论时序

这篇文章写于 1935 年，1936 年 3 月在剑桥哲学学会宣读。它最早发表在该会会刊上。在别处人们把剑桥的道德科学看成哲学，为了避免混淆，值得我们注意的是，罗素是向这样一个组织宣讲这篇论文的：它不是一个通常意义上的哲学组织，而是一个科学组织。

撰写这篇文章时，罗素曾告诉我说，他觉得作下述说明或许在物理学上是很重要的：瞬一般被认为是数学的构造，但是，“人们很容易提出的这种假定并不能证明瞬是可以被建构的”。

这篇文章虽然与罗素 1936 年的另一篇叫做《决定论和物理学》的论文有紧密的联系，但它不同于他这一时期的其他著作。1934 年罗素发表《自由与组织——1814 年至 1914 年》，这本书虽然是他最好的著作之一，但最初却未能引起应有的反响。在《宗教和科学》（1935 年）一书里，极端怀疑论和那种过分狭隘的实证主义似乎削弱了罗素的论证，而《通向和平之路》（1936 年）则表明：他重新返回到社会哲学，去探究支配欧洲千百万人的思想的那种问题。这本书以及同一年出版的短篇《自我讣告》（1950 年重印于《不流行的论文集》）反映了那个时代的情绪。

1936 年，弗兰克林·D.罗斯福（F.D.Roosevelt）曾经告诉他的国民，他们将有一场“命运攸关的结集”，随着欧洲政治向两年以后的慕尼黑九月的日子推移，那种结集的性质日益变得明晰了。

人们或许以为，罗素在 1936 年所做的最后一件工作是一篇关于数学问题的学术论文，但事实上，这是一篇重要却又鲜为人知的作品，与他多年的、最富成果的数学研究有极密切的关系。我要劝说那些总是说罗素在二十年代就放弃了数学哲学的人们，好好地读一读下面这篇论文。

论时序1936 年

通常人们都一致认为：瞬不是物理的实体而是数学的构造。因此，如果有瞬，它们必定是具有某些特性的事件的类。鉴于我在《我们关于外部世界的知识》（第 116—120 页）一书里所作的解释，瞬可以最自然地定义为具有下列两个特性的一组事件：

该组中任何两个分子在时间中重叠，即二者都不能完全先于另一者。
该组以外无一事件与所有这些事件相重叠。

于是我们规定：如果在一瞬有某个事件，它早于（即完全先于）在另一瞬的某个事件，那么，这个瞬就早于另外的那个瞬。（注意：当一个事件是作为一个瞬的类的一个分子时，这个事件就发生“在”这一瞬。）

N.维纳（N.Wiener）①已经说明了：为使瞬形成序列，需要什么条件。我也（在上面提到的那本书里）说明了：如果在 X 之后开始的每一事件完全是在 X 开始时就存在的某些事件之后才开始的，那么，每一事件 X 就具有第一个瞬。

① 《剑桥哲学学会会刊》，第 17 卷（1914 年），第 441—449 页。

本文进一步探究瞬的存在条件，以及瞬不存在时会发生什么情况，可以表明：瞬的存在需要一些假设，但没有理由认为这些假设是真的——这一事实在物理学上也许具有重要的意义。

关于对这一问题进行数理逻辑的处理，我们只需要一种基本的关系，即完全在先的关系，我们将此关系称作 P。如果两个事件都不是一个完全先于另一个，那么，两个事件就相互重叠，或者是同时发生的，或者（至少部分地）是同时存在的；我们称这一关系是 S。因此可提出：

P＝完全在先

由此可推出：并非同时发生的任何两个事件中，其中一个完全先于另一个。我们得到

S|P⋯⋯之前开始， S|■⋯⋯之后结束， P|S⋯⋯之前结束，

|S⋯⋯之后开始。

可以假定：P 和 S│P 是传递的，而且无一事件先于自身；即：

从 P■■可以推论出：对于所有 x 的值，xSx。并得到 S│P■■，因为xS|Px.⊃.(∃y).xSy.y.Px.⊃.(∃y).y.Px.～(yPx)。

同样可得，P|S■■。

从 xSx 可以推出 P■S│P 和 P■P│S。

从（S|P）2■S|P 和 S|P■■，我们得出（S│P）2■■。

这些序列并非互逆。第一个序列通过事件的开始排列它们，第二个序列通过事件的结束排列它们；但一个事件可以在另一个事件之前开始并且在其之后结束。

有 x 和 y 两个事件，使得■x＝■y 恰好包括相同的一段时间；可将■x 这个类定义为 x 的“期间”（duration）。可以按照下列的时间表将期间排列在一个序列里：如果两个期间不同时开始，就将第一个早些开始；如果它们同时开始，就将第一个早些结束；

