以类型论为基础的数理逻辑

在这篇最初发表在《美国数学评论》上的文章中，罗素提出了他关于如何解决涉及矛盾现象的一系列经典数学和逻辑问题的著名方法。①类型学说

（他当时这样称谓自己的观点）是他在《数学的原则》第二个附录里“试探性地提出的”。从历史观点看，这是一个很有价值的讨论，因为这个讨论以在本世纪初罗素最先思考类型学说之后不久所采取的那种形式向我们展示了这些观点，虽然（用他于 1937 年为《数学的原则》第二版写的导言的话说） 它“只不过是大致的勾画”。这里重印的这篇文章给出了实际上是完成了的理论，尽管在《数学原理》（1910 年）第 1 卷中，在这些观点重现于其中的更大的范围内，我们看到这些观点有了改进。

类型论在现代哲学中产生了如此重要的作用，以致我们只能说：这篇文章是罗素最精致的文章之一，它被公认为一篇当代哲学思想的杰作。除此之外，对其重要性的其他评论都是多余的。

以类型论为基础的数理逻辑1908 年

下面的符号逻辑理论起初以其解决某些矛盾的能力而引起了我的重视。最为数学家熟知的一个矛盾就是布拉里-弗蒂（Burali-Forti）关于最大序数的矛盾①。但是，这个理论似乎不完全依赖这种间接的长处；如果我没有搞错， 这个理论也具有某种与常识的一致性，从而使其成为内在可信的理论。然而这不是一个应当十分强调的优点；因为常识较之它愿意相信的要更易犯错误。因此，我开始先说明一些有待解决的矛盾，然后阐明逻辑类型论如何解决这些矛盾。

  1. 一些矛盾

  1. 这方面的一种最古老的矛盾是爱匹门尼德（Epimenides）矛盾。克里特岛人爱匹门尼德说，所有克里特岛人是说谎者，而所有其他的由克里特岛人所说出的陈述当然都是谎话。这是一句谎话吗？这个矛盾最简单的形式表现为一个人说“我正在说谎”；如果他正说谎，则他说的是真话，反之亦然。

  2. 令 W 作为所有不是自身元素的类的类，那么，无论类 X 可能是什么，“X 是 W”和“X 不是 X ”是等值的①。因此，给出 X 的值 W，则“W 是 W” 和“w 不是 W”等值。

  3. 如果R 对 S 不具有 R 关系，令 T 是存在于 R 和 5 两个关系之间的关系。那么，不论关系 R 和 S 是什么，“R 对 S 具有关系 T”和“R 对 3 不具有关系 T”等价。因而，对 R 和 5 都给出值 T，“T 对 T 具有关系 T”和“T 对 T不具有关系 T”是等值的。

① 这里所谓“矛盾”（“contradictiOn”）是指“悖论”（“paradox”），罗素把它们用作同义语。——译者

① 见下文。

① 如果两个命题同真或者同假，则它们称作是等值的。

  1. 有穷整数的英文名称中音节的数目随着整数的增大而增，加，而且必定是不确定地逐步增加，因为只有有限多的名称能够通过一些给定的有限多的音节形成。因而有些整数的名称必定至少由十九个音节构成，而在这些整数中必定有一个最小。因而“不可用少于十九个音节命名的最小整数”（“the least integer not name-able in fewer than nineteen syllables”）必定指示一个确定的整数。事实上，它指示 111，777。但是，“不可用少于十九个音节命名的最小整数”（“the least integer not nameable in fewer than nineteensyllables”）本身是一个由十八个音节组成的名称；因而， 不可用少于十九个音节命名的最小整数可以用十八个音节来命名。这是一个矛盾。②

  2. 超穷序数之中有一些是可以定义的，而另一些不能定义；因为可能定义的总数是■0，而超穷序数的数目超过■0。因而必定存在不可定义的序数，而在这些序数之中必定存在最小的一个。但是这一点被定义为“最小的不可定义的序数”。这是一个矛盾。①

