有趣的“周游世界”游戏

公元 1856 年曾以发明“四元数”而闻名的著名数学家哈密尔顿发明了一种极为有趣的“周游世界”的游戏，这一游戏当时曾经风靡一时。在游戏中， 哈密尔顿用一个正十二面体的 20 个顶点，代表我们这个星球上的 20 个大城市。游戏要求：沿着正十二面体的棱，从一个“城市”出发，遍游所有的“城市”，最后回到原出发点，但所经过的棱不许重复！

周游世界游戏的解答称为哈密尔顿圈，它并不难求，但极有意思。下图是正十二面体和它的平面拓扑图。

下面让我们看一看，在正十二面体的平面拓扑图中，一个哈密尔顿圈需要具备什么样的条件？首先，由于哈密尔顿圈包含有 20 个顶点及连接它们的

棱，因此应当是一个简单 20 边形的周界，这个 20 边形显然是由若干五边形拼接而成，而这些五边形中不可能有三个具有公共点！否则的话，这个公共点便会如同图 1 那样，成了 20 边形的内部的点，从而也就不可能成为哈密尔

顿圈上的点。这与哈密尔顿圈包含全部 20 个顶点相矛盾。其次，所说的五边形也不可能围成一个环形。因为如果是这样的话，拼接起来的多边形周界， 势必分为两个隔离的部分，这自然是哈密尔顿圈所不许可的！

以上分析表明：哈密尔顿圈中的五边形，只能像右图那样排成一串！

现在的问题是：在正十二面体的平面拓扑图中，究竟能否找到上面讲的那样的一串五边形呢？答案是肯定的！下图便是一种解答。

在下图中，左边的图是右边一串五边形在正十二面体上的实际位置。为了便于读者记忆，设想我们沿着一条棱前进到达某个顶点，这时摆在我们面前显然有左拐和右拐两条路。倘若我们周游的路线是向右拐的，这时我们便在这个顶点旁做“＋”的记号；倘若我们周游的路线是向左拐的，则做“－” 的记号。上图右边的“＋”、“－”记号，便是根据上述规则标的。依顺时针方向它们是以→+++---+-+-→的方式循环着。这是很好记的！读者可以在正十二面体的平面拓扑图上，按上述的法则找到哈密尔顿圈。右下图便是一个例子。

哈密尔顿周游世界的游戏无疑能够移植到任意的多面体上来。不过有一点是肯定的，并不是所有的平面脉络都存在哈密尔顿圈，左下图就是一个不存在哈密尔顿圈的例子。

事实上，我们可以如同右图中已经画好的那样，把所有的顶点分别画成“●”和“○”。容易看出：图中所有与“●”相邻接的顶点都是“○”； 而所有与“○”相邻接的顶点都是“●”。这样一来，如果我们问题中的哈密尔顿圈存在的话，那么圈上的顶点必然是一“●”一“○”的点列。由于这样的点列头尾相接，因而“●”的数目与“○”的数目必须是相等的。

然而，我们图中却明显地有 5 个“●”和 4 个“○”。这表明对上图来说，所求的哈密尔顿圈是不存在的！