机械能守恒定律

在动量和动量守恒概念发展的同时，能量和能量守恒也发展起来了。上面讲过，笛卡尔为了表述他的运动守恒概念，以质量和速度的乘积（mv）作为运动的量度。如果改正了笛卡尔不考虑速度方向的错误，我们可发现，在碰撞过程中，mv 这一乘积的总和的确是守恒的。笛卡尔的这种运动的量度的思想来自伽利略。伽利略曾把一个运动物体的“力”叫做“动量”（有的他也称为“冲量”和“能力”），并认为它和物体的质量（伽利略的质量概念实际上还是重量）和速度的乘积成正比。伽利略曾指出，物体自由下落，经过一段时间下落一定高度后，获得一定的速度。由于这一速度，物体仍可在相同时间内上升到原来的高度。由于自由下落的物体获得的速度和下落时间成正比，因此，当物体获得一定的竖直速度后，能持续上升的时间就和这速度成正比。这样，如果认为能上升的时间越长，物体最初的“运动量”越大， 则这一运动量就应该和速度成正比，这就是伽利略—笛卡尔“动量”概念的来源。

但是，也可以有另一种想法，即认为物体能上升的越高，它最初的“运动量”越大。由于物体自由下落的高度和它下落此高度后所获得的速度的平方成正比，因此物体获得一定的竖直速度后能上升的高度就和这速度的平方成正比。以上升的高度来区别运动量时，就应该用 mv2 作为运动的量度。惠更斯就这样想过，而他的同代人德国的莱布尼兹则更坚持只有 mv2 才是运动的“真正的量度”。他把它叫做“活力”（现代物理学中把它的一半，即 mv2 叫做动能），他坚持自然界的运动不灭应该用“活力”守恒来说明。他还指出，永动机的不可能造成，只有在接受“活力”是运动的量度时才能加以说明。

莱布尼兹的活力守恒概念在当时的力学现象中也得到了验证，那就是上面提到过的弹性碰撞。对非弹性碰撞，动量是守恒的（这对笛卡尔派有利）， 但是，活力总是减少的。莱布尼兹仍坚信活力是守恒的，为了说明在非弹性碰撞中活力并没有减少，他提出了一个巧妙的解释，即认为碰撞物体在整体上所减少的活力，并未消失，只不过是分散到组成它们的各个“小部分”中去了。莱布尼兹当时当然没有现代的分子原子概念，他的这种解释纯属设想， 但是却符合了近代分子运动论的观点——碰撞物体整体的动能变成了热能， 即内部分子运动的动能。

莱布尼兹还把他的活力守恒思想推广到碰撞以外的问题中。他看到当石头以一定初速竖直上抛时，它的速度随高度而减少，因而它的活力 mv2 也就随高度而减少，到达最高点时活力变为零；然后回落，活力又逐渐增大，最后又可恢复原来的活力数值。对上抛过程中活力的显然减少，莱布尼兹仍坚持并未消失而是以某种形式被储存起来了，当物体回落时，这储存的活力又被释放了出来。由此可以看出，莱布尼兹的运动守恒的信念何等牢固！他的这种活力被储存起来的想法是后来的势能概念的先声。

势能概念的萌芽还可以上溯到伽利略，如上一章所述，伽利略已指出， 一个单摆球，从某一高度下落到最低点时，获得一定的速度。由于这一速度， 摆球还可以回升到原来的高度。惠更斯发展了这一论断。并指出：对由一组质点作成的摆，不管各质点之间有什么相互作用，下落时各质点的速度只能

是这样，即当它们凭借这些速度而回升时（不管分开与否），它们的重心 S 刚好能回复到原来下落开始时的高度。他得出这一结论是根据下述假设，即重物不能自行升高，这一点当时人们都是承认的。利用惠更斯的概念把下落高度 h 和质点获得速度 v 联系起来，对一个质点组可以得出下面的结果。

各质点从不同高度下落，它们的重心下落的距离为

∑ph/∑p

式中 p 表示各个摆球的重量、各质点再以下落的最终速率 v 回升；当它们都达到最高点时，重心升高的距离为

v2

∑p 2g / ∑p

这两个距离相等就给出

v2

∑ph / ∑p 2g

由于 p=mg，上式又可写成

∑ph = ∑ 1 mv²

2

这就是最初的特殊形式的功能关系。后来约翰和丹尼尔·伯努利把这一关系推广了。如果质点初速不为零，而是 v0，则上式右侧应为活力的增量， 即

∑ph = ∑ 1 m(v² - v ² )

2 0

进一步，p 可以不是各质点的重量，而是作用在质点上的任意的力 f，h 也不是高度，而是沿力的方向质点移动的距离 s，这时上式仍成立，即

∑fs = ∑

1

( 2 mv

2 − 1 mv ²

2 0

此式左侧就是外力对各质点所做的功之和，右侧就是各质点的动能增量之和。这个式子就是现代形式下的动能定理。

上述动能定理，可以由牛顿第二定律推导出来，考虑一个质点在恒力 f 的作用下移动距离 s，力对质做的功为 fs，由牛顿第二定律 f=ma，又由于

恒力作用下的运动是匀加速运动，因而v - v = 2as，或s = 1

（v - v ） 。

这样

fs = mas = 1 m(v ² − v ²

2 0

2 o2

2a ² o2

这就是用于一个质点的动能定理，对许多质点的类似公式相加，我们就得到上面的动能定理表示式。

在应用动能定理时，要求出动能或速度的变化，必须知道各物体经过的全部路径以及在路径上各处力的作用情况，这样才能求出功来。但是在有些情况下，却无需知道质点所经过的实际路径，这一点甚至伽利略也有一些了解。他知道一个重物下落的速度只决定于下落的竖直高度，而与下落时实际经过的路径形状无关。惠更斯把这一点应用于质点组的下落，指出质点组下落时得到的动能只与它们下落的竖直高度有关。欧拉更进一步指出，一个质点在有心力（质点受的力的方向总指向某一点时，此力叫有心力，此点叫做