  3. 理查德（Richard）悖论②类似最小不可定义序数的悖论。它是这样的：考虑所有的可通过有限多的词定义的十进位小数；令 E 是这些小数的类。那么 E 具有■0。项；由此其元素可以按照第一项、第二项、第三项⋯⋯顺序排列。令 N 是下列定义的数字：如果在第 n 个小数中的第 n 个数字是 p， 令在 N 中的第 n 个数字是 p＋1（或者 o，如果 p ＝9）。那么 N 与所有的 E 的元素完全不同，因为，不论有穷值 n 可能是什么，N 中的第 n 个数字完全不同于构成 E 的第 n 个小数中的第 n 个数字，因此，N 与第 n 个小数完全不同。然而，我们已经用有限的词定义了 N，因此，N 应当是 E 的一个元素。那么，N 既是又不是 E 的一个元素。

  4. 布拉里-弗蒂（Burali-Forti）矛盾③可以陈述如下：可以证明，每个良序的序列都有一个序数，达到并包括任意给定序数的序数序列比给定的序数要多出一个，而且（根据一些很自然的假定）所有序数的序列是（按大小排列）良序的。由此可以得出：所有序数的序列有一个序数，比如说是Ω。但是在这种情形下，所有包括Ω的序数的序列有序数Ω十 1，而这必定大于Ω，因而Ω不是所有序数的序数。

在上述所有的矛盾（它们仅仅是从大量的矛盾中选择出来的几例）中有一个共同的特点，我们可以将此特点描述为自我指称或自返性。爱匹门尼德的话在其自身范围之内必定包含自身。如果所有的类——只要它们不是自身的元素——都是 W 的元素，这一点必定也适用于 W；与此类似的关系矛盾也是同样道理。在名称和定义的情形，悖论产生于将不可命名性和不可定义性视作名称和定义中的要素。在布拉里-弗蒂悖论的例子里，其序数导致困难的序列是所有序数的序列。在每个矛盾里，都是对一类情形的所有事例说话，

② 这个矛盾是由博德莱安（BOdleian）图书馆 G.G.贝里（Berry）先生向我提供的。

① 参见柯尼希（K6rtig）：《论量和连续统问题的基础》，《数学年鉴》第 LXI 卷（1905）；A.C.狄策尼（Dixon）：

《论“良序”集》，《伦敦数学学会学报》第 2 辑，第 IV 卷，第 1 部分（1906）；和 E.w.霍布森（Hobson）：

《论算术的连续统》，同上书页。这三篇中的最后一篇文章提出的解答，在我看来是不充分的。

② 彭加勒（Poincaré）：《数学和逻辑》，《形而上学和道德评论》（1906 年 5 月），尤其是第 VII 和 IX

节；也参见皮亚诺（Peano）：《数学评论》，第 VIII 卷（1906 年）第 5 期，第 149 页以后。

③ 《超穷数本身的一个问题》，载《巴勒莫数学小组报告集》，第 XI 卷，1897 年。

而从所说的话中又产生了新的情况。当所有的事例与所说的话有联系时，这新的情况既属于又不属于这类事例。让我们仔细检查这些矛盾，看一看上述这一点是如何产生的。

  1. 当有人说“我正在说谎”时，我们可以这样解释他的陈述：“存在一个我正肯定的命题，而这个命题是假的。”所有“存在”什么什么这样的陈述可以视作对其矛盾的陈述总是真的所作的否定；因此，“我正说谎”就变成：“所有这样的命题都不是真的：或者我不肯定它们，或者它们是真的”；换句话说，“这对所有这样的命题 p 都不是真的：如果我肯定 P ，则 P 是真的。”这个悖论源于将这个陈述视作肯定了一个命题。困此这个命题必定进入这个陈述的范围。而从这一点可以明显地看出：“所有的命题”这一概念不合理；因为，否则必定有一些（有如上述的）命题，它们论及所有的命题，但是它们又不能无矛盾地包含在它们论及的那些命题之中。不论我们假定的命题总体是什么，关于这一总体的陈述又产生新的命题，而这些命题为了避免矛盾，必定处在总体之外。要扩大这个总体是没用的，因为论及这个总体的陈述范围同样在扩大。因而必定不存在命题的总体，而“所有的命题” 必定是无意义的短语。

  2. 在这个例子里，类 W 通过涉及“所有的类”而定义，结果又成了这些类中的一个。如果我们通过确定没有一个类是自身的一个元素这一点来寻求帮助，那么 W 就成为所有的类的类，而我们不得不断定，这个类不是自身的一元素，即不是一个类。如果在悖论所要求的意义上不存在像所有类的类这样的东西，上述这一点只是可能的。不存在这样一个类这一点来自以下事实：如果我们假定存在这样一个类，这个假定立即（正像上述的矛盾那样） 导致产生新的类，这些类处在所假定的所有的类的总体之外。

