折纸的学问

早在公元前的古希腊，人们便深为五角星的魅力所吸引。右图是那时毕达哥拉斯学派的信徒们，作为俱乐部成员徽章的图案。图中的象征性数字，及如同现代立交桥那般的立体线条，使人们似乎感觉到一种无穷的运动，周期为 5，循环反复，永不休止！

大约不少读者在孩提时代，就已学会了用折纸的办法来剪五角星。下图直观地表现了这一折法的过程。图中的罗马数字，表示折痕的先后顺序，至于折五角星的原理，我想读者看图自明。

折纸的艺术，貌似简单，内里往往包含着深刻的科学道理。折纸的方法也远不是单一的。就以折正五角星来说，人们完全不必用上面那样繁杂的折

叠手续！实际上只要打一个普通的结也就足够了！

左图的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ形象地表现了打结的过程，所用的道具只是一条长长的纸带而已！可以肯定地说：在此之前，并不是所有的人都知道，我们天天司空见惯的打结动作，实际上正在创造着一个又一个优美的正五角星。图Ⅳ 是将图Ⅲ举到亮光下，使人透过外表看到内部的五星图形！读者如能亲自试验一下，一定会有感于大自然赐给的这一奇景！

可能读者中会有人以为，折纸只能折出直线的图形，因为折痕无论如何只能是直的。其实，这是一种误解！足够多的直的折痕，有时也能围出优美的曲线。

请你用纸剪出一个矩形纸片 ABCD。如同下页左图那样折叠，使每次折后A 点都落在 CD 边上。无数的折痕会像下页右图那样围出一条曲线。这样的曲线，在几何学上称为折痕的包络。包络曲线是一段抛物线弧。

当你抛掷石子的时候，你会看到石子在空中划出一条美丽的弧线。这条弧线是由于石子同时受地心引力和惯性运动两者作用的结果。假定你抛掷石子时与水平成α角，又石子出手时速度为 v0，则在时刻 t 石子运动的位置坐标（x、y）为：

x = u tcsα



y = u t sin α − 1 gt ²

 o 2

消去时间 t 后，将得到一个关于 x 的二次函数。因此，二次函数的图像，我们也称为抛物线。有趣的是，当我们抛掷的初速度不变，而仅仅改变抛掷角时，将会得到如同下图那样一系列的抛物线，这无数抛物线的包络，也形成一条抛物线，物理学上称为“安全抛物线”。假如读者有机会欣赏喷水池中喷射出的美丽水帘，那么你将领略这一想象中包络曲线的特有风采！

让我们回到折线的课题上来，研究一下为什么前面讲到的折痕包络是一条抛物线？

如下页左图，以 AD 的中点 O 为原点，以 OD 为 Y 轴正向，建立直角坐

标系。令AD ＝p，则A点的坐标为（ 0 P

A ¹为CD上的任意一

，－ 2 ）；设

点，EF 为 A 折向 A1 时纸上的折痕；T 在 EF 上，满足 TA1⊥CD。下面我们证明： T 点的轨迹，即为折痕的包络曲线。

事实上，令 T 点的坐标为（x、y）

A¹T = ( P − Y)

 2



∵AT =



x² + ( y + p )²

A¹T = AT





∴( p − y)² = x² + (y + p ) ²

2 2

整理得y = - 1 x²

也就是说，T 点的轨迹是一段抛物线弧。剩下的问题是，必须证明它与

折痕相切。为此，令直线 AA1 的斜率为 k，则

k = x

注意到折痕 EF 为线段 AA1 的垂直平分线，容易求出直线 EF 的方程为：

y = − x A1 (x − xA1 )

P 2

可得 x2－2xxA’＋（xA’）2＝0

△＝4（xA’）2－4（xA’）2＝0

从而，直线 EF 与曲线相切。这就证明了所求的抛物线，确实是折痕的包络。

包络是微分几何研究的课题之一，公元 1827 年，首创于德国数学家高斯。

下面是又一种有趣的折纸包络。

剪一个圆形纸片，在圆片内任取一点 A，然后折叠纸片，使折后的圆弧通过 A 点，如此得到的无数折痕。这些折痕的包络，便是一个以 A 点和圆心为焦点，长轴与半径等长的椭圆。读者不妨亲自折一个试一试。

最为神奇的折纸，大约莫过于“三浦折叠法”。它是由日本宇宙科学研究所的三浦公亮教授发明的。这种折纸法，竟能使无生命的纸张具有“记忆” 的功能！

大家知道，当我们想把一大张纸折小的时候，我们常用的是互相垂直的折叠方法。这种折叠法的折痕是“山”还是“谷”是互相独立的。从而各种可能的折法组合，总数极大！当一大张折好的纸完全展开时，很难让它重新折回到原来的位置。另者这种互相垂直的折法，折缝往往叠得很厚，因而在张力的作用下，难免于造成破损！

“三浦折叠法”也叫“双层波型可扩展曲面”，它不同于“互相垂直折叠法”的地方在于：纵向折缝微呈锯齿形。这样，当你打开一张用三浦方法折叠的纸时，你会发现：只要抓住对角部分往任何方向一拉伸，纸张便会自动地同时向纵横两个方向打开。同样，如果想折叠这样的纸张，只需随意挤压一方，纸便会回到原状，相当于记住了原样！

用三浦方法折叠纸张，整张纸成了一个有机的连结体。它的折缝组合，只有全部展开与全部折返两种。因而不会因为折叠时折缝没有对齐而损坏。下图的右方表示用“三浦折叠法”折叠时的情景。容易看出，这里的折缝是互相错开的。是普通折叠法，不难发现：这里的折缝，在重叠处出现了危险的隆起！

今天，神奇的三浦折纸法已经取得了广泛应用。在人类征服太空的宏图中，对于建造大面积的太阳帆、人造月亮等方面，应用前景尤为诱人！