橡皮膜上的数字

前面我们讨论的是一种只研究图形各部分位置的相对次序，而不考虑它们尺寸大小的新几何学。莱布尼兹（Leibniz，1646～1716）和欧拉为这种“位置几何学”的发展奠定了基础。如今这一新的几何学，已经发展成一门重要的数学分支——拓扑学。

拓扑学研究的课题是极为有趣的。诸如：左手戴的手套能否在空间掉转位置后变成右手戴的手套？一条车胎能否从里面朝外头把它翻转过来？是否存在只有一个面的纸张？一只有耳的茶杯与救生圈或花瓶比较，与哪一种更相似些？等等，等等，都属于拓扑学研究的范畴。

在拓扑学中人们感兴趣的只是图形的位置，而不是它的大小。有人把拓扑学说成是橡皮膜上的数学是很恰当的。因为橡皮膜上的图形，随着橡皮膜的拉动，其长度、曲直、面积等等都将发生变化。此时谈论“有多长？”、“有多大？”之类的问题，是毫无意义的！

不过，在橡皮几何里也有一些图形的性质保持不变。例如点变化后仍然是点；线变化后依旧为线；相交的图形绝不因橡皮的拉伸和弯曲而变得不相交！拓扑学正是研究诸如此类，使图形在橡皮膜上保持不变性质的几何学。一条头尾相连且自身不相交的封闭曲线，把橡皮膜分成两个部分。如果

我们把其中有限的部分称为闭曲线的“内部”，那么另一部分便是闭曲线的“外部”。从闭曲线的内部走到闭曲线的外部，不可能不通过该闭曲线。因此，无论你怎样拉扯橡皮膜，只要不切割、不撕裂、不折叠、不穿孔，那么闭曲线的内部和外部总是保持不变的！

“内部”和“外部”，是拓扑学中很重要的一组概念。

判定一个图形的内部和外部，并不总是一目了然。有时一些图形像迷宫那样弯弯曲曲，令人眼花缭乱。这时应该怎样判定图形的内部和外部呢？上一世纪中叶，法国数学家若当（Jordan，1838～1922）提出了一个精妙绝伦的办法：即在图形外找一点，与需要判定的区域内的某个点连成线段，如果该线段与封闭曲线相交的次数为奇数，则所判定区域为“内部”，否则为“外部”。

在橡皮膜上的几何中，有一个极为重要的公式，这个公式以欧拉的名字命名，是欧拉于公元 1750 年证得的。公式说：对于一个平面脉络，脉络的顶点数 V、弧线数 E 和区域数 F，三者之间有如下关系：

V+F-E＝2

读者不妨用一些简单的图形，去验证欧拉的这个关系式，以加深对它的认识。例如右图脉络，容易算出 V＝8，F＝8，E＝14，而 V＋F-E=8＋8－14

＝2，等等。

欧拉公式的证明与“奇点成双”定理的证明很相类似。事实上，对于一个脉络，当拆掉某条区域周界的弧线之后，所得新的脉络其顶点数 V、区域数 F 和弧线数 E，与原脉络的顶点数、区域数和弧数之间有如下关系

从而有

V¹ = V

F¹ = F - 1

E¹ = E - 1

V1+F1-E1=V+F-E

仿照上述办法，可以一直拆到最后，拆成一个如同下图的、不含内部区域的树状网络，而对于这种树状网络，其顶点数 V（n）、区域数 F（n）弧线数E（n）之间，以下的关系式是很明显的：

V（n）+F（n）-E（n）=2 注意到

V＋F－E＝V1＋F1-E1=⋯=

V（n）＋ F（n）-E（n）=2 从而也就证得了欧拉公式