弹性碰撞问题

17 世纪中叶，碰撞问题成了科学界共同关心的课题。当时刚建立起来的英国皇家学会决定要在实验上、理论上弄清碰撞的规律，便向几位科学家悬赏征文。有三位科学家应征提交论文，他们是瓦利斯、雷恩、惠更斯。

第一个把研究成果递交给皇家学会的是英国数学家瓦利斯。他主要考查非弹性体沿它们重心联线运动时的碰撞，但在论文中也讨论了斜碰撞的情形。在此之后，还发表了关于弹性碰撞的结果。

在最初推导公式时，瓦利斯就应用了在笛卡儿著作中已出现的“运动量” 的概念。他认为推动一个给定物体所需的作用力，与该物体的大小和速度成正比。

如果设两个碰撞物体为 m1 和 m2，它们碰撞前各自的速度变为 V1 和 V2， 碰撞后的公共速度为μ，则瓦利斯得到的结果为：

当这两个物体开始同向运动时

μ = m1v1 + m2 v2

m1 + m 2

当这两个物体开始相向运动时

μ = m1v1 − m2 v2

m1 + m 2

第二个递交研究结果的是英国建筑学家雷恩，他是英国皇家学会的创始会员之一，并以圣保罗大教堂和这一时期许多其它公共建筑的建筑师而著称。他主要通过和鲁克一起做的悬置物实验，发现了弹性碰撞的经验定律， 但是他没有能从理论上推导出它们。

第三个递交研究结果的是荷兰的惠更斯，他是英国皇家学会的第一个外国会员。虽然他的论文最迟递交，但内容最完整。可惜的是这篇应征论文当时没有公开刊登。惠更斯的碰撞理论是在他死后出版的《物体碰撞运动》一书中，才首次被人发现。

惠更斯主要研究和论述了弹性体的对心碰撞。所谓对心碰撞，就是两个物体在碰撞前，是沿着联结两物体中心的直线运动的。

作为论述碰撞运动的基础，他提出下述三条公理：

1. “运动起来的物体，在未受到阻碍作用时，将以不变的速度沿直线继续运动。”显然，这就是惯性原理。

2. “相等的两个物体以大小相等方向相反的速度碰撞时，它们以同样的速度弹回。”根据这个公理，惠更斯把研究范围局限在弹性碰撞问题上。

3. “物体的运动以及它们的速度，必须看作是相对于另一些我们认为是静止的物体而言的，而不必考虑这些物体是否还参与另外的共同运动。因此，当两个物体相碰撞时，即使它们同时参与另一匀速运动，在也具有这个共同运动的观察者看来，两个物体的相互作用就好像不存在这个共同运动一样。”这是运动相对性原理，惠更斯碰撞理论的特点是彻底地应用了运动相对性。

根据这三条公理，惠更斯作出断言，两个质量相同并以相同的速度相向运动的物体，在发生对心碰撞之后，都保留碰撞前的速度而相互弹开。这个结论为实验所证实。

接着，惠更斯研究了两个质量相同的物体以不同的速度发生对心碰撞的情形。这里，他独具匠心地运用了相对性原理：想象一个人站在以速度μ作匀速运动的船上，用吊起的两个相同的钢球作碰撞实验。

对船而言，两球以同样的速度μ相接近而碰撞。根据公理（3），船上的人所看到的就是平时所看到的那种最简单的碰撞，在碰撞后（对船而言）两球将保持碰撞前的速度而被弹开。

这个过程对于站在岸上的人来说，两球是以不同的速度（v+u）和（v-u） 相向碰撞的，碰撞后两球的速度则分别变为（v-u）和（v+u）于是可得出结论：两个相同的球以不同的速度发生对心碰撞后，将彼此交换速度。

当然，最一般的情形是两个质量不同、运动速度也不同的物体的对心碰撞。为了处理这类问题，惠更斯提出了两条假设：

1. “一个较大的物体如果碰撞另一个静止的较小的物体，较大的物体就会给较小的物体以某个速度，自己的速度减少。”

2. “两个碰撞物体，如果一方的速度绝对值不变的话，那么另一方也不会改变。”

从假设（1）中可以得出这样的推论：较小的物体在碰撞静止的较大物体时，前者也会给后者某些速度。为了说明这个问题，惠更斯认为，可以把运动的较小物体移到速度看作为零的船上，这样就可以证明：两个物体的相对速度在碰撞前后，只改变符号，而不改变其绝对值。