  3. 这个事例与（2）完全一样，它说明我们不能合理地谈论“所有的关系”。

  4. “不可用少于十九个音节命名的最小整数”（“The leastinteger not nameable in fewer than nineteen syllables”）牵涉到名称的总体， 因为它是“这样的最小整数：所有的名称或者不适用于它，或者有多于十九个的音节”。这里我们所以有矛盾，在于下面这个假定：一个含有“所有的名称”的短语本身是一个名称，尽管从这个矛盾看它似乎不能是假定存在的所有的名称中的一个。因而“所有的名称”是一个不合理的概念。

  5. 这个事例同样说明：“所有的定义”是一个不合理的概念。

  6. 这个事例正像（5）一样，要通过指出“所有的定义”是不合 理的概念来解决。因此，数 E 并未以有限的词定义；事实上它根本未加定义。①

  7. 布拉里-弗蒂矛盾说明：“所有的序数”是不合理的概念；因为， 否则按大小排列的所有序数就构成一个良序的序列。这个序列必定具有一个大于所有序数的序数。

因此，所有的矛盾都共同有这样一个关于总体的假定：如果它合理，它立即就由它自身所定义的新元素而扩大。

这使我们得出以下规则：“凡涉及一个集合的全部元素者，它一定不是这一集合中的一个元素”；或者相反：“如果假定某个集合有一个总体，且

① 参见本书著者的《逻辑悖论》，《形而上学和道德评论》，1906 年，9 月号，第 645 贝。

这个总体有由这个总体唯一可定义的元素，那么所说的集合就没有总体”。② 然而，上述原则在其范围内是纯粹否定的。它足以表明许多理论是错误

的，但是它不能说明怎样纠正这些错误。我们不能说：“当我说及所有的命题时，我是指除提及‘所有的命题’的命题之外的所有命题”；因为在这个解释里，我们提及了在其中所有的命题都被提及的命题，我们不能有意义地做到这一点。通过提及我们不会提及一件事物而避免提及这件事物是不可能的。与一个有长鼻子的人谈话时，你最好是这样说：“当我谈论鼻子时，我排除那些过分长的鼻子”：而要避免一个令人难堪的话题，这恐怕不是很成功的尝试。因此，如果我们不打算违反上述否定性的原则，构造我们的逻辑时有必要不提及“所有的命题”或“所有的性质”这类东西，甚至不必说我们在排除这类东西。这种排除必须自然地而又不可避免地来自我们的正面的学说，这些学说必须阐明“所有的命题”和“所有的性质”是一些无意义的短语。

我们遇到的第一个困难涉及到在“思维规律”这个奇妙的名称下众所周知的基本逻辑原则。例如，“所有的命题或真或假”已经是无意义的了。这句话如果是有意义的，它就会是一个命题，并受它自己的管辖。然而，必须找出某种代换物，否则，演绎推论的所有的一般性说明就是不可能的。

另一个更特殊的困难是由数学归纳法的具体例子表明的。我们希望能这样说：“如果 n 是有穷整数，n 具有所有这样的性质：它们为 0 所具有并且为所有具有这些性质的数的后继所具有”。但是，这里的“所有的性质”必须由某个其他的不遭到同样异议的短语代替。或许可以认为：即使“所有的性质”不合理，“O 所具有并且所有具有它们的数的后继所具有的所有性质” 也许是合理的。但是，事实上不是这样。我们将看到：具有“所有的性质， 它们如何如何”形式的短语涉及到所有性质，对此，“如何如何”可以被有意义地肯定或否定，而且，我们所讨论的不只是那些事实上具有任何特点的性质；因为，在缺乏具有这个特点的性质的一览表时，有关所有那些具有这个特点的性质的陈述必定是假言的，并且有这个形式“如果一性质具有所说的特点，那么如何如何，这一点总是真的”。所以，如果“所有的性质”是无意义的短语，那么数学归纳法乍看起来是不可能有意义地加以阐明的，正像我们后面将看到的，这个困难可以避免；现在，我们必须先讨论逻辑的规律，因为它们是更为根本的。

