第三节 圆柱投影、伪圆柱投影

一、圆柱投影的概念和种类

（一）圆柱投影构成的一般公式

圆柱投影是假定以圆柱面作为投影面，使圆柱面与地球相切或相割，将球面上的经纬线投影到圆柱面上，然后把圆柱面沿一条母线剪开展为平面而成。当圆柱面与地球相切时，称为切圆柱投影，当圆柱面与地球相割时，称为割圆柱投影。

图 2-27，假定圆柱与地球相切，视点位于地球中心，纬线投影在圆柱面上仍为圆，不同的纬线投影为不同的圆，这些圆都平行于赤道。经线投影为垂直于赤道的平行直线。各经线间的间隔与赤道上相应的弧长相等。如果将圆柱面沿一条母线剪开展成平面，则纬线为平行直线；经线为与纬线正交， 且间隔相等的平行直线。

按圆柱与地球相对位置的不同，圆柱投影有正轴、横轴和斜轴三种。正轴圆柱投影的纬线为平行直线，经线为与纬线垂直的平行直线，经线间的间隔与相应的经度差成正比。在一般情况下，横轴和斜轴中的经纬线投影为曲线，只有通过球面坐标极点的经线投影为直线。

下面讨论正轴圆柱投影。如图 2-28，设某一经线投影为 X 轴，赤道投影为 Y 轴，球面上的点 A（ϕ，λ）投影在平面上为 A’（x，y），由于纬线投影为平行于赤道的直线，故 x 坐标仅为纬度的函数，即 x=f（ϕ）；经线投影为垂直于赤道的直线，经线间的间隔与相应的经度差成正比，故 y 坐标与经差成正比，即 y=cλ（c 为常数）。因此，正轴圆柱投影的直角坐标公式为：

x = f (ϕ)

y = cλ 

(2 − 16)

由此看来，圆柱投影主要是决定 x 的函数形式问题。由于决定 x 函数形式的方法不同，圆柱投影亦有多种。

（二）圆柱投影的变形分布规律

在正轴圆柱投影中，经纬线是直交的，故经纬线方向的长度比就是最大、最小长度比，即 m、n 相当于 a、b。

由图 2-28 可以看出，地球面上经线微分弧长 AB=Rdϕ，纬线微分弧长AD=rdλ=Rcosϕdλ；在投影平面上相应的经线微分线段 A’B’=dx，纬线微分线段 A’D’=dy。根据长度比定义，则

A' B'

m = AB

A' D'

= dx Rdϕ

dy

cdλ c

（2 - 17）

n = AD

= R cosϕdλ = R cosϕdλ = R cosϕ

（2 - 18）

P = mn

ω

sin 2 =

（2 - 19）

（2 - 20）

在纬线长度比公式中的常数 c，可由切圆柱或割圆柱的条件来决定。如

果是切圆柱，则圆柱与地球切于赤道，赤道的长度比等于 1，以ϕ0 代表赤道

的纬度，n0

表示赤道长度比，则n0

c

= R cosϕ

= 1，所以c = Rcosϕ0

= R。如

果是割圆柱，圆柱必与地球相割于与赤道对称的两条纬线上，这两条相割

c

纬线长度比等于1，设割线的纬度为±ϕk ，则n k = Rcosϕ = 1，故c = Rcos

ϕ k 。

由公式（2-17）到（2-20）可以看出，各种变形均是纬度ϕ的函数，与经度λ无关。也就是说，圆柱投影的各种变形是随纬度的变化而变化，在同一条纬线上各种变形数值各自相等，因此等变形线与纬线平行，呈平行线状分布。在切圆柱投影上，赤道是一条没有变形的线（没有误差的线），称为标准纬线，从赤道向南、北方向变形逐渐增大（图 2-29）。在割圆柱投影上， 两条相割的纬线（±ϕk）是标准纬线，在两条割线之间的纬线长度比小于 1， 两条割线以外的纬线长度比大于 1，离开标准纬线愈远，变形愈大。图 2-29 中箭头表示变形增加的方向。圆柱投影变形的变化特征是以赤道为对称轴， 南北方向同名纬线上的变形数量相等。

