射影几何的起源

在欧洲文艺复兴时期，许多著名的画家，包括多才多艺的达·芬奇，以他们非凡的技巧和才能，为透视学的研究，作出了卓越的贡献。他们的成果， 很快地影响到几何学，并孕育出一门新的几何学分支——射影几何。

所谓射影是指：从中心 O 发出的光线投射锥，使平面 Q 上的图形Ω，在

平面 P 上获得截景Ω1。则Ω1 称为Ω关于中心 O 在平面 P 上的射影。射影几何就是研究在上述射影变换下不变性质的几何学。

为射影几何的诞生奠基的，是两位法国数学家：笛沙格（Desargues， 1591～1661）和帕斯卡（Pascal，1623～1662）。

公元 1636 年，笛沙格发表了题为《用透视表示对象的一般方法》一书。在这本书里，笛沙格首次给出了高度、宽度和深度“测尺”的概念，从

而把绘画理论与严格的科学联系起来。

公元 1639 年，笛沙格在平面与圆锥相截的研究中，取得了新的突破。他论述了三种二次曲线都能由平截面圆锥而得，从而可以把这三种曲线

都看盾成是圆的透视图形。这使有关圆锥曲线的研究，有了一种特别简捷的形式。

不过，笛沙格的上述著作后来竟不幸失传，直到 200 年后，公元 1845 年的一天，法国数学家查理斯，由于一个偶然的机会，在巴黎的一个旧书摊上，惊异地发现了笛沙格原稿的抄本，从而使笛沙格这一被埋没了的成果， 得以重新发放光辉！

笛沙格之所以能青史留名，还由于以下的定理：如果两个空间三角形对应顶点的三条联线共点，那么它们对应边直线的交点共线。这个定理后来便以笛沙格的名字命名。

有趣的是：把笛沙格定理中的“点”改为“直线”，而把“直线”改为“点”，所得的命题依然成立。即如果两个空间三角形的对应边直线的三个交点共线，那么它们对应顶点的联线共点。

在射影几何中，上述现象具有普遍性。一般地，把一个已知命题或构图中的词语，按以下“词典”进行翻译：

将得到一个“对偶”的命题。两个互为对偶的命题，要么同时成立，要么同时不成立。这便是射影几何中独有的“对偶原理”。

射影几何的另一位奠基者是数学史上公认的“神童”法国数学家帕斯卡。公元 1639 年，帕斯卡发现了以下使他名垂青史的定理：若 A、B、C、D、

E、F 是圆锥曲线上任意的六个点，则由 AB 与 DE，BC 与 EF，CD 与 FA 所形成的三个交点共线！

帕斯卡的这个定理，精妙无比！它表明一个圆锥曲线只需五个点便能确定，第六个点可以通过定理中共线的条件推出。这个定理的推论多达 400 余条，简直抵得上一部鸿篇巨作！

不料，帕斯卡的这一辉煌成果，竟引起了包括大名鼎鼎的笛卡儿

（Descartes，1596～1650）在内的一些人怀疑，不相信这会是一个 16 岁孩子的思维，而认为这是帕斯卡父亲的代笔！不过，此后的帕斯卡成果累累： 19 岁发明了台式加减计算机；23 岁发现了物理上著名的流体压强定律；31 岁与费尔马共同创立了概率论；35 岁对摆线的研究取得了重大成果；⋯⋯帕斯卡这一系列接踵而至的成就，终于使所有持怀疑态度的人折服了！

不幸的是：笛沙格和帕斯卡这两位射影几何的先躯，竟于公元 1661 年和

1662 年先后谢世。此后，射影几何的研究没有得到人们的应有重视，并因此沉寂了整整一个半世纪，直至又一位法国数学家彭色列的到来。