  1. 所有和任何

给定含有变项 X 的陈述，比如说“X＝X”，可以肯定这在一切实例中成立，或者不用确定所断定的是哪一例，就可以肯定任何一个实例。这个区别大致和欧几里得几何中一般阐明和特殊阐明之间的差别一样。一般的阐明告诉我们关于（比如说）所有的三角形的某些事情，而特殊的阐明只考虑一个三角形，并断定属于这个三角形的相同的事情。但是所思考的这个三角形是任何三角形，不是某个特定的三角形；因此，虽然在整个证明过程中只讨论了一个三角形，但这个证明却保持其一般性。如果说“令 ABC 是一三角形，

② 当我说一个集合无总体时，我是指关于其所有的元素的陈述是无意义的。而且我们将发现：使用这一原则需要在所有和任何之间作出区别。这一区别将在第 2 节中讨论。

那么，AB 和 AC 两边之和大于 BC 边”。我们说的是关于一个三角形而不是关于所有的三角形的情形；但是所说的这一个三角形完全是模糊的，因而我们的陈述也完全是模糊的。我们没有肯定任何一个确定的命题，却肯定了从假设 ABC 是某个三角形而得出的所有的命题中的一个非确定的命题。这种模糊肯定的概念非常重要。并且不把一个模糊的肯定与确定的肯定——同样事情在所有的情形中都成立——相混淆也是非常重要的。

在（1）断定一个命题函项的任何值和（2）断定这个函项恒真之间的差别出现在整个数学之中，正像在欧几里得几何中一般阐明和特殊阐明的差别一样。在数学推理的任一环节里，其性质正在被探究的那些对象是对某个命题函项的任何值的变目。下面这个定义可作为一个说明：

“我们称 f（x）对于 X＝a 是连续的，如果，对于每一不等于 0 的正数σ ，存在一个不等于 0 的正数∈，使得对于所有的数值上小于∈的δ的值，差f（a＋δ）—f （a）在数值上小于σ。”

这里，函项 f 是上述陈述对其有意义的任何一个函项；这个陈述是关于f 的，并且随 f 不同而不同。但这个陈述不是关于σ、∈或δ的，因为它们的所有的可能的值都涉及到了，没有一个未确定的值。（关于∈，“存在一个正数∈，使得如何如何”这个陈述是对于“如何如何”的否定适用于所有的正数所作的否定。）因此，一个命题函项的任何值被断定时，变目（例如上述中的 f）被称作真实变项；而当一个函项称为恒真或不恒真时，变目被称作表面变项。①因此，在上述定义中，f 是真实变项，而σ、∈、δ是表面变项。

当我们断定一个命题函项的任何值时，我们将只说我们断定这个命题函项。因此，如果我们以“X＝X ”的形式阐明同一律，则我们断定的是“X ＝ X”这个函项；就是说，我们断定的是这个函项的任何值。同理，当我们否定一个命题函项的实例时，也可以说我们否定的是命题函项。如果，不论选择什么值，这个值都是真的，那么我们可以唯一真实地肯定一个命题函项；同理，如果，不论选择什么值，这个值都是假的，那么，我们可以唯一真实地否定这个函项。因而，在某些值是真的而某些值是假的一般的情形中，我们既不能肯定又不能否定命题函项。①

如果φχ是命题函项，我们以“（x）·φχ”指示命题“φχ恒真”。同样地“（x，y）·φ（x，y）”意指“φ（x，y）恒真”，依此类推。因此，对所有值的断定和对任何值的断定之间的差别就是（1）断定（x）·φ χ和（2）断定φχ（χ是未确定的）之间的差别。后者与前者的不同在于： 后者不能被视为一个确定的命题。

我认为，断定φχ和断定（χ）·φχ之间的差别首先是由弗雷格加以强调的② 。他明确引人这一差别的理由也正是将它引入数学家的实践中的理

① 这两个词源于皮亚诺，他大致将它们用于上述意义。例如，参见《数学的陈述》 （图林 1903 年）第Ⅳ 卷第 5 页。（现在，“真实变项”和“表面变项”在数理逻辑中己分别通称为“自由变项”和“约束变项”。