那么

NεSer.C' N = D'S,

即 N 是一个序列，它的项是所有期间。

现在，我们该讨论瞬和瞬序列的定义。请看

定义。①

第一个定义说，一个瞬是事件的类，这个类等于它所有分子的共有的同时发生物。第二个定义说：如果一瞬的一分子完全先于另一瞬的一分子这个

① In 意为瞬，下同——译者。

瞬就早于另一个瞬。

我们首先讨论瞬的特性和瞬序列。这里没有提出瞬的存在问题。

进而得出

假定α，β∈In。因此因而

又，

因此 T 是一个序列，其域是所有的瞬。

现在该讨论：如果瞬序列是紧致的（即如果两瞬之间有另一个瞬，即如果 T■T2），所要求的条件是什么。这要求

对此，其必要（但不充分）的条件是：

因为，在上面的式子中 xSα.αPy.ySy’.y’Pc.cSz 和 xPz。现在，我们一般有xS|P|Sx；这一点只在下列情形中不成立：

即是说，如果没有 x 的同时出现物在 x 结束之前就结束，或者在 x 开始之后就开始。这样就有S' ‘x∈In，即是说，x 只持续一个瞬间。如果假定没有一个事件只持续一瞬间，我们总有 xS│P│Sx。所以

P\S■S\P\S\P\S。

所以上述条件可归约为

P■P\S

这一点总真。根据上述，对于 T■T2 所要求的更进一步的唯一条件是：

ySy’.⊃.(∋β).β∈In.y.y’∈β。

因此，如果（a）无一事件只持续一瞬间，（b）任何两个重叠的事件至少有一个共同的瞬，那么，瞬的序列就是紧致序列。这些条件是充分的；而作为必要的条件稍欠严密。

根据不同的假定可以证明瞬的存在。其中一个假定是：事件可以良序。其他的假定列在下面。然而，没有理由（不管是逻辑的还是经验的）设想这些假定是真的。如果它们不真，瞬只是逻辑的理想，正像我们将要看到的那样，只能不确定地接近，而不能得到这种理想。

给出任何事件 x，它的期间的第一瞬（如果存在）必定是在 x 一开始就存在的事件类，即μ，其中

我们得出

如果μ是一个瞬，我们还需要现在，

既然又

所以，

所以，如果μ∈In，我们需要既，既然μ ⊂ S' x,

对于μ要具有第一瞬而言，上述是必要和充分的条件。这说明，如果一事件在 x 开始之后才开始，那么它就完全是在 x 开始时就存在的某一事件之后的事件；即是说，如果 y 在 x 开始之后才开始，那么 x 开始时就存在的某一事件停止在 x 的开始和 y 的开始之间的区间之中。

我们可以用下列两个定义把这个条件简单地表达出来：

一事件 x 的初始同时发生物是那些当 x 开始时就存在的事件，即

S' x − P"S' x.

一事件的随后同时发生物是那些与 x 重叠但比 x 迟些开始的事件，即

S'→ x ∩ P" S'→ x

这样，x 的第一瞬存在的条件就是：

x 的每一随后同时发生物在 x 的某一初始同时发生物的结束之后开始。为了简化这一条件的形式陈述，今

因此，当 x 开始时，yMx.＝.y 存在，且因此，x 具有第一瞬的条件是：

而所有具有第一瞬的事件的条件是：

同佯，令 N＝S-P│S，所有具有最后一瞬的事件的条件是：

关于瞬的存在，我们将会看到其他各种条件。但是，首先我们来讨论，如果 X 没有第一瞬会出现什么情况。为此，若将注意力尽可能地限于 x 的同时发生物（即S‘x）是很方便的。所以我们给出：

就是说，x 是限于 x 的同时发生物的关系 P，那么，假如这一条件不能实现，我们得出：

给出：那么，

这就是说，β的每一分子具有一些是β的前趋，因此在β中有无限下降的序列。这些序列都包含在 x 的开始和当 x 开始时就存在的事件的第一停止点之间。所以，必定没有对它们的期间的下限。它们都是整个μ的同时发生物，即

事实上。

进一步又可得出：

因此，μ是一个过分小的类，以至不能形成一个瞬，而μ∪β又过分大。因为，如果我们有α⊂p‘ S→ “α，但这二者不相等，那么我们就需要扩大 a因而减少（或者至少不增加）p│ S→ “β，以便取得α=p‘ S→ “α；但是，如果 p‘ S→“α和这两者不相等，那么我们就需要减少 a 因而增加（或者至少不减少）p‘ S→ “α，以便保证这一相等性。这些讨论可以通过对类λ的考察而得到说明，这里

我们有：又，

因此，如果现在，

所以，如果λ∈In，我们要求即

即

这是与先前的条件完全类似的条件（P 代换■的情形例外），即完全相似的讨论也适用于它。如果给出

且如果γ不是空的，它含有无限上升的事件序列，这些事件都包含在 P“（β

－P”β）的结束和 P“β的结束之间的一段时间之中。

作几个一般的考察或许有助于使这些可能性更明确。假如用 XX’表示 X 的期间，那么

X B A X’

β的存在就蕴涵一段延续时间 XA 的存在，这样在 X 上存在的事件就无一在 A 之前停止，但给定任何一个停止在 XA 之内的事件，它不仅在 XA 之内开始，而且具有在 XA 内开始和结束的前趋，而这些前趋又有其他的前趋，以此类推，以至无穷。β这个类是由那些在 XA 中开始的事件（不管它们在何处停止）所组成的。

