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移除书签动量守恒定律
动量守恒和动能守恒的规律是在牛顿时代发现的两条重要定律。它们和牛顿定律既有联系，又有区别。“守恒”概念的建立无疑是科学思想发展史上的一个非常重要的成就，对于人们认识自然来说，守恒定律实际上比牛顿定律有更为深远的意义。
明确的运动守恒的思想最早出现在 17 世纪哲学家法国笛卡尔所著的《哲学原理》一书中，该书中有下面一段话：
万物运动的普遍的原因很明显地只能是上帝。他在创世开始时创造了万物，并赋于它们以运动和静止，而且直到现在，由于他的简单而平凡的协助， 仍在整体上保持着他在开始时所创造的那么多运动和静止的量。尽管运动仅只是运动物质的一种状态，但是在物质中仍然存在一个确定的量，这个量就宇宙总体来说永不增加或减少，虽然对某一单独部分它可能变化。
尽管把原因归之于上帝，但这里笛卡尔是很明确地表达了“宇宙中运动量守恒”的思想。
表示运动多少的这一“确定的量”是什么呢？笛卡尔认为是“物质的量”
（笛卡尔对质量的意义并没有清楚的概念）和运动的“快慢”的乘积。用他的话说：“一块物质的运动比另一块的运动快两倍，但它的量只是另一个的一半，这两块物质具有同样的运动量。”
笛卡尔曾用几个命题来说明他的“运动守恒”的规律性。例如，他的一个命题是：“如果物 A 和物 B 相遇，并且吸引住物 B，则 A 失去多少运动， 物 B 在这次相遇时，从物 A 也得了多少运动。”这是一个完全非弹性碰撞。如果是 A 追赶 B 而发生碰撞，笛卡尔的命题是对的。另一个命题：“如果两物如 A 和 B 全等，并且以同样的快慢做面对面的运动，当其相遇时，两物都会向反向射回，而其快慢不变。”如果这是指的两个物体的完全弹性碰撞， 笛卡尔的命题也是对的。
但是，用现今科学的观点来审查哲学家笛卡尔的“运动守恒定律”时， 就会发现他有严重的错误。这就是他在考虑“运动量”时不考虑运动的方向。他说：“方向不属于运动的本质。”因此，他的“运动量”，用现代的语言说，是物体的质量和速率的乘积。这样，他举出的另一些命题，虽然按他的运动量概念，运动是守恒的，但实际上并不能发生。例如，他的另一个命题是：“如果两物体 A 和 B 的量相等，而 B 的运动稍快于 A，则二者做面对面的运动而相遇时，不仅 A 被射回相反的方向，并且 B 还把自己所多的速度的一半给予 A，两物皆以相等的速度朝一个方向运动。”在这个命题中，“笛卡尔运动量”在相遇前后是守恒的，都是 m（VA+VB）。但是实际上并不能发生，因为它至少违反了我们知道的正确的动量守恒定律。
笛卡尔所以发生这样的错误，从思想方法上讲，是因为他过于相信自己的观念或“理性”，而忽视感性知识和实际经验，其实，只要做些很简单的实验就可以发现他用质量和速度的乘积表示运动量来说明运动守恒是错误的。例如，两个相同的泥块以相同的速率相向运动而相遇时，最后都要停下来。这样经过碰撞，两个物体的“笛卡尔运动量”都消失了，显然是违背他自己的命题的。惠更斯首先注意到了这一点，而牛顿则更为明确地纠正了笛卡尔的错误。
最早用实验来系统地研究物体碰撞规律的是瓦里斯、雷恩和惠更斯。他
们分别于 1668 年和 1669 年受邀向伦敦皇家学会写过有关的报告，并且雷恩还在皇家学会当众演示过单摆球的相向碰撞实验以证实他的关于碰撞的理论，关且他们的结论是一致的。瓦里斯和雷恩只说明碰撞的某些特点，惠更斯则对问题进行了完整而详尽的分析。
瓦里斯只研究了完全非弹性碰撞，他指出碰撞中的决定因素是动量，即质量和速度的乘积。如果两个动量相同的非弹性物体相向碰撞，结果将是二者静止。如果它们的动量不同，碰撞后的动量将是二者原来的动量之差。用这个差除以二者的质量之和，就可以得到碰撞后的速度。用现在的通用符号表示，质量分别为 m1 和 m2 的两物体碰撞后的速度 V′就应该是