根据圆柱投影变形分布规律，这种投影适宜于制作赤道附近和赤道两侧沿东西方向延伸地区的地图。

（三）圆柱投影的种类

圆柱投影按其变形性质可以分为等角圆柱投影、等积圆柱投影和任意圆柱投影（其中包括等距圆柱投影）。无论哪一种都有切圆柱和割圆柱之分。在圆柱投影中应用比较广泛的是等角圆柱投影。

二、等角正轴圆柱投影

等角圆柱投影是按等角条件决定 x=f（ϕ）函数形式的。等角正轴圆柱投影由荷兰制图学家墨卡托（MercatorGerardus，1512—1594）于 1569 年所创， 故又名墨卡托投影。

根据等角条件和公式（2-17）、（2-18），得

m = n = dx

Rdϕ

= c

Rcosϕ

当是切圆柱时，c = R，则

dx Rdϕ =

1

cosϕ

dx = R sec ϕdϕ

两边积分

x = R∫ sec ϕdϕ

x =  ϕ

R1ntg45° + 2  + k

当ϕ=0°时，x=0，故 k=0

(k为积分常数)

所以 x =

 ϕ



R1ntg45°

ϕ 

+ 2 

1ntg 45° + 2  是自然对数，即以2.71828为底的对数。若用以10为底

 ϕ 1

的常用对数，则须将1ntg 45° + 2  乘以常数 mod ，mod = 0.43429。即

x = R

 ϕ

0.43429 1gtg45° + 2 

等角正轴切圆柱投影的直角坐标公式为：

(2 − 21)

x = R  ϕ

 0.43429 1gtg45° + 2 

y = Rλ

等角正轴切圆柱投影的变形公式为：

m = n = secϕ

P = mn = sec²ϕ

ω

sin 2

= m − n m + n

ω = 0

根据各项变形公式计算出的各种数值列于表 2-5 中。

从表 2-5 可以看出，在等角正轴切圆柱投影中，赤道没有变形；随着纬度的增高，变形逐渐增大。

表 2-5 等角正轴切圆柱投影 x 坐标值和各种变形数值表

如果采用割圆柱，其变形性质与切圆柱相同，不过变形数值、变化规律不同。相割的两条纬线没有变形，是两条标准纬线。在两条标准纬线之间是负向变形，离开标准纬线愈远，变形愈大，赤道上负向变形最大。在两条标准纬线以外是正向变形，也是离开标准纬线愈远，变形愈大。表 2-6 为割于纬度±30°两条纬线的等角圆柱投影变形数值表。

表 2-6 等角割圆柱投影（割线纬度为± 30 °）变形数值表

根据上述变形分布情况，切圆柱等角投影适用于作赤道附近地区的地图，割圆柱投影适用于作和赤道对称的沿纬线方向延伸地区的地图。此外， 也可用这种投影制作时区图、卫星轨迹图等。

墨卡托投影没有角度变形，且经线为平行直线，所以等角航线（或称斜航线）表现为直线（图 2-30）。所谓等角航线，就是地球表面上与经线相交成相同角度的曲线。在地球表面上除经线和纬线以外的等角航线，都是以极点为渐近点的螺旋曲线（图 2-31）。

等角航线在图上表现为直线。这一特性对航海具有很重要的意义，因为根据这个特性，就可以在图上将航行的起点和终点连一直线，用量角器测其与经线的夹角，如果轮船从起点开始一直保持这个角度航行，便可以到达终点。但是，等角航线不是两点间的最短距离。地球面上两点间最短距离是通过两点间的大圆弧（又称大圆航线或正航线）。如图 2-30 所示，从非洲南端的好望角到澳大利亚南端的墨尔本，两点间的直线是等角航线，这个直线的航程是 6020 海里。两点间用粗虚线表示的曲线是大圆航线，沿大圆航线的航

