五、机械能守恒定律的应用

解决某些力学问题，从能量的观点来分析，应用机械能守恒定律来求解，往往带来方便。应用机械能守恒定律来解决力学问题，也要先分析物体的受力情况。在动能和重力势能的相互转化中，如果只有重力做功，其他力不做功，就可以应用机械能守恒定律。

**【例题 1】**物体从 1 米高、2 米长的光滑斜面顶端开始无摩擦地滑下

（图 5－17），到达斜面底端时的速度是多大？（空气阻力不计）

**分析：**斜面是光滑的，没有摩擦，又不计空气阻力，斜面对物体的支持力与物体的运动方向垂直，不对物体做功，因而物体在下滑过程中只有重力做功，机械能是守恒的。题中没有给出物体的质量，但可以设物体的质量为 m.物体在开始下滑时，EP1＝mgh，EK1＝0，初状态的机械能 E1＝EP1

＋EK1＝mgh；到达斜面底端时物体的速度是 v，EP2＝0，EK2＝

1 mv2 ，末状态的机械能E ＝E ＋E

＝ 1 mv

。根据机械能守恒定律即

2

可求得 v。

2 P2 K2 2 2

**解：**根据机械能守恒定律

EP2＋EK2＝EP1＋EK1，

可得 1 mv2 ＝mgh。

2

所以 v＝

2gh ＝

2 × 9.8 × 1米／秒＝4.4 / 秒。

这个问题，应用牛顿运动定律和运动学公式求解，也可以得到同样的结果。但是应用机械能守恒定律，在解决问题的步骤上要简单得多。

机械能守恒定律，是应用牛顿运动定律推得的。然而在有些情况下， 运用牛顿运动定律讨论问题，要涉及变化相当复杂的合外力，这时机械能守恒定律的优点就显示出来了。在上述例子里，如果把斜面换成曲面（图5－18），我们同样可以运用机械能守恒定律简单地求出问题的结果，而直接应用牛顿运动定律，由于物体在曲面上受的合外力是时刻变化的，处理起来就困难得多，往往需要用高等数学来计算。我们来看下面一个例题。

【例题 2】 一个摆长是ι的单摆，最大偏角是θ求单摆在最低位置的速度（图 5－19）。

**分析：**这个问题直接用牛顿第二定律和运动学的知识来处理，就需要用高等数学。现在用机械能守恒定律来处理。

摆锤受到两个力：重力和悬线的拉力。悬线的拉力始终垂直于摆锤的运动方向，不做功，所以单摆的机械能守恒。

选择摆锤在最低点时所在的水平面作参考平面。摆锤在最高点时为初状态，这时摆锤的动能 EK1＝0，重力势能 EP1＝mg（ι—ιcosθ），机械能 EP1＝mg（ι—ιcosθ）。摆锤在最低点时为末状态，这时摆锤

的动能EK2

＝ 1 mv2 ，重力势能E

2

P2 ＝0，机械能E2

＝ 1 mv2 。根据机械能

2

守恒定律即可求得摆锤在最低位置时的速度。解：根据机械能守恒定律

EP1＋EK2＝EP1＋EK1

可得

1 mv2 ＝mg（ι－ιcosθ），

2

v =

由这两个例子可以看出，应用机械能守恒定律，允许我们只讨论运动的初状态和末状态，而不必考虑这两个状态之间过程的细节，可以避免直接应用牛顿定律遇到的困难，也简化了解决问题的步骤。在这一点上，机械能守恒定律跟我们学过的动量守恒定律是相同的。

守恒定律不仅给处理问题带来方便，而且有更深刻的意义。自然界千变万化，但是人们发现有些物理量在一定条件下是守恒的，可以用这些“守恒量”来表示物理世界变化的规律，这就是守恒定律。机械能守恒定律以及我们在上一章学习过的动量守恒定律就是其中的两个。正因为自然界存在着“守恒量”，而且某些守恒定律的适用范围很广泛，所以，在物理学中寻求“守恒量”已经成为物理学研究工作的一个重要方面。

练习四

  1. 在下面列举的各个实例中，除①外都不计空气阻力，哪些机械能是守恒的？说明理由。

①跳伞员带着张开的降落伞在空气中匀速下落。

②抛出的手榴弹或标枪做斜抛运动。

③用细绳拴着一个小球，绳的一端固定，使小球在竖直平面上做圆周运动。

④拉着一个物体沿着光滑的斜面匀速上升（图 5-20 甲）。

⑤在光滑水平面上运动的小球，碰到弹簧上，把弹簧压缩后又被弹簧弹回来（图 5—20 乙）。

  1. 有一种地下铁道，站台建得高些，电车进站时要上坡，出站时要下坡（图 5－21）。设站台高度 h＝2 米，进站的电车到达 A 点时的速度为

25.2 千米/时，此后随即切断电动机的电源，电车能不能冲到站台上？如果能冲上，在站台上的速度是多大？（不考虑摩擦阻力，g 取 10 米／秒 2）

  1. 一个物体从距地面 40 米的高处自由落下，经过几秒钟后，该物体的动能和重力势能相等？（g 取 10 米／秒 2）

  2. 把一块质量是 3.0 千克的石头，从 20 米高的山崖上，以 30°角、

    1. 米／秒的速度朝斜上方抛出（图 5－22）。求石头落地时速度的大小。

（空气阻力不计）

讨论一下：石头落地时速度的大小与下列哪些量有关系？与哪些量没有关系？为什么？

①石块的质量。

②石块抛出时的速度大小。

③石块抛出时的速度方向（抛射角）。

④石块抛出时的高度。