力心。两个物质质点之间万有引力，两个点电荷之间的电力都是有心力）的作用下移动时，质点 K 受到指向 C 点的有心力作用而由 A 运动到 B 时，它的动能增量只决定于开始和终了时质点离 C 点的距离 r0 和 r1，而与实际的路径形状（如 AB）无关。这是因为在路径 AB 上任一小段距离 ab 内它所受的有心力做的功，就等于该力乘以 ab 在半径方向的投影 ac。所以从 A 到 B，有心力做功的实际“有效”的距离就是 r0 和 r1 之差，因而做的功就决定于这两个半径 r1 和 r0，而和经过的曲线的形状无关。这也就是说，在上述有心力的情况下，只要知道了开始和终了的质点的位置，就可以算出功的大小，而无须考虑实际路径如何。在这种有心力作用下质点运动时，由动能定理可知，它的动能的增量也就只决定于开始和终了的位置，而与运动经过的路径无关了。丹尼尔·伯努利更进一步指出：一组质点在相互的引力作用下运动时， 它们的总的动能的增量只决定于这些质点在开始和终了时的相对位置，而与各质点实际运动的路径无关。当质点组的相对位置复原时，它们的动能也就恢复到原有数值了。在这种思想的基础上，联系莱布尼兹的“活力被储存起来”的思想，就逐渐形成了势能的概念。这种概念经过拉格朗日、拉普拉斯、高斯、哈密顿等人的发展，最后成了一整套严整的关于力函数或势的理论。

我们下面来简单介绍一下势能概念的引入和机械能守恒定律。

力做的功与路径的形状无关时，这种力就叫保守力，重力、弹力、万有引力、静电吸力和斥力都是保守力。对于保守力，可以用它做的功来定义势能。保守力做的功等于相互以此保守力作用的质点组的势能的减少。以重力为例，当物体由高为 hA 处，下落到高度为 hB 处的过程中，重力做的功和竖直地由 hA 高度下落到 hB 高度时做的功相等。由于重力的数值不变，等于 mg， 所以这功等于

WA→B=mg(hA-hB)=mghA-mghB

以 EpA 和 EpB 分别表示物体在 hA 高度和 hB 高度时的势能，则根据上面定义的势能和功的关系，则功 WA→B 应等于物体的势能的减少，即

WA→B=EPA-EpB

将上两式相比，可得EpA-EpB=mghA-mghB

因此，在高度 h 处的物体的重力势能就可以写成Ep=mgh

由于高度 h 值是相对的，决定于以哪一个高度为基准，因此，重力势能也是相对的，它的数值也决定于高度基准的选择。通常就以地面为基准高度， 而物体放在地面上时的重力势能就是零。要特别注意的是，只是因为重力是保守力，所以才能建立重力势能的概念，否则，说物体在某一高度具有确定的势能（相对于基准高度）是完全没有意义的。

如果物体只有重力作用下运动，根据动能定理，它由高度 hA 落到高度 hB 的过程中重力做的功 WA→B 和动能应有以下关系

WA→B

= 1 mv

2

2 − 1 mv ²

B 2 A

因为 WA→B=EpA-EpB

EpA − E pB

= 1 mv

2

2 − 1 mv ²

B 2 A

或者移项写成

1

mv

² + E

= 1 mv

² + E

2 A pA 2

B pB

或 1 mv

2

² + mgh

= 1 mv

2

² + mgh

此式两侧均为动能和势能之和，这个和叫做物体的机械能。此式说明， 物体只有重力作用下运动时，它在各个时刻的机构能都是相等的、不变的， 这就是机械能守恒定律。

可以证明，弹力也是保守力。当弹簧的伸长从 sA 变化到 sB 时，弹力做的功为

WA→B

= 1 ks

2 A

2 + 1 ks ²

2 B

式中 k 是弹簧的倔强系数，此式表明弹力的功与弹簧的长度变化的过程无关，只决定开始和终了弹簧的伸长 sA 和 sB，因而弹力是保守力。用保守力的功和势能变化的关系

WA→B=EpA-EpB

可知弹性势能可写作

E = 1 ks²

p 2

注意，式中 s 是弹簧相对于原长的伸长，并非弹簧的总长。把弹簧一端固定，另一端拴一小球，使之在水平上振动时，弹簧的弹性势能和小球的动能的总和也保持不变，这也是机械能守恒的一个例子。

由上面的两个例子可知，机械能守恒定律是动能定理在只有保守力作用下的一种特殊形式，因而也是牛顿定律的一个推论。这里，我们再一次看到了牛顿定律作为力学基本定律的概括性。