非凡的思考

公元 1630 年即在欧拉发现网络公式的前 120 年，法国数学家笛卡儿

（Descartes，1596—1650）以其非凡的思考，写下了一则关于多面体理论的短篇。

笛卡儿的手稿，实际上是用完全不同的方法推出了欧拉发现的公式： V＋F-E＝2

为了弄清这位解析几何创始人不同凡响的思路，我们还得从立体角的概念讲起：

所谓立体角是指在一点所作的三个或三个以上不同平面的平面角所围成的空间部分。立体角的大小，是由立体角在以角顶为球心的单位球面上截下的球面多角形的面积来度量的。右图的立体角大小，即以球面三角形 ABC 的面积来度量的。容易证明，图中这块面积σ1 等于：

σ1＝α＋β＋γ－π

事实上，如下图，在单位球 O 上，大圆弧 AB、BC、AC 所在的大圆，把半球面分为 1、2、3、4 四个部分。图中的 A、A′和 B、B′显然是两组径对点。通过简单计算可知，以上四个部分的面积σ1、σ2、σ3 和σ4，满足：



 1 + σ3



=   β ，4π = 2β 2π

  α



 1 + σ4





= 2π

γ

• 4π = 2α

σ1 + σ2 = 2π • 4π = 2γ，

σ1 + σ2 + σ 3 + σ 4 = 2

由此得σ1=α＋β＋γ－π

与平面几何中求一个角的补角相类似，一个立体角的补立体角可以这样得到：如下图，在已知立体角 O—ABC 内部取一点 O′* 由 O′向各个面引垂线 O′A′、O′B′、O′C′，则立体角 O′—A′B′C′即为立体角 O—

ABC 的补立体角。

由右图容易看出，补立体角的三个面角 a′，b′，c′分别与α、β、γ互补。从而，原立体角 O—ABC 的大小可以表为：

σ1＝α+β+γ-π＝（π－a1）

＋（π－b1）＋（π－c1）－π

＝2π－（a1＋b1＋c1）

同理，补立体角 O1—A1B1C1 的大小可以表为

σ¹ = 2 - π（a + b + c）

上式中的 a、b、c 为原立体角 O—ABC 的各个面角。

一个平面凸多边形的外角和等于 2π，即所有内角的补角的和等于 2π。那么，对于空间的凸多面体，所有顶点立体角的补立体角之和，是否也有类似的关系呢？为此，我们从多面体内部的一点 O 向多面体的各个面引垂线。从右图不难看出：多面体所有顶点立体角的补立体角，恰好占据了 O 点周围的全部空间！

因而，其总和应等于单位球球面的面积，即 4π。下面我们回到笛卡儿的思路上来。

令多面体的顶点数为 V，面数为 F，第 i 个面的内角个数（也即边数）为ni。则所有内角的个数 p 为 p=n1+n2+⋯+nF

再用Σ表示所有面的内角和，于是根据上面讲过的多面体补立体角之和为 4π的结论知：

4π＝2π·V-Σ

又第 i 个面的内角和为（ni－2）π，从而 F 个面的全部内角相加得： Σ＝（n1－2）π＋（n2-2）π＋⋯＋（nF-2）π

＝（n1＋n2＋⋯＋nF）π－2πF 代入上式可得

4π＝2πV－（πp－2πF）

∴p＝2（V＋F）-4 这，就是笛卡儿留给后人的结果！

笛卡儿的公式离欧拉公式只有一步之遥。欧拉的成功，只是由于他导入了棱数的概念，从而打破了古典几何学的清规戒律，建立起拓扑学的新秩序。

事实上，令多面体的棱数为 E，则多面体各个面的内角总数恰为棱数的两倍，即

p＝2E

从而 2E＝2V＋2F－4 立得 V＋F-E＝2

上述关于多面体的欧拉公式的一个简单应用是：论证正多面体只有五种。实际上，假定正多面体的每个面都是正 p 边形，而每个顶点都交汇着 q 条棱，这样，我们有

代入欧拉公式得：

2E + 2E − E = 2

q p

1 1 1 1

从而 p + q = 2 + E

注意到 E≥6 时，上述方程只能有以下五种正整数解：

下面是相应于它们的立体图。

值得说明的是：本节关于多面体的欧拉公式，只是上一节平面欧拉公式的一个特例。实际上我们很容易采用以下方法，把一个立体图形的表面，摊成一个平面图形：设想多面体的表面是一层伸缩自如的橡皮膜，而多面体的内部则是中空的。现在在它的一个面上把橡皮膜穿开一个洞，然后用手指插进洞里，并用力向四周拉伸，直至摊成平面。下图形象而有趣地表现了把一个正方体表面摊开的过程。图（2）中最外面不整齐的边界实际上就是洞的轮廓。如果我们把图形的外部区域，整个地看成开洞的面，并将弧线修整成顺眼的样子，即得图（3）。这样的图，称为正方体的平面拓扑图。其它的多面体或立体图形，也可以类似地得到相应的平面拓扑图，从而把立体表面的问题化为平面上的问题加以解决。这，便是为什么平面网络的欧拉公式，可以应用于多面体表面的缘故！