现在假设：有一段 BA 的延续时间，使得在 BA 中开始的每一事件也在 BA 中停止。所有这样的事件都包括在 P“β之中。β—P“β将是在 X 之后开始和在 A 上停止或在 A 之后停止的事件，根据假设，其中无一是在 BA 之中开始。因此，在 BA 之中开始的所有事件都是γ的分子。

关于 X 的假设是：没有一个在 X 存在的事件在 A 之前停止。关于 A 的假设是：没有一个在 A 存在的事件 B 之后开始。如果这两个假设都被证实，那么 XA 这个期间就没有开始的瞬或结束的瞬。

当然，通过引伸上述的程序，我们可以继续定义更小的区域；但是，没有理由假定它们接近了作为它们极限的一个点。

从上述看来是这样：如果有期间的最小值，即如果一个非重叠事件的无限序列必定最终达到任何给定的区域，那么就必定存在瞬；或者反过来说，如果完全由一个给定事件的同时发生物组成的一个 P-序列必定是有限的，那么就必定存在瞬。这可以表述如下：

(R,x):R■P.C■ S‘x.⊃.∃! B ‘R。

这个假设保证：每一事件都有最初的瞬。如果用 B‘R 代入B‘R，那么就保证每一事件有一个最终的瞬。因此，如果在 x 的同时发生物中不存在非重叠事件的无限序列，x 就有最初的和最终的瞬。

这一要点可以表述如下：如果S ' x − P"S' x 是一个瞬（正像我们看到的），我们要求

我们给出：那么

所以

所以～（xS│■a）。因此∃！a－P“a 给出所需要的结果。如果～（xS│P2b），此结果就会出现；如果～（xS│Pnb），此结果也会出现，其中 n 是任何有限整数。这导致与上述关于瞬的存在一样的假设。

如果有一个事件 a，当 x 开始时它刚好停止，那么 x 有一个最初的瞬。这会在下述条件下发生：

即是说，a 与 x 重叠，但是很快结束的东西决不会这样，倘若如此，因为

所以

又，

但据假设

因此，关于瞬的存在的充分条件是

如果这个假设被满足，就存在两个事件 a、x，使得且 a 的最终瞬是 x 的最初瞬。

如果 S■S│P│S，那么，给出 Q＝P│S 和 R＝S│P，其中 n 是任何有限整数，而且

S■S│Q”说的是：如果两个事件 a 和 b 重叠，就存在 n 个事件，其中第一个事件是 a 的同时发生物，第二个事件比第一个迟些结束，第三个事件比第二个迟些结束，以此类推，而 b 比第 n 个事件迟些结束。同样地 S■Rn│S 说的是：如果两个事件 a 和 b 重叠，就存在 n 个事件，其中第一个事件比 a 迟些开始，第二个事件比第一个迟些开始，以此类推，而第 n 个事件与 b 是同时发生的。如果上述两种情形都不出现，在 a 和 b 这两个事件中一个具有最初的瞬，而另一个具有最终的瞬。

上述的充分条件可以用下列形式说明：

注意：

因此

aS\P\Sx.=a 在 x 的结束之前开始， aS\■\Sx.=.a 在 x 的开始之后结束。

假设μ是瞬，对于此瞬，∃！μ—R“μ.∃！μ—Q“μ，其中 R＝S│P.Q＝P

│S。这就是说，有一个事件 a，它是μ的一个分子，不比μ的任何其他分子迟些开始；也有一个事件 b，它是μ的一个分子，不比其他分子早些结束。

因此我们的假设是

倘若如此，我们就得出～（aS\P\Sb）.～(bS\P\Sa),即另一个开始时这一个停止。

或许有人认为：如果一事件存在时没有最初的瞬，那么，这事件不存在时也将有最终的瞬。但是，这两种情形下的条件是独立的。

与 x 重叠并在 x 之前开始的项是S' x∩ S" P' x

是a(aPx:aP\Sb.⊃ b.bPx), 即给出

。刚好在 x 之前结束的项

∃!R'x − RR'x. ⊃: R'x − PR'x ∈In.∨.S'x ∈In 。 ∃!R'x − R" R' x 这个条件是充分的，但是我们不没有表明这个条件是必要的；它意指：有一个项，它刚好在 x 之前开始。试想一种戴德金（Dedekind）的分割法，x 或许没有最初的时刻，但该项是在 x 之前的那段时间结束时开始的。

总起来说：当事件的全类可以良序时，而且当有一些方法能建构一定种类的良序的事件序列时，瞬的存在就能得到证明。但是，在没有这些可能性的情况下，如果在某一事件开始（或结束）时存在的所有事件都能在其他事件开始和停止的时期（或者先前在这样一个时期中存在过）继续存在，那么，我不知道是否还有其他方法能证明瞬的存在。

关于瞬的存在的一个充分条件是

∃!S-S\P\S。

另一个条件是，给出 M=S-■\S,

S\P■M\P

这就保证每一事件都有一个最初的瞬；与此同时，给出 N＝S-P\S,

S\■■N\■ 这个条件保证每一事件都有一个最终的瞬。