牛顿力学三大定律

牛顿对自然科学的贡献的确卓越非凡，前无古人。但是，这些贡献也不是牛顿一个人一下子带给人类的，他是站在许多巨人的肩上举起那只带给人类光明的火炬的。

牛顿生逢其时，当时力学知识的发展已达到了应该总结而且可以总结的阶段。例如，关于地球上物体的运动，他之前已经有人明确地反对了亚里士多德的错误观点。前面已提到过的布里丹的冲力理论中实际上已接触到了惯性、力、动量等概念，并且也已认识到力是改变物体运动的原因，因此有人把布里丹称为现代动力学奠基人之一。巨人伽利略更是如此，牛顿第一和第二定律实际上是伽利略动力学的大胆外推。第三定律是在研究物体碰撞时动量的变化而引出的。而碰撞现象在他之前有笛卡尔等，他的同代人如惠更斯等都曾研究过并且得出了一些近似正确的或正确的结论。关于天体的运动，在他之前，哥白尼、第谷·布拉赫和开普勒还有伽利略都已经逐步深入地从观测和计算两方面进行了研究。到牛顿那个时代，的确已达到了能够最终解决而且必须解决的门坎上。牛顿的同代人中就有胡克、雷恩等人几乎已经要得出和他相同的结论了。水到渠成、瓜熟蒂落，牛顿理论的出现有它的历史必然性。当然，这也和他的天才，他的实验和理论上的努力探索和刻苦研究分不开的。

下面我们将先介绍牛顿是怎样说明他的三个定律的。这些都完整地出现在他的《原理》一书开头的几页中。牛顿从几个定义开始写起。

定义Ⅰ物质的量是用它的密度和体积共同量度的。

用现代的语言和符号表示，就是：物体的质量（m）等于它的密度（D）和体积（V）的乘积，即

m＝DV

定义Ⅱ 运动的量是用它的速度和物质的量共同量度的。

用现代的语言和符号表示，就是：物体的动量（p）等于物体的速度（v）和质量（m）的乘积，即

p=mv

定义Ⅲ 物质的惰性力或固有力，是一种反抗的能力，由于这种力，任何物体，都要保持其静止的或匀速直线运动状态的现状。

对此定义，牛顿又作了如下的说明：“由于物质的惰性，物体要脱离其静止状态或运动状态是困难的。基于这种考虑，这种表示惰性的力可以用一个最确切的名称，叫做惯性或惰性力。”惯性作为一个物体在运动中表现出来的固有的或天然的属性的名称，一直沿用到今天。牛顿还指出：“这种力总是与具有该力的物体成正比。”这句话在现代的教科书上通常都写成：一个物体的质量是它的惯性大小的量度，质量大的惯性大。

定义Ⅳ 外力是加于物体上的、改变其静止或匀速直线运动的状态的一种作用。

力的概念，最初是与人的推拉动作中肌肉紧张的主观感觉相联系的，是牛顿首先给出了力的这个客观的、普遍的、确切的定义。他还指出：“外力只存在于作用的过程中，作用一旦过去，它就不复存在。一个物体能保持其新获得的运动状态，仅仅是由于它的惯性，但是外力的来源可以不同，例如由于碰撞、压挤或向心力等。”这些也是对于力的概念的很重要的说明。

在定义质量、动量、惯性和外力之后，牛顿又阐述了他的时间和空间的概念。接着他叙述了他总结的三条运动定律。

定律Ⅰ 每个物体都要继续保持它的静止状态和匀速直线运动状态，除非由于所加的外力迫使它改变这种状态。

这就是牛顿第一定律。由于像上面所说的，物体所以保持其运动状态不变是由于它的惯性所致，所以这条定律又叫做惯性定律。在第二章中我们曾说过，伽利略也曾得出：物体不受外力时将保持其匀速直线运动状态不变，或者说，匀速直线运动是物体的“天然运动”。但同时伽利略还认为匀速圆周运动也是物体的“天然运动”。在这一点上，牛顿比伽利略前进了一步，认识到只有匀速直线运动才是物体的天然运动。

静止和运动都是相对的。牛顿也曾指出：“像大家所知道的，运动和静止只有相对的区别；那些通常被看作静止的物体，并不总是真正静止的。” 这里牛顿实际上提出了运动的参照系的问题。同一物体对于这一参照系是静止的，对另一参照系可能是匀速运动的，对另外一些参照系又可能是做非匀速运动。因此，要说明一个物体是运动或静止，必须事先明确所用的参照系。牛顿第一定律实际上是对这样的参照系说的，相对于这种参照系，一个不受外力作用的物体将保持静止或匀速直线运动状态不变。这种参照系叫惯性参照系或惯性系。一个参照系是不是惯性系，要根据实验或观察来确定。天文观测证明，以太阳作参照物的参照系是惯性系。实验还证明，相对于地面来说明物体的运动时，这种地面参照系很近似于惯性系。

