第一节 地图量算

地图量算的目的，在于通过图上的各种量测和计算，获取各种自然和社会经济要素的一系列数量指标。适于量测作业的地图，一般是指具有精确数学基础的大比例尺地形图。因此，下面介绍的是在大比例尺地图上进行量算作业的一些具体方法。

一、位置确定

一）确定点的平面位置

在我国 1∶1 万—1∶10 万比例尺地形图上，均绘有高斯-克吕格投影的平面直角坐标网，又称方里网，以此可以确定点的平面直角坐标。地形图的内图廓即是经纬网，并在内外图廓间设有分度带，以此可以确定点的地理坐标。

1. 求算点的平面直角坐标图 6-1 所示是 1∶5 万地形图的一部分。欲求图上 P 点的平面直角坐标，则可通过方里网和图廓处的数字注记来求得。首先确定 P 点所在的方格，读出该方格西南角顶点的平面直角坐标值：X0 为 3990 公里。Y0 为（19）321 公里；然后用两脚规截取 P 点至 3990 公里线的垂直距离 x 和 P 点至（19）321 公里线的垂直距离 y，将 x，y 分别放在图幅下方的直线比例尺上量比，即可得实际距离 x 为 0.35 公里，y 为 0.45 公里，则 P 点的平面直角坐标为：

Xp=X0+x=3990km+0.35km=3990.35km

Yp=Y0+y=（19）321km+0.45km=（19）321.45km

1. 求算点的地理坐标国家基本地形图是按经纬度进行分幅的，东西图廓为经线，南北图廓为纬线。图廓的四角注有经纬度数，并在 1∶2.5 万—1∶ 10 万地形图的内外图廓之间设有分划为一分的分度带。

如图 6-1 所示，欲求 P 点的地理坐标，可先在东西图廓和南北图廓找出包含 P 点经纬度在内的经度分划和纬度分划，并将分划对应端点连线，构成一个包括 P 点在内的经纬网格 abcd，然后查出该经纬网格左下角顶点 a 的经纬度：ϕα=36°01’，λα=109°01’，并量比 P 点至所连经纬线的垂直距离和分度带分划的图上长度：gP=4mm，gh=30mm，eP=23mm，ef=35mm，按比例关系即可求出 P 点至所在经纬网格西边经线的经度差和 P 点所在经纬网格南边纬线的纬度差：

∆λ'' = P点至所连经线的垂直距离 × 60''

经差1' 的图上长度

= 4 × 60'' = 8' '

30

∆ϕ' ' = P点至所连线的垂直距离 × 60' '

纬差1' 的图上长度

= 23 × 60' '= 39''.4

35

则 P 点的地理坐标为：

λP=109°01’+8″=109°01’08″

ϕP=36°01’+39″.4=36°01’39″.4

（二）求算点的高程位置

现代地形图是用等高线表示地形的高低起伏的。用等高线表示地形的主要优点是，通过等高线可以直接量取图面上任一点的绝对高程和相对高程， 获得关于地形起伏的定量概念。

在图上求点的高程，主要是根据等高线及高程注记（示坡线及该图的等高距）推算。

若所求算的点位于等高线上，则该点的高程就是所在等高线的高程。如图 6-2 中，已知三角点的高程注记是 118.7 米，又知道等高线的间距是 10 米，所以 A 点的高程就是 80 米。

若所求点位于两条等高线之间，可以根据比例关系求算。如 P 点高程的求算方法是：量得 a、b 间的图上距离 14 毫米，P、b 间的图上距离是 2.5

毫米，已知等高距是10米，P、b间的高差是： 2.5 ×10≈1.79m，则P点高

14

点高程应为 90+1.79≈91.79（米）。

二、方向的确定

在地形图应用中，往往还要从图上判定两点的相对位置。如果仅有两点间的水平距离，而没有相互间的方位关系，则两点间的相对位置是不能确定的。而确定图上两点间的方位关系，则须规定起始方向，然后求出两点间连线与起始方向之间的夹角，这样两点间的方位关系就能确定了。

（一）地形图上的起始方向

地形图上有三种起始方向：真北方向、磁北方向和坐标北方向。

1. 真北方向 地面上的真北方向，是通过地面上一点而指向北极的真子午线方向；地形图上的真北方向，是指通过图上一点垂直指向北图廓的子午线方向。在大比例尺地形图上往往以东西图廓作为真子午线方向。

