投影、等积投影和任意投影。

  1. 等角投影 投影面上某点的任意两方向线夹角与椭球面上相应两线段夹角相等，即角度变形为零。为了保持等角条件，必须使ω=0，按公式（2- 9）得 a=b（或θ=90°，m=n），即最大长度比等于最小长度比。因此在这种投影上，变形椭圆不是椭圆，而是圆。在小区域内，投影后的图形与实地是相似的，故这类投影又叫正形投影。等角投影在一点上任何方向的长度比都相等，但在不同地点长度比是不同的，即不同地点上的变形椭圆大小不同， 因此从大范围来讲，投影后的图形与实地并不相似。

由于这类投影没有角度变形，所以多用于编制航海图、洋流图和风向图等。

  1. 等积投影 在投影平面上任意一块面积与椭球面上相应的面积相等， 即面积变形等于零。为了保持等积条件，必须使 P=1。按公式（2-6）可得

出a = 1 或b = 1 ，即最大长度比与最小长度比互为倒数。因此在等积投影

b a

的不同点上，变形椭圆的长轴不断伸长，短轴不断缩短，形状变化较大，角度变形比别的投影亦大。

由于这类投影可以保持面积没有变形，故有利于在地图上进行面积对比。一般常用于绘制对面积精度要求较高的自然地图和经济地图。

  1. 任意投影 在这种投影图上，长度、面积和角度都有变形，它既不等角又不等积。

任意投影中，有一种比较常见的等距投影。在这种投影图上并不是不存在长度变形，它只是在特定方向上没有长度变形。等距投影的面积变形小于等角投影，角度变形小于等积投影。

任意投影多用于要求面积变形不大、角度变形也不大的地图，如一般参考用图和教学地图。

图 2-6 是表示在各种变形性质不同的地图投影中变形椭圆的形状。在等角投影中，椭球面上的小圆投影为大小不同的圆，在等积和任意投影中，椭球面上的小圆投影为大小不同的椭圆。通过对这些图形的分析，可以看出， 经过投影后地图上所产生的长度变形、面积变形和角度变形，是相互联系相互影响的。它们之间的关系是：

  1. 在等积投影上不能保持等角特性，在等角投影上不能保持等积特性。

  2. 在任意投影上不能保持等角和等积的特性

  3. 等积投影的形状变形比较大，等角投影的面积变形比较大。

（二）按构成方法分类

地图投影最初建立在透视的几何原理上，它是把椭球面直接透视到平面上，或透视到可展开的曲面上，如圆柱面和圆锥面。圆柱面和圆锥面虽然不是平面，但可以展为平面。这样就得到具有几何意义的方位、圆柱和圆锥投影。随着科学的发展，为了使地图上变形尽量减小，或者为了使地图满足某些特定要求，地图投影就逐渐跳出了原来借助于几何面构成投影的框子，而产生了一系列按照数学条件构成的投影。因此，按照构成方法，可以把地图投影分为两大类：几何投影和非几何投影。

  1. 几何投影几何投影是把椭球面上的经纬线网投影到几何面上，然后将几何面展为平面而得到的。根据几何面的形状，可以进一步分为下述几类：

  1. 方位投影以平面作为投影面，使平面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到平面上而成。

  2. 圆柱投影以圆柱面作为投影面，使圆柱面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到圆柱面上，然后将圆柱面展为平面而成。

  3. 圆锥投影以圆锥面作为投影面，使圆锥面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到圆锥面上，然后将圆锥面展为平面而成。

在上述投影中，由于几何面与球面的关系位置不同，又分为正轴、横轴和斜轴投影。正轴方位投影，投影平面与地轴垂直；横轴方位投影，投影平面与地轴平行；斜轴方位投影，投影平面与地轴斜交（图 2-7）。正轴圆柱投影和正轴圆锥投影，圆柱和圆锥的轴与地轴重合；横轴圆柱投影和横轴圆锥投影，圆柱和圆锥的轴与地轴垂直；斜轴圆柱投影和斜轴圆锥投影，圆柱和圆锥的轴与地轴斜交（图 2-8，2-9）。

正轴投影的经纬线形状比较简单，称为标准网。正轴方位投影，纬线为同心圆，经线为同心圆的半径，经线间的夹角等于相应的经度差（图 2-10）。正轴圆柱投影，纬线为一组平行直线，经线为与纬线垂直、且间隔相等的平行直线（图 2-11）。正轴圆锥投影，纬线为同心圆弧，经线为同心圆弧的半径，经线间的夹角与相应的经差成正比（图 2-12）。

  1. 非几何投影不借助于几何面，根据某些条件用数学解析法确定球面与平面之间点与点的函数关系。在这类投影中，一般按经纬线形状又分为下述几类：

  1. 伪方位投影 纬线为同心圆，中央经线为直线，其余图的经线均为对称于中央经线的曲线，且相交于纬线的共同圆心（图 2-13）。

  2. 伪圆柱投影 纬线为平行直线，中央经线为直线，其余的经线均为对称于中央经线的曲线（图 2-14）。

  3. 伪圆锥投影 纬线为同心圆弧，中央经线为直线，其余经线均为对称于中央经线的曲线（图 2-15）。

  4. 多圆锥投影 纬线为同轴圆弧，其圆心均位于中央经线上，中央经线为直线，其余的经线均为对称于中央经线的曲线（图 2-16）。

根据上述可知，按不同方法构成的投影，其经纬线网形状不同。经纬线网形状的变化，反映的是变形分布情况的差异，为了使地图上尽量减少变形， 通常按照制图区域的范围、所在的地理位置及轮廓形状选用不同的投影方法。