环面“七色定理”

传说古代有一位国王，他有五个儿子。老国王在临终前留下了一份遗嘱， 要求在他死后把国土分成五块，每个孩子各得一块。不过，这五块土地中的每一块，都必须与其余四块相连，使得居住在每块土地上的人，可以不经过第三块土地，而直接到达任何一块土地去！至于每块土地的大小，则由儿子

们自己协商解决。

老国王死后，五个儿子为此大伤脑筋。想必亲爱的读者已经想到：若用莫比乌斯带，问题很快就会得到解决。

不过，不用莫比乌斯带，而用其它更为常见的曲面，问题也不见得无法解决。事实上，在一个救生圈那样的环面上，老国王的遗嘱同样可以执行。例如右图那样，环面的下半部为一个区域，而上半部划为四个区域，上述五个区域是两两相邻接的。

有趣的是：在环面上不仅可以解决国王五个儿子遗嘱的执行问题，即使老国王的儿子再多两个，问题同样也能解决！这就是说，在环面上我们找得到七个两两相邻接的区域。为了让读者对此看得一清二楚，我们设法对环面作一些处理，让环面剪开并摊成一个平面图形。显然，这只需剪两次我们的目的便能达到。不过，需要记住的是：摊开后图形的上下边界与左右边界， 原先本是缝合在一起的！

下图是人们好不容易在环面摊开后的矩形图上找到的。图中的七个区域两两相邻接。如何把它设想成粘合后的环面图形，又如何说明上面的每个区域都与其它区域相邻接，这无疑对读者的思维是一次极好的锻炼！

下面画出的是相应于左图的环面区域划分示意，左边是正面，右边是反面，反面的区域界线已用虚线标在正面图里。读者只要细心对照一下便会发现，图中的七个区域确实两两相邻，这似乎比那矩形的地图更容易看些！以上事实表明：对于环面上的地图，至少要用七种颜色才能把不同的区域区分。实际上我们还可以证明：在环面上区分不同的区域，用七种颜色已经足够了！ 这就是著名的环面七色定理。

也许读者会这样想：四色问题已经弄得人们焦头烂额，如今“平面”换成“环面”，“四色”改为“七色”，岂不是更加高不可攀了吗？！

其实，七色定理的证明倒没那么难。这里我们先从环面上的“欧拉示性数”讲起。

大家已经知道，对于球面上的连通网络，其顶点数 V，区域数 F 和弧线数 E 之间，存在以下关系：

V+F-E＝2

这里的“2”，对于球面是个常量，称为“球面欧拉示性数”。

那么，在环面上情况又将如何呢？让我们看一看球面与环面之间到底有什么关系。

一个环面是可以用以下方法变为球面的：把环面纵向剪断，成为两端开口的筒形。现在用两个面（上图中阴影部分）把开口圆筒的两头封起来，变为闭口圆筒，然后对它充气，使它膨胀成球状形。只是球面的上头有两块像人脸上眼睛那样的区域，是原先环面所没有的。因此，一个环面上的连通网络，在变为充气球面上的连通网络时，网络的顶点数和弧线数没有改变，区域数则多了两个。从而，对于环面上连通网络而言，其顶点数 V、区域数 F 和弧线数 E 之间有：

V+F-E＝0

这就是说，环面上的欧拉示性数为 0。

下面我们再回到证明环面的“七色定理”。假定环面上的地图是已经标准化了的，即地图上的每个顶点都具有三个分支（否则可以如同下图，在各顶点周围画一个小区域，使新的地图的顶点，都变成三个分支的）。由于每

个顶点都有三条弧线发出，又每条弧线都具有两个端点。从而3V＝2E

代入环面上的欧拉公式V+F-E＝0

立得 E＝3F

上式表明，在环面上的标准化地图里，必有一个边数小于 7 的区域！因为如果所有区域的边数都不小于 7，便会有：

2E≥7F＞6F＝2E 从而引出矛盾！

由于环面上的地图必有一个小于七边的区域，因而，我们可以如同下图那样，把这一区域折掉一条边，得到一幅新的地图。如果新图能够用七种颜色染色，那么把拆去的边界添加进去后的原图，显然也能够用七种颜色染色！ 不过，新的地图已经比原来地图少了一个区域。对于这样的新地图来说，自然也存在一个小于七边的区域，因而同样可以拆掉一边得到一幅更新的地图。如果这更新的地图能用七色染色，那么新地图，从而原地图也一定能用七色染色。以上步骤可以一直进行下去，区域数不断减少，最后少到只有七个，当然能用七色染色，从而原地图能用七色染色也就勿庸置疑了。