趣味中的图形问题──图形的故事

七桥问题

现今的加里宁格勒，旧称哥尼斯堡，是一座历史名城。

哥城景致迷人，碧波荡漾的普累格河，横贯其境。在河的中心有一座美丽的小岛。普河的两条支流，环绕其旁汇成大河，把全城分为下图所示的四个区域；岛区（A），东区（B），南区（C）和北区（D）。有七座桥横跨普累格河及其支流，其中五座把河岸和河心岛连接起来，这一别致的桥群，古往今来，吸引了众多的游人来此散步！

早在 18 世纪以前，当地的居民便热衷于以下有趣的问题：能不能设计一次散步，使得七座桥中的每一座都走过一次，而且只走过一次？这便是著名的哥尼斯堡七桥问题。

读者如果有兴趣，完全可以照样子画一张地图，亲自尝试。不过，要告诉大家的是：想把所有的可能线路都试过一遍是极为困难的！因为各种可能的线路不下于五千种，要想一一试过，谈何容易！

问题的魔力，竟然吸引了天才的欧拉（Euler，1707～1783）

公元 1736 年，29 岁的欧拉向圣彼得堡科学院递交了一份题为《哥尼斯堡的七座桥》的论文，论文的开头是这样写的：“讨论长短大小的几何学分支，一直被人们热心地研究着，但是还有一个至今几乎完全没有探索过的分支；莱布尼兹最先提起过它，称之‘位置的几何学’。这个几何学分支讨论只与位置有关的关系，研究位置的性质，它不去考虑长短大小，也不牵涉到量的计算，但是至今未有过令人满意的定义，来刻划这门位置几何学的课题和方法，⋯⋯”

接着，欧拉运用他那娴熟的变换技巧，如同下图，把哥尼斯堡七桥问题变为读者所熟悉的，简单的几何图形的“一笔画”问题：即能否笔不离纸， 一笔画但又不重复地画完以下的图形？

读者不难发现：右图中的点 A、B、C、D，相当于七桥问题中的四块区域； 而图中的弧线，则相当于连接各区域的桥。

聪明的欧拉，正是在上述基础上，经过潜心研究，确立了著名的“一笔画原理”，从而成功地解决了哥尼斯堡七桥问题。不过，要弄清欧拉的特有思路，我们还得从“网 B 络”的连通性讲起。

所谓网络，是指某些由点和线组成的图形，网络中的线弧都有两个端点， 而且互不相交。如果一个网络中的任意两点，都可以找到网络中的某条弧线， 把它们连接起来，那么，这样的网络就称为连通的。连通的网络简称脉络。

显然，上面的三个图中，图Ⅰ不是网络，因为它仅有的一条弧线只有一个端点；图Ⅱ也不是网络，因为它中间的两条弧线相交，而交点却非顶点； 图Ⅲ虽是网络，但却不是连通的。而七桥问题的图形，则不仅是网络，而且是脉络！

网络的点如果有奇数条的弧线交汇于它，这样的点称为奇点。反之，称为偶点。

欧拉注意到：对于一个可以“一笔画”画出的网络，首先必须是连通的； 其次，对于网络中的某个点，如果不是起笔点或停笔点，那么，交汇于这样点的弧线必定成双成对，即这样的点必定是偶点！

上述分析表明：网络中的奇点，只能作为起笔点或停笔点。然而，一个可以一笔画画成的图形，其起笔点与停笔点的个数，要么为 0，要么为 2。于

是，欧拉得出了以下著名的“一笔画原理”： “网络能一笔画画成必须是连通的，而且奇点个数或为 0，或为 2。当奇点个数为 0 时，全部弧线可以排成闭路。”

现在读者看到，七桥问题的奇点个数为 4。（见上图）。因而，要找到一条经过七座桥，但每座桥只走一次的路线是不可能的！

下图画的两只动物世界的庞然大物，都可以用一笔画完成。它们的奇点个数分别为 0 和 2。

需要顺便提到的是：既然可由一笔画画成的脉络，其奇点个数应不多于两个，那么，两笔划或多笔划能够画成的脉络，其奇点个数应有怎样的限制呢？我想，聪明的读者完全能回答这个问题。倒是反过来的提问需要认真思考一番：即若一个连通网络的奇点个数为 0 或 2，是不是一定可以用一笔画画成？结论是肯定的！并且有：“含有 2n（n＞0）个奇点的脉络，需要 n 笔划画成。”