程是 5450 海里，它比等角航线短 570 海里（约 1000 公里）。因而在进行远洋航行时，完全沿着等角航线航行是不经济的。通常是先在起点和终点之间绘出大圆航线，然后把大圆航线分成若干段，将每两个相邻的点连成直线， 这些直线就是等角航线。船只航行时，在每段航线上是沿着等角航线航行的， 但是就整个航程来说，是接近于大圆航线的，既经济又方便。

由于只有等角圆柱投影具有将等角航线表现为直线的特性，所以它在编制航海图中被广泛应用。例如我国的航海地图采用这种投影。苏联出版的大型海图集中绝大多数图幅都采用这种投影。此外，由于这种投影在低纬度地区变形小，而且经纬线网格形状简单，所以常用于编制赤道附近地区的地图。例如中国地图出版社出版的一套分国地图中沿赤道的分区地图采用了这种投影。世界交通图在纬度±60°以内也采用的是这种投影。

三、圆柱投影变形性质的分析及图形判别

凡是正轴圆柱投影，其经纬线形式具有共同的特征：经线为间隔相等的平行直线，纬线为与经线垂直的平行直线。按变形性质，圆柱投影可以有等角、等积、等距及其他任意投影。但不论其变形性质如何，只要是切圆柱， 其赤道就是标准纬线，即赤道的长度比等于 1，其他纬线长度比均大于 1，离开赤道愈远，纬线长度比愈大。只要是割圆柱，相割的两条纬线（±ϕk）为标准纬线，其长度比为 1；在两条割线之内，纬线长度比小于 1，离开标准纬

线愈远，其长度比愈小，赤道长度比最小；在两条割线以外，纬线长度比大于 1，离开标准纬线愈远，其长度比愈大。由于纬线长度比的变化是固定的， 因此为了使圆柱投影具有不同的变形性质，就只能改变经线长度比来满足所要求的条件。例如，等角圆柱投影，为了保持等角条件，必须使经线长度比等于纬线长度比，即 m=n。等积圆柱投影，为了保持等积条件，必须使经线

1

长度比与纬线长度比互为倒数，即 m= n 。等距圆柱投影，为了保持等距条件，

必须使经线长度比等于 1，即 m=1。其他的任意投影，也只能是经线长度比发生变化，例如透视圆柱投影，其经线长度比的变化系根据视点的位置决定。表 2-7 表示切圆柱与割圆柱投影中经纬线长度比随投影性质变化的情况，表中 n0、m0 表示赤道上纬线长度比和经线长度比。因为变形的变化对称于赤道， 故只列出北半球的变形变化情况。

标准纬线

表 2-7 圆柱投影经纬线长度比的变化情况

等角投影 等积投影 等距投影

由于圆柱投影经线为间隔相等的平行直线，所以用目视不易直接判断是切圆柱还是割圆柱，但是只要用直尺量测任一条纬线上两条经线间隔的长度，乘以地图比例尺分母，就可以确定哪一条纬线是标准纬线。例如在图上量得经差 30°的两条经线间隔为 33.4mm，地图比例尺为 1∶100000000，则经差 30°的纬线长为 33.4mm×100000000=3340km。此数值与赤道上经差 30

°的长度 3339.6km 极为接近，因此，可以确定此图的标准纬线是赤道，即为切圆柱投影。

从表 2-7 可以明显地看出，由于投影的变形性质不同，经线长度比的变化不同，经线长度比的变化反映在图形上就是纬线间隔的变化。等角投影， 经线长度比从赤道向两极逐渐增大，因此它的纬线间隔从赤道向两极是逐渐增大的（图 2-32）。等积投影，经线长度比从赤道向两极逐渐缩小，故它的纬线间隔从赤道向两极是逐渐缩小的。等距投影的经线长度比不变，所以纬线间隔是相等的。根据上述，可以从图形的纬线间隔变化来推断其投影变形性质：如果纬线间隔相等，则为等距投影；如果纬线间隔从赤道向两极不断扩大，则有可能是等角的，也可能是其他任意圆柱投影。一般来说，等角投影因其保持了经线长度比与纬线长度比相等，所以纬线间隔从赤道向两极扩大的比较显著，极地不能表示出来。若是切圆柱，则纬度 50°—60°两条纬线的间隔约等于纬度 0°—10°两条纬线间隔的 1.7 倍。此外，还可以结合地图内容进行判断，如果是航海图或是交通图，因为要求方向正确，一般多用等角投影；任意圆柱投影常用来编制世界时区图。等积圆柱投影，纬线间