第一定律可视为牛顿的惯性和力的概念的直接引伸，指出了物体不受外力时的运动状态。从这里也就自然引出了问题：物体受到外力作用时的运动状态如何？这就是牛顿第二定律要解决的问题。

定律Ⅱ 运动的变化与外加的动力成正比，并且发生在该力的作用线方向上。

这就是牛顿第二定律。参照《原理》中其他的说明可知，此处“运动” 的意思应该就是指动量，而“运动的变化”实际上应该是“动量对时间的变化率”。用现代的语言，牛顿第二定律通常表述为：“物体的动量的变化率与它所受的外力成正比，方向与外力的方向相同。”

以 p 表示物体的动量，△ p 表示在△t 时间内动量的增量，则△p/△t 就表示在单位时间内动量的增量，即动量的变化率。再以 F 表示物体所受的外力，则上述定律Ⅱ可用下述公式表示，

F∞ = △p

△t

把它改成等式，有

F = k △p

△t

(1)

式中 k 是比例常数。当力和动量以及时间选用适当的单位时，可以使k=1。这样上式就可简写为

F = △p

△t

(2)

按前述定义Ⅱ，p=mv，在牛顿看来，一个物体的质量 m 是不会改变的（在牛顿时代以及其后的两个世纪中，实验证明也的确如此）。因此，（2）式又

可写成

F = △p = △(mv) = m △v

△t △t △t

再根据伽利略的加速概念，△ v/△t 就是物体的加速度 a。因而上式又可写成

F＝ma（3）

这就是现今一般教科书中常见的牛顿第二定律的数学表达式。用文字说明，就是：一个物体所受的外力等于它的质量和加速度的乘积。

由（3）式可得

= m

此式说明，对于质量不同的物体，在同样的外力作用下，所产生的加速度和质量成反比，质量大的加速度小。加速度小表示该物体比较难改变其速度，或者从反面说，表示该物体保持其原有运动状态的固有属性——惯性比较顽强。因此，可以说，质量大的物体的惯性就大。这就定量地说明了在前述定义Ⅲ中牛顿所阐述的质量和惯性的关系。

利用（3）式或（2）式进行数学运算时，必须对力、质量和加速度采用配套的单位，以使得（1）式中的 k=1。在现今通用的国际单位制中，质量是用“千克”做单位，加速度是用“米/秒 2”做单位，力的相应的单位是“千克·米/秒 2”，也叫“牛顿”。1 牛顿是这样大的一个力，在它的作用下，质量是 1 千克的物体产生 1 米/秒 2 的加速度。这样，要使 300 千克的车辆产生 0.5/秒 2 的加速度，根据（3）式，所需的外力就应该是

F=ma=300×0.5=150（牛顿）

关于力和加速度的关系，牛顿还以推论的形式作了补充说明。在运动定律之后有两个推论是这样写的：

推论Ⅰ 一个物体同时受两个力的作用时，将沿着一个平行四边形的对角线运动，所用的时间和两个力单独作用时物体分别沿着两边运动的时间相同。

推论Ⅱ 这就说明了任何一个直接的力 AD 可以由两个互成角度的力 AC 和 AB 合成，反过来，任何一个直接的力 AD 也可以分解成两个互成角度的力AC 和 AB。这种合成和分解在力学上已充分地肯定了。

这两个推论清楚地说明了力的独立作用原理（现代的说法是：几个力同时作用在一个物体上时，每个力都各自产生自己的加速度，好像其他力不存在时一样。这时物体运动的加速度是各个力所产生的加速度的合成）和力的合成和分解的平行四边形法则。在这个基础上，牛顿第二定律就可应用于一个物体同时受几个力作用的情况。这种情况下，（3）式的形式保持不变，其中 F 应理解为物体所受的几个力的合力，而 a 是物体运动的实际（合成）加速度。

牛顿第二定律使人们有可能区别重量和质量这两个不同的概念。我们知道，自由落体运动是一种匀加速运动，它的加速度是物体受到重力作用的结果。以 g 表示重力加速度，以 m 表示物体的质量，以 p 表示物体所受的重力，根据上面（3）式，就应该有

p＝mg（4）

重力又叫重量，上式就表明了一个物体的重量和它的质量的关系。

从伽利略开始，人们已经确认了轻重不同的物体是同时下落的，因而在地球上同一地点，所有物体的重力加速度都相同。上式中的 g 就是一个常数。因此，根据（4）式，就可知道，对不同的物体来说，它的重量和质量是成正比的。

