巧用直尺作图

在上一个故事中，我们已经知道：对于可用尺规作图的问题来说，直尺本是多余的！反过来，对于同样的作图问题，圆规是否也是多余的呢？

回答是否定的！只要举一个反例就就足够了！

给出一个没有圆心的圆，你无论如何无法只用直尺找出它的圆心来。不信，读者可以试试！

不过，另一个结论更为引人注目。公元 1833 年，瑞士数学家施泰纳

（Steiner，1796～1863）证明了：任何一种能用圆规和直尺完成的几何作图， 都能单独用直尺完成，这只需给定一个有圆心的圆就够了！

要证明施泰纳的结论，也与证明上一节马施罗姆的结论类似，需要解决三个问题。当然，这时必须以给定一个有圆心的圆为前提。

（甲）求两直线交点；

（乙）求一已知圆与一直线的交点，这里的已知圆是指给出圆心及圆上的一点。

（丙）求两圆的交点，这里说的两圆，也是指给出了它们的圆心及各自圆上的一个点。

关键自然在于（乙）、（丙）的作图，能否在给定一个有圆心的圆的前提下，单独用直尺实现呢？如果能够的话，施泰纳定理也就证明了！

施泰纳所提供的证法是精妙无比的：

先研究几个在给定一个圆及其圆心前提下，单独使用直尺的基础作图：

【作图 1】已知直线 l 及线外一点 P，试单用直尺作过 P 点且平行于 l 的直线。

作法：令 A、B 为直线 l 上两点，又 AB 的中点 M 已知。那么，如下图左， 连 AP，在 AP 上取一点 S；又连 SM、SB、PB，令 PB 交 SM 于 T 点；再连 AT 并延长交 SB 于 Q 点；连 PQ，则 PQ∥l 上面结论的证明，由于不太难，而且是一道极好的几何练习，因此也就留给读者了。

现在假定在直线 l 上不存在已知中点 M 的线段。那么，我们可以如上图右那样，利用已知圆 O，作过 M 点的直径 LN；很明显，圆心 O 即为直径 LN 的中点；再作另一直径 RS，利用 LON 作 RX，SY∥LN 并交直线 l 于 M、Y 两点。易知 M 即为线段 XY 的中点。接下去作过 P 点而平行 l 的直线，读者已经是熟

门熟路的了！

【作图 2】给定已知圆 O，试单用直尺作过 P 点而垂直于已知直线 AB 的直线。

作法：如图，取给定圆的直径 QQ＇；过 Q＇作直线 Q＇R∥AB，并交圆 O 于 R 点；连 QR，显然有 QR⊥Q＇R。

现在过 P 作 PC∥QR，则 PC⊥AB 即为所求的垂线。下面我们回到关键作图（乙）

和（丙）上来，为了节省篇幅，我们只证明作图（乙）是可以实现的， 而把作图（丙）的证明省略了。

事实上，设已知直线为 g，已知圆给出了圆心 I 和圆上的一点 A。显然， 我们可以通过基础作图 1 找到圆 I 上 A 的径对点 B；然后再通过基础作图 2 找出圆 I 上的其它三个点 C、D、E。这样，我们已经有了圆 I 上的五个点 A、B、C、D、E，根据前面的知识，我们知道：单用直尺是完全可以求出直线 g 与圆 I 的交点 P、Q 的！

前面我们说过：对于施泰纳圆来说，给定圆心是至关重要的。可能有的读者依然对此抱有怀疑，甚至认为：多试试说不定就能找到巧妙的方法。其实，这样的方法是根本不存在的！这不是猜测，而是科学！

事实上，如果的确存在用直尺求圆心的方法，而且平面 P 上一系列的线条，给出了由圆 K 求圆心 I 的步骤。那么此时我们可以在空间任取一点 O， 以O 为中心把平面P 上的所有线条，投影到另一个平面 Q 上来（Q 不平行于P）。使得圆 K 在平面 Q 上的投影依然是一个圆 K1（我们有切切实实的办法，选取平面 Q 以保证做到这一点），而其他直线图形则逐个投射为平面 Q 上的直线图形。然而，从下图明显看出，圆 K 的中心 I 的投影点 M，绝不可能再成为圆 K＇的中心，否则便有 OM∥OA 或 OB，这显然是荒谬的！

以上结论表明：如果在平面 P 上，单用直尺通过某种画法步骤得到了某圆的圆心，那么，用同样的画法步骤在另一个平面 Q 上得到的，却不是相应圆的圆心。因而，这样的作图方法，其本身是毫无意义的！

现在读者大概已经相信：在尺规作图中，虽然直尺是多余的，但圆规却不能随意去掉。因此单用直尺作图，有时需要很高的智慧，采用“巧”的办法。