2. 磁北方向 地面上的磁北方向，是指通过地面上一点而指向北磁极的磁子午线方向。通过地面上一点的磁子午线与通过该点的真子午线有一夹角δ，称为磁偏角，东偏为正（+），西偏为负（-）。地形图上一般用虚线标有磁子午线方向或在南北图廓标有小圆圈并注有磁南磁北，两个小圆圈连线便是磁子午线。

3. 坐标北方向 大比例尺地形图上有平面直角坐标网（方里网），地图上的坐标北方向即是坐标纵线方向。

（二）图上直线定向

图上的直线定向，可用方位角或象限角表示。

1. 方位角方位角是指从起始方向北端算起，顺时针至某方向线间的水平角，角值变化范围 0°—360°，如图 6-3。

方位角按使用的起始方向不同而有真方位角、磁方位角和坐标方位角之分。起始方向为真子午线，其方位角为真方位角；起始方向为磁子午线，其

方位角为磁方位角；起始方向为坐标纵线，其方位角为坐标方位角。真方位角和磁方位角可按下式互换：

真方位角=磁方位角±δ

真方位角和坐标方位角可按下式互换： 真方位角=坐标方位角±γ

磁方位角和坐标方位角可按下式互换： 磁方位角=坐标方位角+（δ-γ）

1. 象限角象限角是指从起始方向线北端或南端算起，顺时针或逆时针至某方向线间的水平角，角值变化范围 0°—90°（图 6-4）。象限角与方位角可以互相换算（表 6-1）。

表 6-1 方位角与象限角的换算

在图上量测角度可用量角器进行。

三、长度量测

在地形图上进行长度量测，有直线长度量测和曲线长度量测两种。

（一）直线长度量测

直线长度量测的方法如下：

1. 两脚规量比直线长度用两脚规在图上截取 A、B 两点距离，然后移至地形图图幅下方的直线比例尺上量比，使分规的一脚对准尺身上的一个大分划，另一脚对准尺头上的小分划，即可读出两点间距离或相应地物的直线长度。

2. 依两点坐标计算直线长度当跨图幅量测两点间的距离或直线长度时， 往往采用坐标计算法（图 6-5）：

AB =

式中 XA、XB、YA、YB 是从图上量取的坐标值。

用两点坐标计算直线长度，能避免图纸伸缩和具体量测过程中所造成的误差，可以得到精确的长度数据。

（二）曲线长度量测

曲线量测的主要方法有两脚规法、曲线计法，常用于量测河流、道路、海岸线的长度。

1. 两脚规量测通常使用带微调螺旋的弹簧两脚规（图 6-6）量测曲线， 量得结果是近似于曲线的折线。量测的精度取决于组成折线的线段长短，即两脚规的脚距大小。脚距大小根据曲线弯曲程度而定，当曲线弯曲程度大时， 脚距要小，一般为 1—2 毫米，当曲线的弯曲程度小时，则脚距可适当放宽，

一般为 3—4 毫米。

量测的具体方法：首先根据曲线的弯曲程度规定两脚规的脚距大小，假设脚距定为 2 毫米。然后进行脚距大小的检验和调整。检验和调整的办法是，

先在纸上绘一条长 50 毫米的直线，用脚距为 2 毫米的两脚规量测，如果脚距

2 毫米事先调整的很准确，那么刚好截取 25 次，如果没有正好截取 25 次， 应作进一步调整，直到合适为止。用经检验和调整后的脚距才能正式量测曲线长度。沿着欲量测的曲线的一端开始连续量测，直到终点。最后距终点如有不足一个脚距的线段时，可用微分尺量或直接用目估方法解决。

一般要往返两次量测，取平均数。曲线的长度 L 等于单位脚距代表的实地长度 d 乘以两脚规截取的次数 N，即 L=d·N，但这种量测方法的结果一般都比实际的曲线长度要短。为了减少量测误差，可以再乘以曲线的弯曲系数K，即 L=d·N·K（图 6-7）。曲线弯曲系数的确定，是将欲量测的曲线和标准曲线类型表对照，最后定出量测曲线的弯曲系数 K。

