三、关于向心力的几个实例

研究与圆周运动有关的问题时，需要分析运动物体的受力情况，弄清楚使物体做圆周运动的向心力，才能抓住解决问题的关键。必须注意的是： 在做这种分析时，有的同学往往认为，做匀速圆周运动的物体除了受到另外物体的作用外，还要受到一个向心力的作用。这是不对的。向心力是按效果命名的力，任何一个力或几个力的合力，只要它的作用效果是使物体产生向心加速度，它就是物体所受的向心力。下面我们来分析两个具体例子。

火车转弯 在平直轨道上匀速行驶的火车，所受的合外力等于零。在火车转弯时，又是什么力成为使火车产生向心加速度的向心力呢？原来， 火车的车轮上有凸出的轮缘（图 3－9），在转弯处，如果内外轨一样高， 外侧车轮的轮缘挤压外轨，使外轨发生弹性形变，产生弹性形变的外轨对轮缘的作用力，就是使火车转弯的向心力（图 3－10）。靠这种办法得到向心力，由于火车的质量很大，轮缘与外轨间的相互作用力很大，铁轨很容易受到损坏。

如果在转弯处使外轨略高于内轨，火车驶过转弯处时，铁轨对火车的支持力 N，方向不再是竖直的，而是斜向弯道的内侧，它与重力 G 的合力 F 指向圆心，成为使火车转弯的力，这就减轻了轮缘与外轨的挤压。在修筑铁路时，要根据转弯处轨道的半径和规定的行驶速度，适当选择内外轨的高度差，以便使转弯时所需的向心力完全由合力 F 来提供（图 3-11），这样，外轨就不受轮缘的挤压了。

杂技节目“水流星” 许多同学都看过杂技演员表演的“水流星”。一根细绳系着盛水的杯子，演员抡起绳子，杯子就做圆周运动。不管演员怎样抡，水都不从杯里洒出。甚至杯子在竖直面内运动到最高点时，已经杯口朝下，水也不会从杯里洒出来。演员的精采表演，每每博得观众的热烈掌声。其实，这个节目并不需要什么特别的诀窍，只要能使杯子以足够的速度做圆周运动，“水流星”表演就一定会成功。

盛水的杯子如果是静止的，把它倾倒过来，水就会在重力作用下洒落到地上。那么，为什么当杯子以足够大的速度运动到最高点时，水不会下流呢？现在，我们就来讨论这个问题。

做圆周运动的物体总需要有向心力。如图 3－12 所示，当杯子以速度 v 转过圆周的最高点时，杯中的水所受的向心力的方向是向下的；向心力

v2

的大小是F = m

，式中的m是水的质量，r是圆周运动的半径。这个向

r

心力的来源是什么呢？

当杯子在圆周最高点的速度v满足m v

r

= mg这个关系时，即 v =

时，有 F=G。这时，水做圆周运动的向心力完全是由它所受的重力 G 提供的。

但是，杯子在圆周最高点的速度 v，一般说来是相当大的。当

v2

m ＞mg，即 v＞ r

gr 时，有F＞G，重力G就不足以提供水做圆周运动

所需的向心力了。这时杯中的水有远离圆心的趋势，向上压紧杯底，对杯底施加一个向上的压力，根据牛顿第三定律，杯底对水施加一个向下的压力。向心力的不足部分，就由这个向下的压力 N 来补足，水做圆周运动所需的向心力 F 是重力 G 和向下压力 N 的合力，即

v2

F = G + N = m 。

r

由此可以求出杯底对水施加的向下的压力 N 的大小：

v2

N = m

r

= mg 。

由上式看出，v 越大，杯底对水施加的向下的压力 N 也越大。而水对杯底施加的向上的压力 N'，它的大小与 N 相等，所以 v 越大，水对杯底的压力 N'也越大。

从上述讨论中还可以知道，v =

值。设想杯子在圆周最高点的速度v＜

是杯子在圆周最高点速度的最小

mv2

gr ，则有 ＜mg，即 重力大于

r

水做圆周运动所需的向心力，杯里的水就洒下来了。因此，表演“水流星” 节目的演员，只要保持杯子在圆周最高点的线速度不小于v = gr ，他的表演总是会成功的。

练习三

  1. 图 3-3 中，在光滑水平桌面上做匀速圆周运动的小球受几个力的

作用？有人说它受 4 个力：重力、支持力、绳的拉力和向心力。这种分析对吗？为什么？

  1. 如果表演“水流星”节目时，杯子沿半径是 0.80 米的圆周运动，

    杯子运动到圆周最高点时所需的最小速度是多大？若以这样的速度做匀速圆周运动，你估算一下这个“水流星”的转数为多少。

  2. 飞机做俯冲运动时，在最低点附近做半径是 180 米的圆周运动（ 图

    3－13）。如果飞行员的体重（质量）是 7O 千克，飞机经过最低点 P 时的速度是 360 千米/小时，求这时飞行员对座位的压力。

提示：飞行员和飞机一起做圆周运动时受到两个力：重力和座位对他的支持力。

  1. 现在有一种叫做“魔盘”的娱乐设施（图

    3－14）。“魔盘”转动很慢时，盘上的人都可以随盘一起转动而不至于被甩开。当盘的转速逐渐增大时，盘上的人便逐渐向边缘滑去，离转轴中心越远的人这种滑动的趋势越厉害。设“魔盘”转数为 6.0 转/分，一个体重为 30 千克的小孩坐

在距轴心 1.0 米处（盘半径大于 1 米）随盘一起转动（没有滑动），求小孩受到的向心力，并回答这个向心力是由什么力提供的。