=

4(−3)k − 4

4 × (−3)

= k + 1 ,

3

= (− 2) ² − 4(− k )

3 3

= 2 1 + 3k ,

3

所以k + 1 = 1 × 2

1 + 3k.

3 2 3

解得k1 = 0，k 2

= − 1 （舍去）.故k的值为0.

3

图象与函数对应的思想及其应用

江苏 陈梓人

数形结合的思想是学习《函数及其图象》最重要的思想方法，而数形结合最基本的思想之一是图象与函数对应的思想.这种对应思想包括如下两方面的内容：

（Ⅰ）某个函数图象上点的坐标（实数对），一定满足这个函数的解析式.

（Ⅱ）满足某个函数解析式的实数对所表示的点，一定在这个函数的图象上.

这种思想是形与数相互转化的基本依据，它在解决函数有关问题中有着广泛的应用.

首先，如果某个未知函数的图象经过某些已知点，那么由（Ⅰ）的思想，可把这些点的坐标表示的实数对代入解析式，得出关于该函数未知系数的方程组，从而可求得函数解析式.

其次，要求某已知函数图象上满足某个条件的点的坐标，一般先设出该点的坐标，由（Ⅰ）的思想，可把纵坐标用含横坐标的式子（即该函数解析式）表示出来，再把只含一个未知量的实数对代入所给的条件， 就能求得该点的坐标.

最后，要判定某点是否在某已知函数图象上，只要把该点坐标（实数对）代入函数解析式.根据（Ⅱ）的思想，如果满足解析式，那么该点就在函数图象上；如果不满足解析式，那么该点就不在函数图象上.

我们先举几个一次函数的例子.

例 1 一次函数的图象过点 M（3，2）、N（-1，-6）两点.

1. 求函数解析式；

2. 试通过计算判断点 P（2a，4a-4）是否在此函数的图象上.

（1998 年福州市中考试题）

解：（1）设一次函数为 y=kx＋b，则由（Ⅰ）的思想可得

3k + b = 2，

- k + b = -6.

k = 2， 解得 b = -4.

∴一次函数的解析式为 y＝2x-4.

（2）把实数对（2a，4a-4）代入解析式： 当 x＝2a 时，y=2·2a-4＝4a-4.

由（Ⅱ）的思想可知，点 P 在此函数的图象上.

例2 已知：如图1, 直线y = - 3 x + 1和x轴、y轴分别交于点A、B，

3

以线段 AB 为边在第一象限内作等边三角形 ABC，如果在第一象限内有一点 P（m，1/2），且ΔABP 的面积与ΔABC 的面积相等，求 m 的值.

**解：**易得A（

3，0），B（0，1）.

（1993 年北京市中考试题）

∴OA = 3，OB = 1，∠OAB＝30°，且AB = 2，

∴∠OAC=90°，且 AC=AB=2.

∴点C的坐标为（ 3，2）.

∵SΔABP=SΔABC，∴CP∥AB.

故可设直线CD的解析式为y = −

3

3 x = b.

由（Ⅰ）知，实数对（ 3，2）满足解析式.

3

于是得− 3 · 3，∴b = 3.

∴直线CP的解析式为y = −

1

3 x + 3.

3

又由（Ⅰ）知，（m， 2 ）也满足解析式，

3

∴ − 3

1

m + 3 = 2 .

解得 m = 5 3.

2

例 3 已知：平面直角坐标系内两点 A（-2，0）、B（4，0）.

点P在直线y = 1 x + 5 上，且ΔABP为直角三角形.求点P的坐标，并在

2 2

直角坐标系内标出点 P 的位置.（1997 年北京市崇文区中考试题）

**解：**本题分三种情形：

1. 当∠PAB=90°时，则点 P 坐标可表示为（-2，a），

1 5 3

由（Ⅰ）可得a = 2 × (-2) + 2 = 2 .

∴ P1 的坐标为（－2

3

， 2 ）

1. 当∠PBA=90°时，点 P 坐标可表示为（4，b）.

1 5 9

由（Ⅰ）可得b = 2 × 4 + 2 = 2 .

∴P 的坐标为（4 9 .

₂ ， 2 ）

1. 当∠APB=90°时，过 P 作 PM⊥AB，垂足为 M，则易得ΔAPM～ ΔPBM.

可得 PM2=AM·MB.

设点 P 的坐标为（m，n），则 n＞0.

由（Ⅰ）可知n = 1 5

2 m + 2 .

而 AM＝OA＋OM=2＋m， BM＝OB-OM＝4-m，

1 5

又PM = n = 2 m + 2 ，

∴ 1 5 2

( 2 m + 2 ) = (2 + m)(4 - m).

解得 m = − 7 ，m = 1.

1 5 2

1 7 5 9

故 n1 = 2 (− 5) + 2 = 5 ，

1 5

n2 = 2 × 1 + 2 = 3.

∴P （ − 7 , 9 ），P （1，3）.

3 5 5 4

P1、P2、P3、P4 的位置见图 2. 我们再举几个二次函数的例子.

例 4 已知抛物线 y＝（9-m2）x2-2（m-3）x+3m 的顶点 D 在双

曲线y = − 5 上，求m的值.

x

（1997 年四川省中考试题）

**解：**先求得抛物线顶点 D 的坐标为

(- 1 ,

m + 3

3m ² + 10m − 3

m + 3 ).