1. 用曲线计量测曲线计是量测曲线长度的简便仪器，它由测轮、字盘和指针组成。字盘上注记有不同比例尺的分划值。每一分划相当实地一公里（图6-8）。

量测时，先转动测轮使指针归零，并对准欲量测的曲线端点，然后使曲线计沿曲线垂直于图面滚动，直到终点，指针所指的实际数字即为实地的曲线长度。为准确起见，一般要往返量测几次取平均数。如果所量测的地形图比例尺与曲线计的字盘上所注记的比例尺不符，则可用曲线计量测图上已知直线的实地长度，求算出分划值后，再进行曲线量测。图 6-8 曲线计曲线量测除上述方法外，近些年来随着电子计算机技术和制图自动化技术的广泛应用，可利用手扶跟踪数字化仪量测曲线长度，能得到更加精确的量测效果。

四、坡度量测

地面坡度是指倾斜地面对水平面的倾斜程度。研究地面坡度不仅对了解地表的现代发育过程有着重要意义，而且与人类的生产和生活有着更为密切的关系。

在科学研究、生产实践、国防建设中所需要的坡度资料和数据，一般都是从大比例尺地形图上量测获得的。

（一）坡度的表示方法

图上两点间的坡度，是由两点间的高差和水平距离所决定的（图 6-9）， 具体表示方法有两种。

1. 用坡度角表示根据图 6-9 可知：

ctgα = D

h

式中α为坡度角；D 为两点间水平距离；h 为两点间高差。

从上式可以看出，坡度角与水平距离和高差之间存在余切关系。当知道两点间水平距离和高差，即可求出坡度角。

1. 用比降表示在工程技术上，往往采用 h/D 表示坡度。式中 h

   为两点间高差，D 为两点间水平距离。在具体表示上，有的用分母划为 100、1000 的百分比、千分比形式；有的用分子划为 1 的比例形式，见表 6-2。

表 6-2 常用坡度表示法之间的关系（选值）

（二）用坡度尺量测坡度

1. 坡度尺的制作方法根据公式D = h • ctgα • 1000 （mm），求出相邻

M

两条等高线间坡度为 1°、2°、3°、⋯30°的图上水平距离 D1、D3、D3、⋯、D30（式中 h 为等高距；M 为地形图比例尺的分母）；在绘好的水平基线上， 按两毫米间隔截取；在各截点上按 D1、D2、D3、⋯、D30 的长度作水平基线的垂线，并将端点用圆滑曲线连接起来，即构成量测相邻两条等高线间坡度角的坡度尺。为了使 5°以上的各种坡度表现更明显些，而采用 5 倍等高距， 并在垂线上依次截取相应 D 值，即 D’5、D’6、D’7、⋯、D’30，用圆滑曲线连接起来，即构成量测相邻六条等高线间坡度的坡度尺（图 6-10），利用国家基本地形图量测坡度时，可利用南图廓外的绘制好的坡度尺直接量测。

1. 坡度尺的使用方法当等高线比较稀疏时，可用量测相邻两条等高线间坡度的坡度尺图

   6-10 坡度尺图 6-11 用坡度尺量坡度量测。具体方法，如图6-11，先用两脚规量比图上欲求坡度的两条等高线间的水平距离，然后移至

坡度尺上，使两脚规的一脚放在坡度尺水平基线上滑动，另一脚与曲线相交处所对应的水平基线上的度数，即为所求坡度。当等高线密集时，则使用量测相邻六条等高线间坡度的坡度尺进行量测，先在图上用两脚规量比欲求坡度的相邻六条等高线间的水平距离，然后移至坡度尺上量比，找到所求坡度数。

（三）绘制剖面图量算坡度

除用坡度尺量算坡度外，欲求某一方向上各段的坡度时，亦可先将该方向上的各点连成坡度方向线，然后作成坡度线剖面图，如图 6-12 所示，a1、a2、a3，即为各段的坡度。

（四）求最大坡度和限定坡度

在地形图上量测坡度，有的是为了解某一区域范围内地表坡度的变化情况，有的是为了解某一方向、路线上的坡度变化情况。对后者而言还可根图6-12 绘制剖面图量算坡度据不同要求在图上确定最大坡度线或限定坡度线。如在图上表示出地表水的径流方向，则需求最大坡度线；如在图上进行道路、水渠等方面的选线，则需求出限定坡度的最短距离即同坡度线。

