剥花生的学问

传说有位师傅，想考一下自己的两个徒弟。有一天，他给了两个徒弟每人一箩花生，让他们剥开看看，花生仁是不是都有粉衣包着。

大徒弟不加思索，急忙走到箩筐前，抓起花生，一个一个地剥了起来。小徒弟则不然，他想了一会儿，找到了解决这个问题的一个好办法。他先挑选了几个饱满的和不饱满的花生，又挑选了几个单仁的、双仁的和仨仁的花生，再挑选几个大的和小的花生，合在一起也就是十几个花生。不一会儿， 他就把这些花生剥完了。他发现这几种不同类型的花生都有粉衣包着，于是， 他认为这一箩花生的仁都有粉衣包着。

大徒弟忙了一天，才把一箩花生剥完，结果发现这一箩花生的仁都有粉衣包着。尽管徒弟二人都得出了相同的结论，可是，从两人解决问题的方法上，师傅不难看出到底哪一位徒弟更聪明。

在这个传说中，徒弟二人都用了一种叫做归纳的逻辑方法。所谓归纳法， 就是从个别事实中，概括出一般原理的推理方法。归纳法按照它所概括的对象是否完全又分为完全归纳法和不完全归纳法。大徒弟之所以不如师弟解决问题快，就在于大徒弟采用的是完全归纳法，而小徒弟采用的是不完全归纳法。

完全归纳法是根据某类事物的全体对象作出概括的一种推理方法。穷举法就是一种完全归纳法。尽管完全归纳法的结论真实可靠，但是，对于不胜枚举的一类事物，使用完全归纳法就会遇到困难。这就如同大徒弟那样，剥了一天，才终于得出了结论。

下面这则笑话也说明某些情况下，用完全归纳法是不可取的。从前有个绅士想吃苹果，就打发佣人去买，并吩咐说：“我要吃甜的，不甜的不要。” 佣人来到集市上，走到苹果摊前，拿起一个苹果，咬了一口，尝尝是甜的。就放到秤盘上，又拿起一个，咬一口尝尝，再拿一个咬一口尝尝⋯⋯卖苹果

的人说：“我这苹果个个是甜的。”可是，佣人还是拿一个咬一口，只有这样，他才感到放心。当他提着一篮子苹果回到绅士家后，绅士见了顿时打消了吃苹果的念头。

当然，在某类事物有限的情况下，使用完全归纳法能得到准确可靠的结论。

德国著名数学家高斯 10 岁的时候，有一次，数学老师布特纳在黑板上写下了这样一道题：1＋2＋3＋4＋⋯⋯＋100＝？老师刚解释完，高斯就把石板交了上去。布特纳心想这个全班最小的学生准是瞎写了一通或者交了白卷， 所以连看也没看。快到下班的时候，其它学生才一个个把石板交上。布特纳看完了所有的石板，结果发现只有高斯的答案是正确的。他大吃一惊，感觉到这是一个不平常的学生，就买了一本最好的算术书送给高斯，并对别人说： “高斯已经超过了我，我已经没有什么可以教他了。”

在计算这 100 个数之和时，高斯就巧妙地运用了穷举法。高斯发现 1＋ 11=101，2＋99=101，3＋98=101⋯⋯50＋51＝101，所以，50 个 101 即 50×

101＝5050。

不完全归纳法是根据某类事物的部分对象具有某种属性而推出该类事物具有这种属性的一种推理方法。简单枚举法就是一种不完全归纳法。

例如，根据铁能导电，铜能导电，银能导电，金能导电的属性，推出“金属能导电”的结论。这种推理方法就是不完全归纳法。

著名的哥德巴赫猜想就是用不完全归纳法提出来的。哥德巴赫常和著名数学家欧拉通信讨论问题。1742 年，哥德巴赫根据对一些奇数，例如，7＝2

＋2＋3， 15＝3＋5＋7，23＝3＋7＋13，77＝7＋17＋53 等的分析，发现他所列举的许多奇数都是三个质数之和。于是，他就提出了一个猜想：所有大于 5 的奇数都可分解为 3 个质数之和。哥德巴赫自己证明不了这个猜想，就把它写信告诉了欧拉。欧拉进行了一番努力后，也没有能够证明它，但他认为这个猜想是正确的。他还从这个猜想推出了另一个猜想，即：每一个大于2 的偶数都可以分解为 2 个质数之和。这两个命题后来就合称为哥德巴赫猜想。这个猜想直到今天也没有得到彻底解决，我国数学家华罗庚、王元、潘承洞、陈景润等人在解决这个问题的过程中取得了举世瞩目的成果。

当然，不完全归纳法也有其局限性。运用不完全归纳法有时会得出以偏概全的错误结论。例如，人们根据多次经验到的事实，认为：“天下乌鸦一般黑”，“天下天鹅一般白”，“鸟都会飞”，“血都是红色的”等等。可是，后来却发现了白乌鸦、黑天鹅、不会飞的鸵鸟。白血动物等等。列宁曾说：“以最简单的归纳法所得到的最简单的真理，总是不完全的，因为经验总是未完成的。”（《列宁全集》第 38 卷，第 191 页）

在科学研究中还经常使用一种与归纳法相反的推理方法，这就是演绎 法。所谓演绎法就是从一般原理推出个别结论的逻辑方法。演绎法的主要形式是三段论。例如：“凡人皆有死，张三是人，所以张三亦有死。”在这个

三段论中，“凡人皆有死，张三是人”是推理的前提，“张三亦有死”是推理的结论。再如：“一切物质是可分的，基本粒子是物质，故基本粒子是可分的。”

演绎法在理论体系的建立中起着十分重要的作用。例如，欧几里得几何学就是一个演绎推理系统。直到今天，我们所学的平面几何的基本内容仍然是从欧几里得那里传下来的。

本世纪 20 年代，人们发现在β衰变过程中有能量亏损现象，也就是衰变放射出的电子带走的能量小于原子损失的能量。为了解释这一现象，物理学家泡利根据能量守恒原理进行了推理，于 1931 年预言在β衰变中有一种还未被发现的微小中性粒子带走了这部分亏损的能量。意大利物理学家费米把它命名为“中微子”。20 多年以后，人们终于在原子反应堆中找到了中微子。尽管这个例子说明了泡利是通过演绎法来预言中微子的，但是，追根溯

源，如果没有从大量事实中归纳概括出能量守恒定律，怎么会有泡利的预言呢！这正如恩格斯所说：“归纳和演绎，正如分析和综合一样，是必然相互联系着的。不应当牺牲一个而把另一个捧到天上去，应当把每一个都用到该用的地方，而要做到这一点，就只有注意它们的相互联系，它们的相互补充。”

（恩格斯：《自然辩证法》，人民出版社 1971 年版，第 206 页）