趣味的圆规几何学

据说拿破仑对于只用圆规的几何作图问题极感兴趣，他曾给当时法国数学家出过一道题目：“仅用圆规而不用直尺请把已知圆周四等分”。

拿破仑的这道题，如果给定圆的圆心是已知的，就不算难。下图表明了一种作法：

在已知圆 O（r）上任取一点 A。然后，从 A 点开始，用圆规量半径的方法，依次在圆用上作出 B、C、D 三点。再作圆 A（AC）交圆 D（DB）于 E 点。最后，作圆 A（OE）交已知圆 O（r）于 P、Q 两点，则 A，P，D，Q 四点把圆 O 四等分。

从而 A、P、D、Q 确为圆 O 的四等分点。

如果拿破仑问题不给出圆心，那就难办多了！不过这是一定能够做到的！ 公元 1797 年，意大利几何学家马施罗姆指出：任何一个能用直尺和圆规

作出的几何图形，都可以单独用圆规作出。也就是说：“直尺是多余的！” 学过平面几何的读者，可能都已了解，用直尺和圆规的一切作图，归根

到底都取决于：

（甲）求两圆交点；

（乙）求一直线与一个圆的交点；

（丙）求两直线交点。

以上三条，（甲）自然可用圆规完成，关键在（乙）、（丙）。为了弄清这一点，我们先介绍几种可单独用圆规作出的基础作图：

【作图 1】试单独使用圆规，作点 X 关于直线 AB 的对称点 X＇。作法：见图自明。（左图）

【作图 2】在圆心 O 已知的情况下，试单独使用圆规，求圆 O 的弧 AB 的中点 M。

作法：如图，不难单独使用圆规作 ABOC 及 ABDO。令 OA＝r，AB=m。则在 ABOC 中

∵CB2＋OA2=2（AB2＋OB2）

∴CB2＋r2=2（m2+r2） CB2=2m2＋r2

现作圆 C（CB）交圈 D（DA）于 E 点，则

∵OE2=CE2－OC2=CB2－OC2

∴OE2=2m2+r2-m2=m2+r2

再作圆 C（OE）交圆 D（OE）于 F 点

∵OF2=CF2-OC2=OE2-OC2

∴OF2=m2＋r2－m2=r2

从而，F 为圆 O 上的点。又根据图形的对称性知，F 即为 AB 的中点。

【作图 3】试单独使用圆规，求线段 a，b，c 的第四比例项 x。作法：我们试作其中最为普遍的一种情况，其余留给读者。

取定一点 O 作圆 O（a）、圆 O（b）。在圆 O（a）上任取一点 M，并求得另一点 N，使弦 MN＝c。任选一半径 r，作圆 M（r）和 N（r）分别交圆 O（b） 于 P、Q 点，并使 OP 与 OQ 中恰有一条位于＜MON 内部。易知

△OMN∽△OPQ

从而 OM∶OP＝MN∶PQ 即 a∶b＝c∶x

也就是说，弦 PQ 即为所求的第四比例项 x。

由此可见，单用圆规求一直线与圆的交点，现在已经没有太大困难了。如上图，利用基础作图 1，作已知圆 O（r）的圆心 O 关于直线 AB 的对称

点 O＇。则圆 O（r）与圆 O＇（r）的交点 P、Q 即为所求的直线 AB 与已知圆O（r）的交点。

不过，有一种情况似乎例外，即直线 AB 恰过 O 点，此时基础作图 1 失去了效用。然而我们可以如同左图再利用基础作图 2，求出 MN 的中点 P（和 Q）。不难明白，P、Q 即圆 O 与直线 AB 的交点。也就是说，我们已经解决了关键作图（乙）。

再看看关键作图（丙），即如何单用圆规求两直线的交点。实际上，我们可以把它归结为基础作图 3。

如图，我们先按基础作图 1 作 C、D 关于直线 AB 的对称点 C＇、D＇；然

后，再确定点 E，使 CC＇D＇E 为平行四边形，这是单独用圆规能够做到的。很明显，D、D＇、E 三点共线。

令 CD 与 AB 的交点为 F。我们现在的目的，显然就是需要求出 F 点。

∵ D＇F∥EC∴ DE∶DD＇＝DD＇∶DF

即 DF=X 为 DE、DD＇、DC 的第四比例项，因而也能单独使用圆规作出。接下去的任务是求圆 D（x）和圆 D＇（x）的交点 F，这已经是很容易的事了。

至此，我们已经令人信服地证明了马施罗姆关于“直尺是多余的”结论！ 最后值得一提的是：大约在公元 1928 年左右，丹麦数学家海姆斯列夫的

一个学生，在哥本哈根的一个旧书摊上，偶然发现一本旧书的复制品《欧几里得作图》。该书出版于公元 1672 年，作者是一位名不见经传的人物 G·莫尔。这本书不仅包含了马施罗姆的结果，而且还给出了一种不同的证明，这一事实表明：圆规几何学的历史至少应当向前推移 125 年！