彭色列与射影几何理论的创立

在射影几何的故乡法国，两位奠基者的相继去世使这门学科的研究沉寂了一个半世纪，直至后来出现了另一位数学家彭色列。

彭色列（Poncelet，1788～1862）1788 年 7 月出生于法国的梅斯城。22 岁毕业于巴黎的一所军事工程学院。曾受业于著名的数学家，画法几何的奠基人蒙日（Mongr，1746～1818）和卡诺（Carnot，1753～1823）。彭色列大学毕业后即投入了拿破仑的军队，担任一名工兵中尉。

公元 1812 年，叱咤风云纵横一世的拿破仑，被一系列胜利冲昏了头脑。

为了实现他称霸欧洲的宿愿，终于走出了一步冒险的“棋”：决计亲率 60 万大军，远征莫斯科！不料沙皇亚历山大一世，起用了老谋深算的将军库图佐夫为总司令，毅然避开了法军的锋芒，把拿破仑的军队引进了坚壁清野了的莫斯科。此后法军，困守空城，饥寒交迫，又被库图佐夫拦断西退的去路， 终于面临绝境！

此时的彭色列，服役于远征军的纳伊军团。当拿破仑为摆脱困境而决计西撒时，俄军大举反攻，致使法军近乎全军覆没。公元 1812 年 11 月 18 日， 纳伊军团被歼。顿时，血溅沙场，尸横遍野。彭色列也受了重伤，混迹于尸首群中。

当俄国军队清扫战场的时候，发现这个受了伤的法国军官一息尚存，于是被抓了起来，作为一名俘虏，送回到俄国的后方。彭色列因此侥幸拣得了一条性命。

翌年 3 月，彭色列被关进了伏尔加河岸边的沙拉托夫监狱。开始的一个月，他面对铁窗，万念俱灭！随着春天的到来，明媚的阳光透过铁窗的栏栅， 投进了监狱的地面，留下了一条条清晰的影子。这一切突然引发了彭色列的联想，往日蒙日老师的“画法几何”和卡诺老师的“位置几何”，历历在目。彭色列觉得：回味和研究往日学过的知识，是百无聊赖中最好的精神寄托！

此后的彭色列利用一切可能利用的时间，或重温过去学过的数学知识， 或潜心思考萦回于脑际的问题；在射影变换下图形有哪些性质不变？当时监狱的条件极差，没有笔也没有纸，书就更不用说了。然而这一切并没有使彭色列气馁！他用木炭条当笔，把监狱的墙壁当成演算和作图的特殊黑板，还四方搜罗废书页当稿子，就这样经过了 400 个日日夜夜，终于写下了七大本研究笔记，记述了一门新数学分支——射影几何的光辉成果！

公元 1814 年 6 月，彭色列终于获释。同年 9 月，他回到了法国。回国后虽然他升任工兵上尉，但仍孜孜不倦地追求新几何学的理论。在七本笔记的基础上，又经过 8 年的努力，终于在公元 1822 年，完成了一部理论严谨、构思新颖的巨著——《论图形的射影性质》。这部书的问世，标志着射影几何作为一门学科的正式诞生！

彭色列的研究是从“交比”的概念开始的：S 为中心，从 S 发出的四条射线 a，b，c，d 组成了一个固定的线束 S（abcd）。一直线ι分别交线束于A，B，C，D 四点。彭色列证明了交比γ：

对于线束 S（abcd）来说，是一个不变量。这就是说，如果另一条直线ι＇，依次交线束于 A＇、B＇、C＇、D＇，则有：

（A＇B＇C＇D＇）=（ABCD）

这是一个与截线 l 的取法无关的量。也就是说，对固定的线束 S（abcd）， 交比γ是射影变换下的一种不变量！

下面我们看看线束的一些有趣特性。

今有线束 S 和它在直线ι上的透视点列（σ）。从中心 S＇向点列（σ） 投射，得到线束 S＇，用直线ι＇把线束 S＇截断，得出透视点列（σ＇）。

再从中心 S＂向点列（σ＇）投射，得到线束 S＂，用直线ι＂把线束 S＂ 截断，得出透视点列（σ＂）⋯⋯。很明显，以上所有的线束和点列，其任意四个相应的元素组，总有相同的交比。

射影变换下交比的不变性，及以上介绍的投射法和截断法，正是彭色列用以研究射影几何独特理论系统的基础。

下面让我们看一个用射影几何的方法才能解决的具有典型意义的问题： 已知圆锥曲线的五个点 A，B，C，D，E，试求该曲线与已知直线 g 的交

点。

为方便读者对照掌握，今将求法分述如下：

在圆锥曲线已知的五点中，取 A，B 两点作为线束的中心，如图作关于点C、D、E 的三对对应直线。

线束 A 和线束 B 为已知直线 g 所截断，得到了两个射影点列：

（C1，D1，E1，⋯）和（C2，D2，E2，⋯）

很明显，直线 g 与圆锥曲线的交点 P、Q，即为以上两个点列的相重点。为了求出这两个相重点，我们可以利用一个圆，在圆上取一点 S 为中心，把直线 g 投射到圆上。这样，我们将在圆上得到相应的两个射影点列：

（C＇1，D＇1，E＇1，⋯⋯）和（C＇2，D＇2，E＇3，⋯）

如果我们求得了这两个点列在圆上的相重点 P＇，Q＇，我们实际上也就求得了直线 g 与圆锥曲线的交点 P、Q。

今取 C＇1、C＇2 作为圆上射影对应的线束中心，并作透视轴 x。显然， 透视轴 x 可由以下两对直线的交点决定：

C＇1D＇2 和 C＇2D＇1；

C＇1E＇2 和 C＇2E＇1。

透视轴 x 与圆的交点 P＇，Q＇，无疑就是圆上相应二次射影点列的相重点。从而，由中心 S 把 P＇，Q＇投射到直线 g 上，所得到的点 P、Q，必然也是圆锥曲线上相应二次射影点列的相重点。这就是所求的直线 g 与圆锥曲线的交点。