1. 求最大坡度线地形图上由一点出发，向不同方向上的坡度是不相同的，但其中必有一个方向坡度最大。最大坡度线，在地形图上是垂直斜坡等高线的直线。因此，在地形图上求最大坡度线，就是求相邻等高线间的最短距离。如图 6-13 所示，由 A 点出发作 290 米这条等高线的垂线，交于 B 点， 然后由 B 点再作 280 米这条等高线的垂线，交于 C 点，依此类推，求出 B、C、D、E、F、⋯各点，并用圆滑曲线将各点连接起来，即为所求的最大坡度线。

2. 求限定坡度线在地形图上求两点间限定坡度的最短路线，如图 6-14 所示，先用两脚规在地形图坡度尺上量取相邻两条等高线间限定坡度的水平距离 D，然后以 A 为圆心、以 D 为半径划弧，相交于 340 米等高线上的 C 点， 其 AC 间的坡度即为限定坡度；再以 C 为圆心，仍以 D 为半径划弧，相交于330 米等高线上的 D 点；依此作下去，分别找出 C、D、E、F、⋯各点；最后将各点用圆滑曲线连接起来，即构成限定坡度的最短路线。若是地势起伏很大的地区，图上等高线密集，可利用坡度尺逐段按相邻六条等高线间限定坡度的水平距离划弧，得各交点，将各交点用圆滑曲线连接起来，即为所求的限定坡度的最短路线。

五、面积量测

在科学研究和生产实践中经常会遇到面积的量算问题，如求算各种土地利用类型的面积，厂区面积和矿区面积，水库的汇水面积，灌溉面积⋯⋯。除特殊需要实测外，通常都可以直接从地形图上量测。

在图上量算面积的方法很多，如方格法、方里网法、平行线法（又称梯形法）、求积仪法、权重法等，此外还有利用电子计算机和光电扫描仪等量算方法。

（一）方格法

使用以毫米为单位的透明方格纸或透明塑料模片蒙在欲测图形上，然后

将欲测图形的边界描绘在透明方格纸或透明塑料片上，如图 6-15。首先读出完整的方格数，然后再用目估方法将不完整的方格凑成完整的方格数。最后累加出图形轮廓线内的总方格数。用总方格数去乘每一方格代表的实地面积，即得欲测图形的总面积。图 6-15 方格法量算面积为了保证量算精度，首先必须保证使用的方格纸或模片的方格大小合乎要求。另外，为提高量算精度，最好将方格纸或模片放置不同方向，进行两次量算。

使用方格法求面积，简便易行，只要操作认真，精度可以得到保证，缺点是比较费工费时。

由于大比例尺地形图上的方里网代表的实地面积是已知的，因此在地形图上量测面积也可根据方格法量算面积的道理，利用大比例尺地形图上的方里网来计算图形的面积。不足一个网格的，可以采取方格法量算。

（二）平行线法

当一图形被一组间隔相等的平行线所截，其图形面积则可按梯形面积的求算方法计算（图 6-16）。即中线长乘高（平行线间隔）。这就是求面积的平行线法。

具体作法是，用绘有相等间隔平行线的透明模片蒙在欲图 6-16 平行线法量算面积测面积的图形上，并且使图形位于模片中央。为计算方便起见，图形下端最好切于一条平行线上。欲测图形的面积为：

S = h • ∑ L • M ²

如图 6-16 所示，欲测图形的上端边缘未与平行线相切，为提高量算精度，则在平行线段 AB 之上这部分图形面积可单独计算，然后加入总面积：

S = h· ∑ L·M ² + h' AB

2

式中 h’为平行线段 AB 上部这部分图形的高。

用平行线法求面积的精度取决于平行线之间的间隔大小，平行线间隔愈小，则面积量算精度愈高。

（三）求积仪法

求积仪是一种专供在图上量测面积用的仪器。当被量测图形的轮廓形状不规则时，使用求积仪求面积，有明显的优越性。

定极式求积仪是由极臂、航臂和计数机件三部分组成，如图 6-17。

极臂的一端有一圆柱形的重锤，重锤下面有一短针，靠重锤的重力刺入图纸，成为求积仪的一个极点。极臂的另一端有一圆头短柄，使用时可将其插入航臂上接合套的圆孔内，使极臂与航臂连接起来。极臂长度为极点至另一端的圆头短柄旋转轴之间的距离。航臂的一端有一航针，航针旁有一手柄， 手柄下面有一支撑航臂的小支柱。航臂的另一端有接合套，接合套上有求积仪上最重要的部件——计数器。航臂长度为航针尖端至短柄旋转轴的距离。