——译者）

① 麦科尔先生谈到“命题”可分为三类：确定的、可变的和不可能的。我们可以接受这一划分并用于命题函项。一个可被断定的函项是确定的，一个可被否定的函项是不可能的，而所有的其他函项（在麦科尔的意义上）是可变的。

② 见弗雷格：《算术的基本规律》（耶拿，1893 年）第 1 卷，第 17 节，第 31 页。

由，亦即：演绎推论只能对真实变项生效，对表面变项无效。在欧几里得的证明中这一点很明显：（比如说）我们需要某一个三角形 ABC 进行推理，但这与三角形是什么无关。三角形 ABC 是一个真实变项；虽然它是任何的三角形，在整个论证中它一直保持是同一个三角形。但是，在一般的阐明中，三角形是表面变项。如果我们死抱住表面变项，我们便不能进行任何演绎推论， 而这就是为什么在所有的证明中总是使用真实变项的原因。举一个最简单的例子，假定我们知道“φχ恒真”，即“（χ）·φχ”，而且知道“φχ 总蕴涵φχ”，即“（x）·{φχ蕴涵φχ} ”。我们将如何推论出“Ψχ 恒真”即“（x）·Ψχ”？我们知道下面这一点总是真的：如果φχ真并且Ψχ蕴涵Ψχ，那么Ψχ真。但是我们没有前提使得Ψχ真且Ψχ蕴涵Ψχ； 我们知道的是Ψχ恒真和Ψχ总蕴涵Ψχ。为了作出推论，我们必须从“φ χ恒真”中得到φχ，而且从“φχ总蕴涵ψχ”中得到“φχ蕴涵ψx”， 这里的 x，作为任何可能的变目在这两者中是一样的。那么，从“φx”和“φ x 蕴涵ψx”，我们推论出“ψx”；因此ψx 对于任何可能的变目是真的，因而是恒真的。所以为了从“（x）·φx”和“（x）·{φx 蕴涵ψx}”推论出“（x）·ψx”，必须从表面变项过渡到真实变项，然后再返回到表面变项。一切数学推理是从对一个或多个命题函项的所有值的断定过渡到对其他某一命题函项的所有值的断定，例如就像从“所有等腰三角形底角相等过渡到“所有的底角相等的三角形是等腰三角形”，因此，上述程序是一切数学推理所需要的。在证明三段论第一格第一式和三段论的其他式中尤其需要这个程序。总之，一切演绎推论都要运用真实变项（或常项）。

或许可以假定：有可能完全取消表面变项，以使我们满足于甩任何代替所有，但这不是事实。以上述引用的一个连续函项的定义为例，在这个定义中，σ、∈和δ必定是表面变项。对于定义来说表面变项是常常需要的。举下列一个例子：“一个整数，除了 1 和它自身之外没有任何整因子时，被称作质数”。这个定义不可避免地以下面这一形式包含表面变项：“如果”是一个除了 1 或给定的整数之外的一个整数，则对于所有可能的 n 的值来说， n 不是给定的整数的因子”。

因此，所有和任何之间的差别在演绎推理中必不可少，并出现在全部数学中；虽然据我所知，在弗雷格指出这一点之前一直没有人注意到它的重要性。

对我们的目的来说，这个差别有一个重要用途。在命题或性质 这类变项的情形中，“任何值”是合法的，“所有的值”却不合法。因此我们可以说： “P 是真的或假的，其中 P 是任何命题”，但是我们不能说：“所有的命题是真的或假的”。其理由是：在前者中，我们仅仅肯定具有“P 是真的或假的”这形式的诸命题中一个未确定的命题，而在后者中，我们肯定（如果不同的话）一个新的命题，它与所有的具有“P 是真的或假的”这形式的命题是不同的。因此，在“所有的值”会导致自我指称的谬误的情形里，我们可以承认一个变项的“任何值”，因为对“任何值”的认可没有以相同的方式创造新的值。因而，虽然我们不能有意义地说逻辑的基本规律适用于所有的命题，但是可以用这些规律说明有关任何的命题。可以这样说，这些规律具有特殊的阐明，但不具有普遍的阐明。不存在一个是矛盾律的命题（比如说）； 只存在矛盾律的各种实例，对于任何命题 P，我们可以说：“P 和非 P 不能都真”；但是，不存在以下这样的命题：“每一命题 P 都是这样的命题：P 和

