从巧取银环谈起

在新疆一个关于阿凡提巧取银环的故事，几乎家喻户晓。

一天，财主对雇工说：“我有一串银链，共有七个环，你给我做一周的工，我每天付给你一个银环，你愿意吗？”

雇工半信半疑。然后，财主接着又说：“不过，有一个条件，这串银链是一环扣一环的，你最多只能断开其中的一个环。如果你无法做到每天取走一个环，那么你将得不到这一周的工钱！”

雇工感到事情有点为难，于是连忙去找阿凡提。阿凡提想出了一种巧妙的办法，让财主眼睁睁看着雇工把一只只银环取走。

我想聪明的读者一定能想到阿凡提的办法：即把这串银链的第三个环断开，使它分离为三个部分，这三个部分的环数分别是：

这样，雇工第一天可以取走单环，第二天退回单环而取走双环，第三天

再取走一个单环，第四天退回单环和双环而取走一串四环，第五天再取走那个单环。第六天退回单环而取走双环，第七天再取走 1 个单环。这样银链上的所有七个环都已到了雇工手上。

对于上述问题更为深刻的思考是：在允许割断 m 个环的条件下，最多能处理多长的链条（环数为 n），才能做到在 n 天中，每天恰能支付一个环作为工钱？

为了找出 m 与 n 之间的关系，我们先考虑断开两个环，即 m＝2 的情形。显然，此时环链断成了 5 个部分，其中有两部分是单环，可以支付头两天工钱。为了付第三天工钱，必须用一串三环去换回两个单环。以上三部分环可够支付头五天的工钱，因此第四部分应当是 6 环，同理推出第五部分应当是

12 环，即这五个部分的环数分别是：

1，1，3，6，12。

由此得：当 m＝2 时，n=1＋1＋3＋6＋12＝23。类似地，当 m＝3 时，可求得环链割断成七部分的环数如下：

1，1，1，4，8，16，32。

从而 n＝3＋4（24－1）＝4·24－1＝63。

同理，当允许环链割断 m 个环时，环链被断成的 2m＋1 个部分的环数于是 n=m＋（m＋1）（2m+1-1）＝（m+1）2m+1-1

这便是断链问题的一般性解答。

现在我们再看一看有关平面剖分的例子，它无疑要比上面的问题复杂很多。公元 1751 年，欧拉曾提出一道有趣的问题：一个平面凸 n 边形，存在多少种用对角线剖分成三角形的办法？

对此，欧拉本人求出了从 D3 开始的头七个剖分数： 1，2，5，14，42，132，429。

画出了 D6＝14 的各种剖分情形。

公元 1758 年，数学家西格纳找到了 Dn 的一种递推公式式中假令 D2＝1）： Dn＝D2Dn-1＋D3Dn-2+D4Dn-3+⋯+Dn-1D2

利用西格纳的公式，可以一步一个脚印地依次算出各 Dn（n＝3，4，5，⋯）的值，只是当 n 很大时计算有点困难罢了！

他猜测这应该是一条真理！后来乌尔班果真用一种非常巧妙的办法证实

了它。乌尔班的方法说来也不难，关键在于构造了一个函数 g（x） g（x）＝D2x2＋D3x3＋D4x4＋⋯+Dnxn+⋯

并由西格纳的关系式推知 g（x）满足二次方程： W2-xW＋x3＝0

上式展开后比较得到

对于空间切割的抽象程度，当然有增无减。下面是一道很有意义的空间切割问题，刊于美国的《数学双周刊》（1950．9～10），作者就是前面提到过的那个马丁·加德纳。问题是这样的：

把一个大立方体，切割成 64 块相同的小立方体，用锯锯开九次是容易做

到的。不过，如果允许锯前把锯开的各块重新排列的话，那么只需进 6 刀就够了（怎样达到这一点，本身就是一道极好的智力问题）。然而有一点是可以肯定的，进刀数不能再小于 6 了！这是容易说明的：位于中心部分的小立方体没有现成的面，它的六个面都是过了刀的，而显然我们不可能一刀用时

过两个面由此总进刀数绝不应少于 6。

现在马丁的问题是：一般地把一个大立方体分切成 n3 个相同的小立方体，最少要进刀几次呢？

看起来这个问题似乎很复杂，实际上比平面的欧拉剖分问题更简单。事

实上，为了求最少的进刀数，对横截立方体的每条棱，锯开两部分的单位宽度的数量要尽可能地接近对半，然后把锯开的两部分叠合，重复上面的过程， 直至锯成各部分都是单位宽度为止。

对三条棱都作类似处理，就会知道；一般分切 n3 个立方体所需的最少进刀次数，等于由下式所确定 k 值的 3 倍：

2k≥n＞2k-1

例如 n＝4，k＝2，3k＝6。这正是前面说过的结论！

关于图形分割的理论，眉目繁多。有时问题虽小，解答却不容易；有时虽然貌似复杂，但一语道破，竟如履平地。这都需要读者悉心思考，才能领略。