隔从赤道向两极逐渐缩小，这种投影现在很少应用。

四、等角横切椭圆柱投影——高斯-克吕格投影

等角横切椭圆柱投影是以椭圆柱作为投影面，使地球椭球体的某一条经线与椭圆柱相切，然后按照等角条件，将中央经线东西两侧各一定范围内的地区投影到椭圆柱面上，再将其展成平面而得（图 2-33）。由于这个投影是由德国数学家、物理学家、天文学家高斯（Oarl Friedrich Gauss，1777— 1855）于 19 世纪 20 年代拟定，后经德国大地测量学家克吕格（Johannes

Krüger，1857—1923）于 1912 年对投影公式加以补充，故称为高斯-克吕格投影。

高斯-克吕格投影的中央经线和赤道为互相垂直的直线，其他经线均为凹向并对称于中央经线的曲线，其他纬线均为以赤道为对称轴的向两极弯曲的曲线，经纬线成直角相交。在这个投影上，角度没有变形。中央经线长度比等于 1，没有长度变形。其余经线长度比均大于 1，长度变形为正，距中央经线愈远变形愈大，最大变形在边缘经线与赤道的交点上；面积变形也是距中央经线愈远，变形愈大。为了保证地图的精度，采用分带投影方法，即将投影范围的东西界加以限制，使其变形不超过一定的限度，这样把许多带结合起来，可成为整个区域的投影。表 2-8 为高斯-克吕格投影 6°带内长度变形数值。

从表中可以看出：在同一条经线上，长度变形随纬度的降低而增大，在赤道处为最大；在同一条纬线上，长度变形随经差的增加而增大，且增长速度较快。在 6°带范围内，长度最大变形不超过 0.14％。

我国规定 1∶1 万、1∶2.5 万、1∶5 万、1∶10 万、1∶25 万、1∶50 万比例尺地形图，均采用高斯-克吕格投影。1∶2.5 万—1∶50 万比例尺地形图采用经差 6°分带，1∶1 万比例尺地形图采用经差 3°分带。

表 2-8 高斯-克吕格投影 6 °带内长度变形表

长 度 变 形

纬 度 经 差

6°分带是从 0°子午线起，自西向东每隔经差 6°为一投影带，全球分为 60 带，各带的带号用自然序数 1，2，3，⋯60 表示。即以东经 0°—6°

为第 1 带，其中央经线为 3°E，东经 6°—12°为第 2 带，其中央经线为 9

°E，其余类推。我国领土位于东经 72°—136°之间，共包括 11 个投影带， 即 13—23 带。

3°分带，是从东经 1°30’的经线开始。每隔 3°为一带，全球划分为

120 个投影带。图 2-34 表示出 6°带与 3°带的中央经线与带号的关系。图

2-346°带和 3°带中央经线与带号的关系。

在高斯-克吕格投影上，规定以中央经线为 X 轴，赤道为 Y 轴，两轴的交点为坐标原点。X 坐标值在赤道以北为正，以南为负；Y 坐标值在中央经线以东为正，以西为负。我国在北半球，X 坐标皆为正值。Y 坐标在中央经线以西为负值，运用起来很不方便。为了避免 Y 坐标出现负值，将各带的坐标纵轴西移 500 公里，即将所有 Y 值都加 500 公里，如图 2-35 所示。A、B 两点原来的横坐标分别为：