v' = m1 v1 + m2 v 2
m1 + m 2
其中 V1 和 V2 分别表示两物体碰撞前的速度。由于 V1 和 V2 方向相反，所以应取不同的正负号。因而上式中的 m1v1+m2v2 实际上是求二动量数值之差。计算两个物体的总动量时，已考虑到要根据它们的方向不同而取不同的符号，这表明瓦里斯已认识到动量应该是个有方向的量，即现今叫做矢量的一种物理量。
惠更斯是荷兰数学家、物理学家和天文学家。1629 年生于海牙，1655 年获法学博士学位，但以后转入科学研究，并取得多方面的成就。1663 年成为伦敦皇家学会第一个外国会员，以后又成为当时法国科学院唯一的外国院士。在物理学方面，他解决了求物理摆的摆动中心问题；测定了重力加速度值；改进了摆钟；得出了离心力公式；研究了光的波动理论等。
惠更斯对完全弹性碰撞作了全面、详尽的研究，但他的论文《论碰撞作用下物体的运动》当时没有公开发表，是在他死后于 1703 年作为遗作发表的。
惠更斯发现两个质量相同的弹性体（他的实验中用的硬质木球就很近似）以大小相等而方向相反的速度碰撞时，将以同样的速度分开。他还发现， 在
两个弹性体碰撞前后，以 1 mv2表示的“活力”（现在叫动能）的总量是不
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变的。他把这些做为基本假设，再利用速度的相对概念，推导出了许多有趣的正确的结果。下面举两个例子。
- 两个相同的弹性体碰撞时将交换速度
设想在一个小船上做实验，使两个相同的弹性球以大小相等、方向相反的速度 v 相碰，碰后二者以原速返回。今设船速度 v 均匀前进，当人站在岸上观察两小球的速度时，根据速度的合成，在碰前，二球的速度应分别为 2v 和 0；在碰后，二球的速度分别变成为 0 和 2v，即二球碰撞时交换了速度。如果船以速度 u 进行，则在岸上观察时，二球碰前的速度就分别为 u+v 和u-v，而碰后应为 u-v 和 u+v，还是交换了速度。在所有这些情况下，无论在船上和在岸上观察，经过碰撞两球的总动量（考虑到速度的方向）都是保持不变的。
- 两个弹性体在碰撞前后的相对速度是相等的
设想在一个小船上做实验，使一个质量为 m，速度为 v 的物体和一个质量为 M 而静止的物体发生碰撞。碰撞以后，M 的速度设为 w。今设船沿和 v
相反的方向以速度 w/2 均匀行进。则在岸上看来，m 和 M 碰前的速度分别为v-w/2 和- w/2；在碰撞后，M 的速度变为+w/2；m 的速度设为 x。这样，M 的速度就只是改变了符号而数值不变。根据“活力”的守恒关系，有
1 M(v − w / 2) 2 + 1 M(− w) 2 = 1 mx2
- 1 M(+ w) 2
2 2 2 2 2 2
或此式可知，经过碰撞，m 的速度也只能是改变符号而数值不变，即 x=-
（v-w/2），因而碰撞后两物体的速度分别为-（v-w/2）和+w/2。因此，碰撞前二者相互接近的速度为（v-w/2）-（-w/2）=v，就和碰撞后二者相互分离的速度-（v-w/2）-（+w/2）=-v 相等（除了符号的不同）。由于速度的相对性，这一结果应该不只是在岸上看，即使在船上看，也是正确的。它也是关于弹性碰撞的一个普遍的结论。
前面曾讲过，牛顿也曾用两个单摆仔细研究了物体碰撞的规律，得出的结论是两个物体经过碰撞在相反的方向上产生相等的动量变化。这实际上也就是说两个物体在碰撞过程中动量是守恒的。他把这个结果作为建立第三运动定律的一个根据。反过来，以第二、第三运动定律为基本定律也可以一般地解决碰撞问题，得出瓦里斯和惠更斯的所有结果。