非 P 不能都真”。

同样的解释也适用于性质。我们可以谈到关于 X 的任意性质，但不能谈及所有的性质，因为会由此产生新的性质。所以，我们可以说：“如果 n 是一有穷整数，O 有性质φ，且只要 m 有这个φ ，m＋1 就有性质φ，那么由此得出：n 有性质φ。这里，我们不必指定φ；φ代表“任何的性质”。但是我们不能说：“一个有穷整数定义为具有下述每一性质φ的整数；这样的性质被 O 所具有并且被具有它们的数的后继者所具有。”因为这里主要考虑的是每一性质①，而不是任何性质；在使用这样一个定义时，我们假定它包含 了一个不同于有穷整数的性质，这个性质恰好是那种（正像我们看到的）从中产生出自我指称的矛盾的假定。

在上述例子中，有必要避免那些日常语言的联想，日常语言不适合表述我们要求的那种区别。这一点可以进一步说明如下：如果归纳法用来定义有穷整数，它就必须陈述有穷整数的确定性质，而不是模糊的性质。但是如果φ是真实变项，“如果 0 具有性质φ且具有它的数的后继者具有它，n 就具有性质φ”这个陈述就赋予 n 一个随着φ变化而变化的性质，这样一个性质不能用来定义有穷整数的类。我们希望说：“‘n 是一个有穷整数，意指‘不论性质φ可能是什么，如果 0 具有性质φ且具有它的数的后继者具有它，n 就具有性质φ’。”但是这里的φ已经变成表面变项。为了使φ仍是真实变项， 我们大概应当说：“无论性质φ可能是什么，‘n 是一个有穷整数’意指‘如果 0 具有性质φ且具有它的数的后继者具有它，n 就具有性质φ’。”但是在这里“n 是一个有穷整数”的意义随着φ变化而变化，所以这样一个定义是不可能的。这个例子说明了一个重要之点，即：“若一个真实变项出现于一个命题函项的断定之中，则它的辖域①决不小于全部命题函项。”这就是说， 如果我们的命题函项（比如说）是“φx 蕴涵 p”，关于这个函项的断定将意指“‘φx 蕴涵 p’的任何值是真的”，而不指“‘φx 的任何值是真的’蕴涵 p”。在后者中，我们实际上有“φx 的所有的值是真的”，而此 x 是表面变项。

  1. 概括命题的意义和值域

这一节必须先讨论所有这个词在其中出现的命题的意义，然后讨论这样的集合：这些集合容许涉及它们的所有元素的命题。

不仅把含有所有这样的命题而且还把含有有的（非确定的）这样的命题称为概括的命题，这是很方便的。“φx 有时真”这个命题等价于“非-φx 恒真”的否定；“有的 A 是 B”等价于“所有 A 不是 B”的否定，即“无 A 是 B”的否定。没有必要询问是否可能发现使“φx 有时真”区别于“非-φx 恒真”的否定的解释。就我们的目的而言，可以把“φx 有时真”定义为“非

-φx 总真”的否定。总之，这两类命题需要同一种解释，而且受同样的限制。每一类命题中都有表面变项；而正是表面变项的存在能构成我称之为概括命题的东西。

① 这和“所有的性质”没有区别。

① 一个真实变项的辖域是其“任何值”被论及的全部函项。因此，在“φx 蕴涵 p”中，X 的范围不是φx， 而是“φx 蕴涵 p”。

（注意：任何命题中不能有真实变项，因为含有真实变项的东西不是一个命题，而是一个命题函项。）这一节我们要问的第一个问题是：我们如何解释在“所有人都有死”这类命题中的所有这个词？乍一看去，或许有人认为这里不会有什么困难，“所有的人”是一个相当明确的概念，我们谈及的是所有的入，他们都有死。但是，对这种观点有许多反对意见。

  1. 要是上述观点正确，似乎就会是这样：要是没有人，“所有的人都有死”就不能是真的。然而，正如布莱德雷指出的①：即使没有人有侵犯行为， “侵犯者将被起诉”也可以完全真实；因而根据他的进一步论证，我们必须将这类命题解释为假言命题，意指“如果任何入侵犯，他将受到起诉”；也就是说，“如果 x 侵犯，x 将受到起诉”，其中 x 可能具有的那个值域（不论是什么）完全不限于那些实际上进行侵犯的人。同样，“所有的人都有死” 将意指“如果 x 是人，x 有死，其中 x 可以具有某一值域内的任何值”。这个值域是什么留待以后确定；但不管怎样，这个值域要比“人”宽泛，因为当 x 不是一个人时，上述假言命题也确实常常是真实的。