yA=245863.7m yB=-168474.8m

纵坐标轴西移 500 公里后，其横坐标分别为： y’A=745863.7m

y’B=331525.2m

由于采用了分带方法，各带的投影完全相同，某一坐标值（xi，yi）， 在每一投影带中均有一个，在全球则有 60 个同样的坐标值，不能确切表示该点的位置。因此，在 Y 值前，需冠以带号，这样的坐标称为通用坐标。如 A、B 两点位于第 20 带，其通用坐标为：

yA 通=20745863.7m

YB 通=20331525.2m

高斯-克吕格投影各带是按相同经差划分的，只要计算出一带各点的坐标，其余各带都是适用的。这个投影的坐标值由国家测绘部门根据地形图比例尺系列，事先计算制成坐标表，供作业单位使用。

应用本投影编制地形图时，每幅图所包括的范围大小是一定的。我国规定国家基本地形图图幅是按经纬线划分，以国际规定的 1∶100 万地形图为基础，其他各种比例尺地形图的分幅以及图幅之间的数量关系见表 2-9。

表 2-9 基本比例尺地形图分幅和图幅间的数量关系

比例尺

图幅大小

图幅间的数量关系

每幅图的内图廓为经纬线。1∶25 万、1∶50 万和 1∶100 万地形图上绘有经纬线网。在 1∶1 万、1∶2.5 万、1∶5 万和 1∶10 万地形图上，图内不加绘经纬线网，但绘有方里线网。方里线是由两组互相垂直且平行于坐标轴的直线组成，每一条直线至坐标轴的距离均为整公里数。但在不同比例尺地形图上，方里网的间距是不同的（表 2-10）。由于高斯-克吕格投影的经线是向两极收敛的曲线，方里网的纵线是平行于中央经线的直线，因而便形成了经线与方里纵线之间

表 2-10 地形图上方里网间距表

的 夹角，称为子午线收敛角。子午线收敛角在中央经线上为 0°，离中央经线愈远，收敛角愈大。在赤道上各点的收敛角也为 0°，在其他纬线上，纬度愈高，收敛角愈大，但最大也不超过 3°。子午线收敛角也称为坐标纵线偏角， 通常注于地形图的下方（四个图廓点子午线收敛角的平均值或该幅图中点的子午线收敛角）。

高斯-克吕格投影在英美国家称为横轴墨卡托投影。美国编制世界各地军用地图和地球资源卫星象片所采用的全球横轴墨卡托投影（UTM）是横轴墨卡托投影的一种变型。高斯-克吕格投影的中央经线长度比等于 1，UTM 投影规定中央经线长度比为 0.9996。在 6°带内最大长度变形不超过 0.04％

五、伪圆柱投影

伪圆柱投影是在圆柱投影的基础上，根据某些条件改变经线形状而成的。这类投影的纬线形状与圆柱投影类似，即纬线为平行直线，但经线则不同，除中央经线为直线外，其余的经线均为对称于中央经线的曲线。伪圆柱投影经线的形状可以为任意曲线，但通常选择为正弦曲线和椭圆曲线。

按变形性质，伪圆柱投影没有等角投影，因为投影后经纬线不正交。只

有等积投影和任意投影两种。

伪圆柱投影中的面积等变形线通常是平行于纬线的直线，而角度最大变形等值线通常是对称于赤道和中央经线的蚌形曲线，在个别伪圆柱投影中， 由于纬线上经线间隔不等，所以面积等变形线也是对称于赤道和中央经线的曲线。

伪圆柱投影主要应用于小比例尺地图，特别是世界地图中应用较多。由于纬线表现为平行直线，所以适用于表示沿纬线分布的某些自然现象。下面介绍几种等积伪圆柱投影。

（一）桑生投影

桑生（Sanson）投影是一种经线为正弦曲线的等积伪圆柱投影，由于 1650年法国人桑生（NikolasSanson）用它绘制各种地图而得名。这个投影的纬线为间隔相等的平行直线，经线为对称于中央经线的正弦曲线。在每一条纬线上经线间隔相等（图 2-36）。

