巧捏橡皮泥

拓扑学是一门研究一对一连续变换的几何学。公元 1902 年，德国数学家豪斯道夫用邻域的概念代替了距离，得出了一套完整的理论系统。在这一理论中，拓扑变换是一种不改变点的邻近关系的，一对一的连续变换。

橡皮膜上的图形，通过拉扯，弯曲和压缩，只要不扯断或把分开的部分捏合，就能保持一对一和点的邻近关系，所得到的前后图形是拓扑等价的。同理，一块橡皮泥只要不撕裂、切割、叠合或穿孔，便能捏成一个立方体、苹果、泥人、大象或其它更复杂的物体，但却无法捏出一个普通的炸面圈或纽扣，因为后者中间的空洞，是无论如何也拉不出来的！

显然，上面讲的捏橡皮泥，是一种保持点与点邻近关系的拓扑变换。但拓扑变换并非都能通过捏橡皮泥的办法得到。

读者可能还记得那个由数学家创造出来的怪瓶子——“克莱茵瓶”吧！ 它可以想象成是把一个车辆的内胎，先是切断并拉直成圆柱；然后再把其中的一头撑大，做成一个底，另一头则拧细像一个瓶子的颈部；接着，如图把细的一头弯过来，并从气门嘴插进去；最后，把细的这一头也撑大，并与原先已撑大的那一头连结起来！不过这种连接要求做得“天衣无缝”，使所有切断前相同的点，连结后仍是同一个点。这样做尽管在客观上未必可能，但在拓扑学上却是允许的。

捏橡皮泥的科学是奇特而有趣的，有些问题即使想象力很丰富的人，也难免要费一番功夫！

下面是一道奇妙而古怪的问题：有三个橡皮泥做成的环，如同右图套在一起，一个大环穿过两个连在一起的小环。

请你用捏橡皮泥的办法（注意！既不能拉断，也不允许把分开的部分捏合）把其中的一个小环从大环中脱出来，变成右图那样。

下图将使你看到一种精妙绝伦的捏法。

下面是又一道妙题，对读者来说无疑是一道绝好的练习。

图 1 是由橡皮泥做成的三个环。第三个环与头两个环相连，而头两个环则相互套着。请问，你能否用捏橡皮泥的办法，把它捏成箭头方向所示的， 两个连结着的环？

为了让读者想象力有一个尽情发挥的机会，我们特意把解答留在本节的末尾。

可能有的读者会问：既然拓扑学中允许一个空间形体，像橡皮泥那样捏来捏去，那么在我们生活着的空间里，什么样的形体才称得上本质不一样的呢？也就是说，应该怎样对空间图形进行拓扑分类呢？这的确是一个新鲜而有趣的问题。

空间的情形虽然很复杂，不过，有一点是肯定的：凡是能通过捏橡皮泥的办法变换得到的图形，一定属于拓扑同类。一般地，在拓扑学中数学家们提出的分类依据是：看一个图形需要切几刀才能变为像球那样的简单闭曲面。例如，一个环面需要切一刀才能变换为球面（环面上的洞对于拓扑学分类的定义来说，只占很次要的地位），而以下的图形则需切两刀才能变换为球面。数学家们正是根据这种需要切的刀数，以及曲面的单侧性和双侧性对图形进行分类的。图 2 中的两个迥然相异的图形，在拓扑学中竟然能够属于同一类，这大约是许多读者所万万没有料到的！

最后，读者一定很想知道，自己对那道“三环变两环”的巧捏橡皮泥的问题，是否想象得对头，以下解答可供参照，但愿你能成功！