（4）式中重量和质量是作为两个不同的物理量出现的。正是牛顿首先把重量和质量在概念上清晰严格地区分开的。在他以前人们实际上只有重量的概念。牛顿通过研究物体的运动而认识到，物体的质量是和重量不同的另一个概念。质量反应物体惯性的大小，没有什么方向；而重量是一种力，方向总是向下的。一个物体的质量和它在地球上的位置无关，而它的重量则随所处地点的不同而有明显的改变。停在地上的一辆车子，它受的重力已被地面对它的支持力平衡而对它自己的运动不起作用了。但要沿水平方向推动车子，还需要用力以克服其惯性，这就是物体的质量这个属性在起作用。

尽管质量和重量反映客观的不同属性，但二者还是有密切联系的。这就是（4）式所表明的正比关系。虽然如上所述，伽利略的自由落体实验肯定了各种物体下落的 g 相同因而重量和质量成正比，但他的实验太粗略了。为了精确地肯定这一点，牛顿还亲自作了实验，在《原理》一书中，描述了这个实验。他做了两个相同的圆的木头盒子，一个里面装木头，另一个的中心装上重量相同（尽可能精确）的金块。然后将两个盒子都用 11 英尺长的线吊起来成为两个单摆，并使它们一起摆动起来。他观察到两个摆在相当长的时间内以同一频率振动。他论证说，频率相同，说明它们的加速度相同。根据第二运动定律，它们的质量就应该和所受的动力成正比。在单摆的情况下，使之摆动的动力与它们的重量成正比，因此这实验就证明了两个摆锤的重量和它们的重量成正比。牛顿还在木盒子内改装其它的材料，如银、铅、玻璃、砂子、食盐、水和小麦等做实验，也得到相同的结果。他还特别申明他的实验的精确度：“对同样重量的不同物体，如果它们的质量相差到千分之一，我也能很肯定地测出来。”这就是说，他的实验精确度是千分之一。重量和质量成正比的结论，是自然界的一条很重要的规律。两百多年后的 1915 年，爱因斯坦在这一规律的基础上创立了广义相对论。为此，后人对这一规律还不断地用实验验证过。比较著名的实验有：匈牙利的厄缶

（B. R. VonE&o&pto&&s，1848—1919）在1909年用扭秤做的实验，他的精确度达到十亿分之一；1964 年美国的狄克等人改进厄缶的实验，他们的精确度达到一千亿分之一。

定律Ⅲ 对每一个作用力总存在一个相等的而且方向相反的反作用力；或

者说两个物体彼此施加的相互作用力总是相等的，并各指向对方。

这就是牛顿第三定律，也叫做反作用定律。牛顿用十分通俗的例子说明这条定律的意义：“拉引或推压另一个物体的物体，一定也要被另一个物体拉引或推压；你用手指推压一块石头时，手指也被石头所推压。如果一匹马拉一块拴在绳子上的石块，则它也会被相等的力拉向石块⋯⋯”。除了这种直观地解说以外，牛顿还特别指出了由于这条规律的作用，两个物体相碰时，它们的运动都将发生变化：“如果一个物体撞到另一个物体上，并且由于它的力的作用而改变了后者的运动，那么这物体的运动也将（由于相互的压力相等）发生一个相等而方向相反的变化。”他还着重指出，这里所谓的变化，并不是物体的速度的变化，而是物体的动量的变化。牛顿正是根据观察这种两个物体相碰时的动量变化来验证第三定律的。为此他做了两个单摆摆球相

撞的实验。他发现不论两球是硬还是软，即不管两球的弹性如何，它们直接相碰时，总是在相反的方向上产生相等的动量变化。根据这个事实，“所以，作用反作用总是相等的。”

初学物理的人，在知道了牛顿第三定律后，往往怀疑它的正确性，认为作用和反作用不可能相等。他们还举例证明，说：如果相等，那么马拉车、车拉马的力就会相互抵消，马就根本拉不动车了。其实这是一种误解，因为作用和反作用是分别作用在不同的物体上的，所以谈不上抵消。根据第二定律一个物体的运动只决定于这个物体受的力，而和它对其它物体的反作用力无关。在马拉车的例子中，车的运动就决定于马拉车的力 F，车拉马的力是 F’ 作用在马上，对马有作用，对车本身的运动并无影响。一辆停着的马车，所以开始运动（即有了加速度），是因为马拉它的力 F 比地面对车轮的摩擦力f（这两个力都作用在车上）大，因而车受到了向前的合力的缘故。

牛顿定律我们就介绍到这里。