这个投影的所有纬线长度比均等于 1，即 n=1，中央经线长度比等于 1， 即 n0=1，其他经线长度比均大于 1，而且离中央经线愈远，经线长度比愈大。面积比等于 1，即 P=1。赤道和中央经线是两条没有变形的线，离开这两条线愈远，变形愈大。这个投影适合于制作赤道附近南北延伸地区的地图，如非洲、南美洲地图。

（二）摩尔魏特投影

摩尔魏特（Mollweide）投影是一种经线为椭圆曲线的等积伪圆柱投影。这个投影是 1805 年由德国人摩尔魏特（Karl Brandan Mollweide）所创拟而得名。摩尔魏特投影的中央经线为直线，离中央经线经差为±90°的经线为一个圆，圆的面积等于地球面积的一半，即圆的半径 r= 2 R（R 为地球半径）， 其余的经线为椭圆；赤道长度是中央经线的一倍，即 4 2R 。纬线是间隔不等的平行直线，在中央经线上从赤道向南、北方向纬线间隔逐渐缩小。同一条纬线上经线间隔相等（图 2-37）。图 2-37 摩尔魏特投影及其最大角度变形

摩尔魏特投影没有面积变形。赤道长度比 n0=0.9。中央经线和纬度±40

°44’11″.8 的两交点是没有变形的点，从这两点向外变形逐渐增大，向高纬比向低纬增大得急剧。

摩尔魏特投影常用于编制世界地图。另外，由于在这个投影中，离中央经线经差±90°的经线是圆，该圆面积是 2πR2，恰好等于半球面积，所以常用它来编制东、西半球地图。

（三）古德投影

从伪圆柱投影的变形情况来看，往往离中央经线愈远变形愈大。为了减小远离中央经线部分的变形，美国地理学家古德（J.Paul Goode）于 1923 年提出一种分瓣方法，就是在整个制图区域的几个主要部分中央都设置一条中央经线，分别进行投影，则全图就分成几瓣，各瓣沿赤道连接在一起。这样每条中央经线两侧投影范围不宽，变形就小一些。这种分瓣方法可用于桑生投影、摩尔魏特投影以及其他伪圆柱投影。

用于绘制世界地图，古德的分瓣方法如下：为了完整地表示大陆，各大

陆采用不同的中央经线：北美洲，中央经线为－100°；南美洲，中央经线为

－60°；亚洲、欧洲，中央经线为＋60°；非洲，中央经线为＋20°；澳大利亚，中央经线为＋150°。断裂部分在大洋。如果为了完整地表示大洋，则中央经线可选下列几条：北大西洋，中央经线为-30°；南大西洋，中央经线为-20°；太平洋北部，中央经线为-170°；太平洋南部，中央经线为-140

°；印度洋北部，中央经线为+60°；印度洋南部，中央经线为+90°。断裂部分在大陆。图 2-38 是对摩尔魏特投影进行分瓣，称为摩尔魏特-古德投影。这个投影对大陆部分表示的较好。

除了单独将某一种伪圆柱投影进行分瓣外，古德还采用了将桑生投影和摩尔魏特投影结合在一起的分瓣方法，使投影变形有所改善。摩尔魏特投影在高纬度地区的变形比桑生投影小，而桑生投影在低纬度地区变形又比摩尔魏特投影要小。摩尔魏特投影在南、北纬 40°附近处沿纬线长度比等于 1， 与桑生投影的纬线长度比一致，所以把南、北 40°纬线作为两投影的结合处，在南、北纬 40°以内采用桑生投影，在南、北纬 40°以外采用摩尔魏特投影。在这个投影上，南、北纬 40°处经线出现折角，这个折角离中央经线愈远愈显著。

在国外（美、日）出版的世界地图集中的世界地图经常采用这种投影， 例如美国出版的古德世界地图集中的世界各种自然地图，大多采用古德投影。