如以较大物体静止时的情况为例，即 m2＞m1，μ2=0，μ表示碰撞的速度， v 表示碰撞后的速度。由于碰撞，较大物体得到的速度 v2＞0。

假如把上述试验移到相对于河岸速度为 v2/2 的船上进行，则较小物体和较大物体相对于岸的速度为

碰撞前μ1

− v1 及 − v 2 (Θ μ

2 2 ²

= 0)

碰撞后，v1

• v1 及 − v2

2 2

即较大物体速度的绝对值不变，所以根据假设（2），较小物体速度的绝对值也不变，于是

μ − v1 = v2 − v

1 2 2 1

或 v2 - v1 = μ1

可是，因为假设较大物体在碰撞前是静止的（相对船来讲），所以μ1=（μ2-μ1）

则得

v2-v1=-（μ2-μ1）

从而，相对速度只改变符号而不改变绝对值。相对于河岸的速度也可以同样说明。只要选择适当的船的速度，就能很简单地把上述结果推广到最初不是处于静止状态的较大物体的情形。不妨请你自己试一试。

惠更斯以这些结果为基础，在碰撞问题的研究中进一步得出了许多重要的定理。他在应征论文中写道：“两个物体所具有的运动量在碰撞中都可以增多或减少，但是它们的量值在同一方向的总和却保持不变，如果减去反方向的运动量的话。”

他还指出，“两个、三个或任意多个物体的共同重心，在碰撞前后总是朝着同一方向作匀速直线运动”。这已是较完善的动量守恒定律的表述。惠更斯既看到了动量数量的变化，又强调了方向的问题，实际上是把矢量概念引进了力学，从而为牛顿三大运动定律的提出和矢量力学的建立作了概念的准备，这是力学思想的一个重大进步。

在另一个定律中，惠更斯写道：“在两个物体的碰撞中，它们的质量和速度平方乘积的总和，在碰撞前后保持不变。”这已是完全弹性碰撞中机械能守恒定律的最初表述，在相当一段时间内曾被称为“活力守恒”。

我们不免要为惠更斯如此全面、如此精湛的研究成果肃然起敬，因此他理所当然地成为这次悬赏征文的得奖者。

据说，惠更斯从 1652 年就开始研究弹性物体的碰撞，到 1668 年参加悬

赏征文，其间有长达 16 年之久的研究生涯，这为他全面、精湛地解决碰撞问题，无疑奠定了坚实的基础。

有了这个基础，再加上惠更斯既重实验，又重推理，还善于运用数学工具透彻地解决问题，更是如虎添翼。

1637 年，布拉格大学校长——物理学教授马尔西在他的著作《运动的比例》中，发表了他研究碰撞问题的一些成果。

当时这位马尔西教授在描述碰撞现象时，专门画了一尊大炮，使人感到十分奇特，也令人难以思议。

从马尔西大炮图中，可以观察到物体运动所发生变化的序列（已理想化）：一个大理石球对心撞击一排大小相等的大理石球，运动将传递给最后一个球，中间的球一点也不受影响，就像第一个球直接撞到最后一个球那样。

也就是说，第一个大理石球静止于桌面，另一个具有相等质量的大理石球水平的射向第一个球，两球相撞，当第一个球以第二个球射来的速度飞离桌面时，第二个球则停留在桌面上。

这表明马尔西教授已知道，一个物体与另一个大小相同的处于静止状态的物体作弹性碰撞，就会失去自己的运动，而把速度等量地交给另一物体。至于今天，我们可以直接根据牛顿第三定律或动量守恒定律来解释上述

的碰撞现象。

1. 根据牛顿第三定律，在两球接触这个短暂的时间间隔△t 内，相互作用力大小相等，方向相反。所以作用在球 A 上的减速力（制动力）等于作用在球 B 上的加速力，而且由于这两个球的质量相等，这样其中一个球的实际减速度等于另一个球的加速度。

假如球 A 失去它的全部速率且全为球 B 所得，则球 B 得到的速率等于球A 失去的速度，亦即

V′B=VA

1. 根据动量守恒定律，这两个球组成一个封闭系统，因为影响这一现象的仅仅是两球之间的相互作用力。于是

因所有矢量都位于同一直线且具有同一方向，则矢量加法在这里就变成代数加法。代入已知数据便得

mAVA+mB×0=mA×0+mBVB′

v ' = mA v

mB

mA=mB vB′=VA

两种方法，一个结果。这个结果和马尔西教授的实验研究相一致，并且是定量分析的结果，当然更加准确和深入。

无疑，马尔西教授用大炮的轰击来描述这现象，确实有点令人惊奇。因此，也许更可靠的是他画的第二张图，用棍子击弹子球。不过，他没有得出理论上的分析。