计数机件（图 6-18）由测轮、游标和计数盘所组成。当航臂移动时，与图纸平面接触的测轮随着转动。测轮转动一周，计数盘转动一格。计数盘由0－9 共分 10 格。测轮分为 10 等分，每一等分又分图 6-18 计数机件为 10 小

格。在测轮旁附有游标，游标上的 10 个小格相当于测轮上的 9 个小格的间距， 即游标上的每一小格是测轮上一个小格的 9/10，因此借助游标可以直接读出测轮上一小格的 1/10。这样根据计数机件就可以读出四位数字，即先从计数盘上读出千位数，然后从测轮上读出百位数和十位数，最后从游标上读出个位数。

使用求积仪求面积时，通常是将极点放在图形轮廓外，先根据欲量测图形的形状大小定好航臂长和极点位置，再将航针对准欲量测图形轮廓线上的某一点并作出记号，读取始读数 n1，然后使航针以均匀速度沿图形轮廓绕行一周回到起点，读出终了读数 n2，则量测图形的面积为：

S=C|n2-n1|

式中 C 为单位分划值，对一定臂长而言它是一常数，称为求积仪的第一常数。单位分划值 C，可在求积仪说明书上查得，或根据对已知面积的图形进

行量算求得。具体作法有以下两种：一是根据求积仪盒内备有的检验尺求得， 如图 6-19 所示。检验尺一端 M 下面有一小短针，可将检验尺一端固定在图纸上；另一端有一小孔 G，可插求积仪的航针。作用时是使航针以检验尺上 MG 长为半径绕行一周，读取 n1、n2 两个读数。由于以 MG 为半径的圆面积为已

S

知，并在仪器盒内有记载，因此C = |n − n | 。除用检验尺求C值外，还可

以利用地形图上的方里网所包围的正方形作为已知面积求 C，方法同上。使用求积仪量测面积，为了使量测的结果比较准确，应注意以下事项：

首先应选择表面光滑平整的桌面，将欲量测的图纸在桌面上铺平、固定；求积仪极点的安放位置要适当，为此必须先经过试验，当采取极点放在图形外量测面积时，极点的安放条件必须是在航臂绕行时，避免航臂与极臂的夹角过大或过小，一般应在 30°—150°之间，以夹角接近 90°为最理想；航针沿图形边缘绕行时，要跟踪准确，快慢适当，匀速前进；每块图形面积的量测，至少应采取航臂在极臂右侧量测一次，航臂在极臂左侧量测一次，取其两次量测结果的平均值，这样可以消除仪器的偏心差，为进一步提高量测精度，最好采取航臂在极臂左侧顺逆时针各量测一次，航臂在极臂右侧顺逆时针各量测一次，取四次量测结果的平均值；此外，由于求积仪量测面积的精度还与欲量测图形的大小、形状有关，图形愈小量测误差愈大，图形愈近于狭长量测误差愈大，因此应尽量避免用求积仪量测过小或过于狭长的图形面积。若量测的图形面积较大，可分块量测。

（四）权重法量算面积

使用精密的分析天平，先求出欲测图形单位面积的纸张重量 g，然后再

X

称出欲测图形的重量X，则欲测图形的面积S = P g 。式中P为单位面积。

（五）量算面积的新方法

随着现代科学技术的发展，目前国内已采用电子计算机或光电扫描仪器量算面积。

1. 计算机量算面积其原理是先用图形数字化仪对欲量测图形轮廊进行数字化，并由计算机按事先编好的程序计算出所求图形面积。一般作法是利用手扶跟踪数字化仪，先将欲量测图形放在数字化仪平台上，然后按下坐标键， 将数字化标示器上的十字丝对准欲测图形轮廓线上任一点，并使全机归零。

然后用手扶标示器沿欲测图形轮廓线按一定点距（0.7－1mm）数字化，记录每一点的平面坐标值 X、Y，数字化一周回到原点，检查 X、y 是否归零。按下面积键，消除 Y 轴显示的数据，再按一下面积显示微动开关，即可得到面积值。