首先，可以根据第二和第三两条运动定律导出动量守恒的结果。经 m1 和m2 分别表示两物体的质量，以 v1 和 v2 分别表示它们在碰撞的速度（设沿一条直线）。以 v1′v2′分别表示二者碰撞后的速度（沿碰撞前的同一条直线）， 以 F1 和 F2 分别表示碰撞过程中二者各自受对方的作用力，以△t 表示碰撞过程的时间，则在没有另外的物体对它们作用情况下，对二者分别应用牛顿第二定律，就有：对 m1，
F = m1 v1 '−m1v1 1 △t
对 m2，
F = m 2 v2 '−m2 v2 2 △t
根据牛顿第三定律，F1 和 F2 的大小相等，方向相反，即F1=-F2
将上两式代入此式，消去△t 可得
m1v1′-m1v1＝-（m2v2′-m2v2）或者写成 m1v1′-m2v2′=m1v1+m2v2
这就是说，在没有其他外力的作用下，这两个物体的总动量在碰撞过程中是守恒的。这就是动量守恒定律。
牛顿在《原理》中，曾作了上述的论证，并把其结论作为运动定律的第三个推论明确地写成：对于一组物体来说，用同方向的动量相加和反方向的动量相减的方法求得的总动量不会由于各物体之间的相互作用而发生变化。由于在上面的推导中，对 F1 和 F2 的性质未加任何限制，不管是弹性力或
非弹性力均可。因此动量守恒的结论对于任何两物体（即不管是否弹性球）的碰撞都是适用的。在完全非弹性的情况下，碰撞后两物体将以同一速度 v
′（=v1′=v2′）运动。根据上式就可得
v' = m1 vl + m2 v2
m1 + m2
这就是瓦里斯的公式。
对于弹性碰撞，两物体碰撞后的速度不同，但也可以用第二定律进一步求解。为此可以把碰撞过程分成两个阶段，前一阶段是两个物体从接触到由于相互挤压而形变达到最大的阶段。在这一阶段末尾二者的相对速度为 0， 即以同一速度 u 运动。根据动量守恒定律，有
m1u+m2u=m1v1+m2v2
或 u = m1 v1 + m 2 v2
m1 + m2
在这一阶段里，m1 的速度减小了 v1-u，而 m2 的速度增加了 u-v2。
碰撞的后一阶段是由于物体的弹性而产生相互排斥，使二者形状逐渐复原，最后相互分离，各自速度达成 v1′、v2′的阶段。物体具有弹性意味着这后一阶段里的相互作用力经过和前一阶段里的相同的演变，只是次序相反罢了。因而各自发生的速度改变也和前一阶段一样，即在后一阶段里，m1 的速度又减小了 v1-u，而 m2 的速度又增加了 u-v2。因而经过这两个阶段后，m1 和 m2 的速度就分别变成了
v1′=v1-2（v1-u）=2u-v1 v2′=v2+2（u-v2）=2u-v2
将上面求出的 u 值代入此二式，可得
v '= m1v1 + m2 (2v2 − v1 )
m1 + m 2
v ' = m2 v 2 + m1 (2v1 − v2 )
m1 + m2
在这两个结果中，如果 m1=m2，即两个相同的弹性体发生碰撞后，则 v1
′=v2，v2′=v1，即二者交换了速度。也很容易证明 v1′-v2′=v2-v1，即碰撞前后两物体的相对速度相同。利用上面两个结果还可以证明，不但有
m1v1′+m2v2′=m1v1+m2v2
即整个碰撞过程前后动量守恒，而且有
1 m v′ 2 + 1 m v′ 2 = 1 m v 2 + 1 m 2v 2
2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2
即弹性体碰撞前后，它们的“活力”是守恒的。这些都是惠更斯的基本假设或他推出的结论。
这样，我们根据牛顿定律导出了瓦里斯和惠更斯的全部结果，这就显示了牛顿定律作为力学的统一的基本定律的概括性。这也说明牛顿比他的同代人更深刻地掌握了力学现象的规律。
