五、牛顿运动定律的应用（一）

关于力和运动的关系，有两类基本问题需要处理，一类是已知物体的受力情况，要求确定物体的运动情况；另一类是已知物体的运动情况，要求确定物体的受力情况。请同学们回忆一下必修课中对这两类问题的分析思路，这一节和下一节我们将按照这种基本思路分析一些问题。

**【例题 1】**一个滑雪的人以 1 米／秒的初速度沿山坡滑下，山坡的倾角是 30°，滑雪板和雪地的滑动摩擦系数是 0.04，求 5.0 秒内滑下的路程。

**分析：**这是一个已知受力情况求运动情况的问题。

研究对象显然是滑雪的人，我们把滑雪的人从周围物体中隔离出来， 分析他受到哪些力。滑雪的人受到三个力（图 1—12）：重力 G，山坡的支持力 N，滑动摩擦力 f。把重力 G＝mg 沿着平行于山坡方向和垂直于山坡方向分解成两个力 F1 和 F2。滑雪人在垂直于山坡方向没有加速度，力 N 和 F2 相互平衡。滑雪人受到的合外力就是平行于山坡方向的力 F1 和 f 的合力， 滑雪的人在这个合外力的作用下沿山坡向下做匀变速运动。

用公式F ＝ma 求出a，再用公式s＝v t＋ 1 at 2 即可求出位移s，即滑

合 0 2

下的路程。

解：滑雪人受力如图 1－12 所示。把重力分解： 在平行于山坡的方向：F1＝mgsinθ，

在垂直于山坡的方向：F2＝mgcosθ。

N 和 F2 相互平衡，所以滑动摩擦力的大小：

f＝μN＝μmgcosθ。

取与山坡平行而向下的方向作为正方向，根据牛顿第二定律 F 合＝F1

－f＝ma 得

a＝ F1 − f

m

= mgsinθ − μmg cosθ

＝g（ sinθ－μcosmθ）。

s = v0

t + 1 at 2

2

1

＝v0 t＋ 2 （

sinθ－μcosθ）

＝1.0×5.0

1 9.8×5.02 × 1

0.04 × 3  米

米＋ 2 ×

 − 

 2 2 

＝5米＋57米

＝62米。

**【例题 2】**在汽车中的悬线上挂一个小球。实验表明，当汽车做匀变速运动时，悬线将不在竖直方向，而与竖直方向成某一固定角度（图 1—

  1. 。已知小球的质量是 30 克，汽车的加速度为 5.0 米／秒 1，求悬线对

小球的拉力。

**分析：**这个问题要求我们以小球为研究对象。小球随着汽车一起做匀变速运动，小球与汽车有共同的加速度 a。这是一个已知运动情况求力的问题。

小球的受力情况是：受重力 G 和绳的拉力 T 的作用（图 1-14）。小球除了受到这两个力以外，周围再也没有别的物体对小球施加什么力了。小球的加速度 a 正是由于 G 和 T 这两个力的合力 F 引起的，根据牛顿第二律知道，这个合力的大小 F＝ma，合力的方向与小球加速度的方向相同。已知合力 F，又知道一个分力 G，利用平行四边形定则不难求出另一个分力 T。

**解：**小球受力情况如图 1－14 所示。

已知小球的质量 m 和加速度 a，根据牛顿第二定律，可知小球所受外力的合力 F＝ma，而重力 G＝mg。根据平行四边形定则即可求出 T：

T2 ＝F2 ＋G 2 ＝（ ma） 2 ＋（ mg）2

T＝ m

＝0．030× 牛

＝0.33牛。

拉力 T 的方向可以用悬线与竖直方向的角度表示出来，角θ可以用

tgθ＝ ma

mg

a

＝ 求出，请同学们自己算出这个角度。

g

根据牛顿定律从物体的受力情况确定运动情况，在实际中有重要作用。例如，指挥宇宙飞船飞行的科学工作者，他们知道飞船的受力情况， 也知道飞船的初速度和初位置，因而，他们能够确定飞船在任意时刻的位置和速度。他们解决问题的思路跟我们这里讲的是一样的，只是计算相当复杂，要用电子计算机进行。

在一些实际问题中，也常常需要根据牛顿运动定律从物体的运动情况来确定力。例如，知道了列车的运动情况，根据牛顿运动定律就可以确定机车对列车的牵引力。又如，根据天文观测知道了月球的运动情况。就可以知道地球对月球的引力的情况，牛顿当初就探讨过这个问题，并进而发现了万有引力定律。

在动力学问题中，如果知道物体的受力情况和加速度，也可以测出物体的质量。这就是说，质量可以用动力学的方法来测定，本章习题中的第10 题，就是用动力学的方法测定质量的一个有趣的题目，希望同学们好好研究一下那个题目。

练习三

  1. 一个质量是 10 克的物体沿着光滑的斜面从静止开始滑下（不计摩擦），开始滑下时的竖直高度是 10 厘米，斜面的倾角是 30°，这个物体滑到斜面末端时的速度是多大？

另一个质量是 20 克的物体也沿着光滑的斜面从静止开始滑下，开始滑下时的竖直高度相同，斜面的倾角是 45°，这个物体滑到斜面末端时的速度是多大？

写出速度 v 的表达式，并说明物体滑到斜面末端时的速度 v 只跟开始滑下时竖直高度 h、重力加速度 g 有关，跟物体的质量 m、斜面的倾角θ无关。

  1. 质量是 10 千克的物体沿着长 5 米、高 2.5 米的斜面由静止开始下滑，物体和斜面间的滑动摩擦系数为 0.3。这个物体下滑的加速度是多大？从斜面顶端滑到底端需要多长时间？

  2. 一个物体在两个彼此平衡的力作用下处于静止状态。现在把其中某一个力逐渐减小到零，而保持另一个力不变，这个物体的加速度和速度的绝对值怎样变化？如果再逐渐把这个力恢复，这个物体的加速度和速度的绝对值又将怎样变化？

  3. 质量是 2.75 吨的载重汽车，在 2900 牛的牵引力作用下开上一个

山坡，沿山坡每前进 1 米升高 0.05 米。卡车由静止开始前进 100 米时速度

达到 36 千米／小时。求卡车在前进中所受的摩擦阻力。