1. 光电扫描仪量算面积目前国内根据光电扫描原理设计的量算面积的仪器已有多种：长沙东风电器厂生产的 ML-F 型电子分色面积量测仪；武汉光学仪器厂生产的GDM-1 型光电面积量测仪；广东安铺无线电总厂生产的ZMC-100 型自动面积量测仪等。

光电面积量测仪器基本都是依据图形分割计数的原理设计的，它具有操作简便、速度快、精度比较高等优点。

ML-F 型电子分色面积量测仪，量测最大幅面为 450×560 平方毫米，当量测 50×50 平方毫米面积时。相对误差小于 1％。该仪器可对同一幅地图上的三种不同类型的要素同时进行量测。在量测前首先对各类要素分别用深、中、浅三种不同色调涂色，然后进行扫描，即可读出面积。

GDM-1 型光电面积量测仪，量测最大幅面为 300×400 平方毫米，单要素量算相对误差不大于 0.5％。

ZMC-100 型自动面积量测仪，最大显示面积是 9999.9 平方厘米，当测量60 平方厘米面积时，相对误差不大于 1％。

（六）图上量算面积的改算方法

在地形图上量得的面积，都是地面水平投影的面积。若求地表面的实际面积，还应该加上地面高程和地面倾斜的改正数。

H

高程影响面积的改正数，一般可以根据S = S0 + 2S0 R 公式进行面积

改正。式中2S H 为面积由椭球体表面划为水平投影的改正系数（S 为

0 R 0

椭球体表面积；H 为海拔高；R 为地球椭球体半径），详见表 6-3。

表 6-3 不同高程的面积改正数

H

H （ m ） 2

R

H

H （ m ） 2

R

地面倾斜影响面积的改正数，可以用S = S0 + S0

2 公式计算（S0 为

水平投影面积；i为坡度），具体改正系数见表6 - 4。

表 6-4 地面倾斜的面积改正数

六、体积量测

在科学研究与工程建设中，常常会遇到要了解地面各种水体的体积、山体的体积、工程的土方工程量、矿体的储量等等。这类体积的求算都可以在地形图上进行，即根据地形图上的等高线量算体积。利用地形图量算体积， 必须先在地形图上确定量算体积的范围界线和厚度（高），然后进行量算。由于各种欲量算体积的对象形状各异，精度要求和工作条件不同，采取的量算方法也不一样。常用的量算方法有等高线法、方格法、断面法等。

（一）等高线法

在地形图上先求出相邻两条等高线之间的各层体积，然后各层体积累加起来即得总体积。如图 6-20 所示，每层的体积为

V = Di− 1 + Fi h

i 2

式中 Fi-1、Fi 为两个截面的面积；h 为等高距。如果数层相加求总体积，则应为

V = h (F + 2F + 2F +Λ Λ +2F + F) + h F

2 0 1 2 i −1 3

式中 h’为山体顶部高程与最高层等高线之间的高差。

（二）方格法

在地形图上量算较大范围内的体积时，可先将欲量测体积的范围按一定边长划分成正方形格网，或者将绘有方格网的模片铺在地形图上，在地形图上求出各方格网顶点的高程，这样便可以按四棱柱体来计算体积。

利用方格法求算体积的方法如下。首先求出欲求体积范围内每个小正方形网格顶点的高程 H1、H2、H3、H4，如图 6-21；然后求其平均值，即得四棱柱体的高 H；最后可以根据设计高程求出欲求体积的厚度 h（高）。小正方形

的面积 a2，即为四棱柱体的底面积。四棱柱体的体积则为：图 6-21 方格法求体积

V=a2h

根据上面的作法，将欲求体积范围内的每一个小四棱柱体积计算出来，最后累加即得总体积：

V 总=a2Σhi i=1、2、3⋯、n

（三）断面法

在地形图上于欲求体积界线范围内按一定间隔作断面，如图 6-22。由设计高程和地面线围成的断面面积（F）可以求算，那么相邻断面面积的平均值再乘以间隔（l），即得每两相邻断面间的体积。将各断面间的体积相加，即得总体积。

V1− 2

V2 −3

= F1 + F2 • l 2

= F2 + F3 • l 2

V = ∑nV

= V + V + V +Λ +V

总 1 i

1 2 3 n