二、动能定理

一个运动物体，在有外力对它做功时，动能会发生变化。外力对物体做的功跟物体动能的变化之间有什么关系没有呢？

设一个质量为m的物体，原来的速度是v

，动能是1 mv² ，在与运动

1 2 1

方向相同的恒定外力 F 的作用下，发生一段位移 s，速度增加到 v2，动能

增加到1 mv² 。在这一过程中外力F对物体所做的功W＝Fs。根据牛顿第

2 2

v² − v²

二定律，F＝ma；根据运动学公式v² - v² ＝2as得到s＝ ^{2 1} 。所以

2 1 2a

v² − v ²

Fs＝ma× ^{2 1}

2q

＝ 1 mv² − 1 mv²

2 2 2 1

或 W＝EK2—EK1。

上面我们设外力方向与运动方向相同，导出了关系式 E＝EK2—EK1，这时外力做正功，动能增加。外力方向与运动方向相反时，上式同样适用， 这时外力所做的功是负值，动能的变化也是负值。我们知道，外力对物体做负功，往往说成物体克服这个力做了功。因此，对这种情形，也可以说物体克服阻力所做的功等于动能的减少。例如在水平粗糙平面上运动的小车，在摩擦力的作用下速度减小，这时动能的减少就等于它克服摩擦力所做的功。

上述结论是假定物体只受一个力而推导出来的；如果物体不只受到一个力，而是受到几个力，上述结论仍旧正确。只是外力所做的功是指各个力所做的功的代数和，即外力所做的总功。这样，我们得到结论：外力对物体所做的总功等于物体动能的变化。这个结论叫做动能定理。这里， 我们所说的外力，既可以是重力、弹力、摩擦力，也可以是电场力、磁场力或其他的力。

动能定理是力学中一条重要规律，经常用来解决有关的力学问题。下面举一个例题来说明。

【例题】 一架喷气式飞机的质量为 5.0×103 千克，起飞过程中受到的推力为 1.8×104 牛，受到的阻力是飞机重的 0.020 倍。起飞速度为 60 米／秒，求起飞过程中滑跑的距离。

分析我们从能量的角度分析这个问题。飞机原来是静止的，初动能 EK1

＝O。飞机在水平方向受到的外力是推力 F 和阻力 f，在外力作用下飞机在跑道上滑跑一段距离 s，外力对飞机做功，飞机的动能增加，速度最后

达到起飞速度v，飞机的末动能EK2

＝ 1 mv² 。外力所做的总功等于Fs - fs。2

已知 m、v、F、f，根据动能定理即可求出 s。

**解：**根据动能定理得到

Fs－fs＝ 1 mv² 。

2

已知 m＝5.0×103 千克，v＝60 米／秒，F＝1.8×104 牛，f＝0.02×5.0

×103×9.8 牛。由此可得

mv²

s＝ 2(F − f )

5.0 × 10³ × 60²

= 2(1.8 × 10⁴ − 9.8 × 10² ) 米

＝5.3×10² 米。

这个例题也可以用牛顿第二定律和运动学公式来解，请同学们自己做一下。

从例题可以看出，在利用动能定理来解力学问题的时候，要明确物体的初动能和末动能，要分析物体的受力情况，并据此列出各个力所做的功， 然后才可以利用动能定理来求解。

动能定理对于解决力学问题是很有用的。由于动能定理不涉及物体运动过程中的加速度和时间，因此应用它来解题往往比较方便。

练习二

1. 在 x 射线管中，电子受到 3.2×10-21 牛的力，前进的距离是 20 厘米，电子得到多大的动能？

2. 把一辆汽车的速度从 10 千米／小时加快到 20 千米／小时，跟把

汽车的速度从 50 千米／小时加快到 60 千米／小时所需的功相比，哪种情况下要做较多的功？想想看，这是为什么？

1. 在光滑水平面上的物体受到沿着平面的两个力 F1 和 F2 的作用（ 图 5－9）。在下列情况下，从静止开始移动 2 米时，物体获得的动能各是多大？①F1＝10 牛，F2＝0；②F1＝0，F2＝10 牛；③F1＝F2＝5 牛。

2. 质量是 2.0 克的子弹，以 300 米／秒的速度水平射入厚度是 5 厘米的木板（图 5－10），射穿后的速度是 100 米／秒。子弹受到的平均阻力是多大？

3. 电视机显像管的加速电压大约是 25 千伏。电子在电场力作用下， 经过这一加速电压到达荧光屏时动能是多少电子伏？是多少焦？电子的速度大小是多大？