一、条件开放型试题

例 1 （1997 南京市中考试题）已知：a、b、c 分别是△ABC 中∠A、

∠B、∠C 的对边（a＞b）.二次函数 y＝（x-2a）x-2b（x-a）+c2 的图象的顶点在 x 轴上，且 sinA、sinB 是关于 x 的方程（m＋5）x2-（2m-5）x

＋m -8=0 的两个根.

1. 判断△ABC 的形状，并说明理由；

2. 求 m 的值；

3. 若这个三角形的外接圆面积为 25π，求△ABC

   的内接正方形（四个顶点都在三角形的边上）的边长.

所谓条件开放型试题是指在结论不变的前提下，条件不惟一的开放题.本例第（3）问中，由于正方形内接于三角形的方式不单一，因而如图 2 所示，将产生两个答案.由于课本上出现过类似乙图的图形，学生就可能受定势思维的影响只给出乙图时的解答，只有敢于突破，具有创新意识的同学才可能给出甲、乙两种情况下的解答.

例 2 （1997 年北京市中考试题）已知矩形的长大于宽的 2 倍，周长为 12，从它的一个顶点作一条射线，将矩形分成一个三角形和一个梯形，且这条射线与矩形一边所成的角的正切值为 1/2.设梯形面积为 S， 梯形中较短底的长为 x，试写出梯形面积 S 关于 x 的函数关系式，并指出自变量 x 的取值范围.

几何问题往往都对应于一定的图形，由于几何元素之间位置关系的可变性又决定了图形的多样性，而图形是问题条件的重要组成部分，图形的多样性就决定了问题条件的开放性.如本例中条件对应着图 3 的甲、乙两种情况，于是本例的解答亦有两个结论.由于题设条件中强调“长大于宽的 2 倍”，因此，部分学生会被导入乙图而忽视了甲图，只有思维发散性较强的同学才会画出两种图形分别求解.