由（Ⅰ）可知，点 D 所表示的实数对一定满足

y = − 5 ，即xy = -5. x

1

故得− m + 3 ·

3m ² + 10m − 3

m + 3 = -5.

解得 m1=-4，m2=-6.

例 5 已知抛物线 y=x2＋（k-2）x+1 的顶点为 M，与轴交于 A（a，0）、 B（b，0）两点，且 k2-（a2+ka+1）（b2＋kb＋1）=0：

1. 求 k 的值；

2. 已知抛物线上是否存在点N，使ΔABN的面积为4 3？若存

在，求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由.

（1998 年南昌市中考试题） **解：**由（Ⅰ）可知（a，0）、（b，0）满足二次函数解析式，即a2＋（k-2）a＋1=0，

b2＋（k-2）b＋1=0.

∴a2＋ka＋1=2a， ①

b2＋kb＋1=2b. ② 又由根与系数关系可知 ab=1. 把①、②代入已知等式，得k2-2a·2b＝0，即 k2-4＝0.

解得 k=±2.但 k=2 不合题意，舍去.

∴k=-2.

（2）由（1）知，抛物线的解析式为 y=x2-4x＋1.

∴a＋b=4，ab＝1.

于是，AB =|a − b|=

= = 2 3.

如果满足条件的点 N 存在，可设 N（x0，y0），则由（Ⅰ）可知y0=x02-4x0+1.

由题意得S

∆ABN

= 1 × 2 3×| y

2 0

|= 4 3.

解得 y0=±4·

当 y0=4 时，x02-4x0＋1=4.

解得x0 = 2 ± 7.

当 y0＝-4 时，x02-4x0＋1=-4，此方程无实数根.

∴ 满足条件的点 N 存在，其坐标为

（2 +

7，4）或（2 −

7，4）.

例6 如图3，已知抛物线 1 2 + px + q（q≠0）与直线y = x交于

y = 2 x

两点 A、B，与 y 轴交于点 C，OA＝BO，BC∥x 轴.

1. 求 p 和 q 的值；

2. 设 D、E 是线段 AB 上异于 A、B 的两个动点（点 E 在点 D 的

   右上方），DE = 2，过D作y轴的平行线，交抛物线于F.（i）设点D的 横坐标为 t，ΔEDF 的面积为 S，把 S 表示为 t 的函数，并求自变量 t 的

取值范围及函数 S 的最大值；（ii）再过点 E 作 y 轴的的平行线，交抛物线于 G，试问能不能适当选择点 D 的位置，使四边形 DFGE 是平行四边形？如果能，求出此时点 D 的坐标；如果不能，请说明理由.

（1997 年扬州市中考试题）

解：（1）由题意得 C（0，q）

∵BC∥x 轴，且点 B 在直线 y=x 上，由（Ⅰ）可知，点 B 的坐标为（q， q）.

由 OA=BO 知，点 A、B 关于原点对称，

∴ 点 A 的坐标为（-q，-q）. 由（Ⅰ）可知

 1 q ² + pq = q = q,

 2

 1

 (−q) ² + p(−q) + q = −q.

 2

解得 p=1，q=-2.

∴抛物线的解析式为y = 1 x² + x - 2.

2

（2）（i）因为点 D 在直线 x=t 和 y＝x 上，由（Ⅰ）可知点 D

的坐标为（t，t）.而点F在直线x = t上，又在抛物线y = 1 x² + x − 2上.

2

由（Ⅰ）可知，点F的坐标为（t， 1 t ² + t − 2）.

2

过E作EH⊥DF交FD的延长线于H，由DE = 2可知，EH = 1.

1 2 1 2

DF = t - ( 2 t + t - 2) = - 2 t

+ 2.

∴S = 1 DF·EH = 1 (− 1 t ² + 2) × 1

2 2 2

= − 1 t ² + 1.

4



y =

解方程组

1 x2

2

+ x − 2

，可得

y = x

x1 = 2，x2 = -2，

y = 2；y = -2.

 1  2

∴ A（2，2），B（-2，-2）.

∴t 的取值范围为-2＜t＜1. 且当 t=0 时，S 有最大值 1.

（ii）易知 E（t＋1，t＋1），而点 G 在直线 x=t＋1 上，又

在y = 1 x² + x − 2上， 2

由（Ⅰ）可知点G的坐标为（t + 1， 1 (t + 1) ² + (t + 1) - 2）.

2

∴EG = (t + 1) −

1

[ 2 (t

+ 1) ² + (t + 1) - 2]

1 2

= - 2 t

− t + 3 .

2

若四边形DFGE是平行四边形，则EG = DF，即 − 1 t ² - t + 3

2 2

1 2

= - 2 t + 2.

解得t = − 1 .

2

∴满足条件的点D存在，其坐标为（ − 1 ,− 1 ）.

2 2

由以上各例可知，图象与函数对应的思想常常是解决某些函数问题的关键.我们在函数学习过程中要把这种思想贯彻始终，并不失时机地运用这种思想（特别是Ⅰ）去解决有关问题.