  2. “所有的人”是指称短语；鉴于我在其他地方详述的理由①，看来指称短语绝没有任何单独的意思，而只是作为成份进入这样的命题的语言表达式中：这些命题不含有相应于所说的指称短语的成份。这就是说，指称短语是通过它出现在其语词表达式中的命题来定义的。因而这些命题通过指称短语取得它们的意思这一点是不可能的；我们必须寻找一种对含有这类短语的命题的独立解释，并且不应使用这些短语来说明这类命题的意思。因而我们不能将“所有的人都有死”看成一个关于“所有的人”的陈述。

  3. 即便有“所有的人”这样一个对象，很显然，它也不是当我们说“所有的人都有死”时我们要将有死性所归属的那个对象，要是将有死性归属那个对象，就应当这样说：“所有的人是（单称的 is。——译者）有死的。” 因此，存在“所有的人”这样一个对象的假定无助于我们解释“所有的人都有死”。

  4. 似乎很明显，如果我们遇见某个可能是人也可能是伪装的天使的事物，那么在“所有的人都有死”的范围之内要断定的是“如果这是一个人， 他有死”。因此，正像在侵犯者的情形一样，以下这一点似乎也很显然：我们实际上是说“如果任何事物是一个人，它就有死”，而哪种事物是人这个问题并不属于我们断言的范围，因为，要是所有的实际上指称“所有的人”， 它就会属于了。

  5. 因此我们得到以下观点，即“所有的人都有死”的意思可以由下列某个形式更明确地陈述：“如果 X 是人，X 有死，这一点恒真。”这里，必须对恒这个词的范围进行考查。

  6. 很明显，恒这个词包含某些 X 不是人的情形，如在伪装的天使的情形中我们所看到的。既然，如果 X 是人，X 有死，那么 X 要是局限于 X 是人的情形，就可以推论出 X 是有死的。因而，由于恒的同样的意思，我们应当看出“X 有死这一点恒真”。但是很显然，倘若不修改恒的意思，这个新命题就是假的，虽然另一个是真的。

  7. 有人或许希望“恒”意指“对于 X 的所有值”。但是，如果“X 的

① 《逻辑》，第 11 章，第 1 部分。

① 《论指称》，见《心灵》（1905 年 10 月）。（本书第二篇论文。R.C.马什）

所有值”合理，就会包括“所有的命题”和“所有的函项”这些成分，而这些是不合法的总体。因而 X 的值以某种方式限定在某一合理的总体之内，这一点似乎把我们引向“论域”的传统学说，在这个学说中必须假设 X 存在。

  1. 我们应当具有恒的某个意思，它不一定表述在一个有关 X 的限定的假设之中，这一点十分重要。因为假设“恒”意指“每当 X 属于类 i 时”。这样“所有的人都有死”就变成“当 x 属于类 i 时，如果 x 是人，x 有死”； 即是说，“如果 x 属于类 i ，那么，若 x 是人，则 x 有死，这一点恒真”。但是，新的恒是什么意思呢？在这个新的命题中，比起以前将 x 限定在人这个类来，似乎没有更多的理由将 x 限定在 i 这个类。因此，如果我们不能发现对函项“如果 x 是人，x 有死”的可能的值的自然限制（即某种给定限制）， 而这种限制不需要从外部来施加，我们就将被引向一个新的更广的论域，如此等等，以至无穷。

  2. 显然，既然所有的人都有死，就不会有任何是“如果 X 是人，x 有死”这个函项的值的（假命题）。因为，只要这是一个命题，“x 是人”这个假设必定是一个命题，因此“x 有死”这个结论也必定是一个命题。但是， 如果这假设是假的，则假言命题为真；如果这假设是真的，则假言命题为真。因而不可能有“如果 x 是人，x 有死”这个形式的假命题。

  3. 由上可得出：如果要排除 x 的任何值，这任何值只能是这样的值： 对于这些值不会有“如果 x 是人，x 有死”这一形式的命题，即是说，这一用语对这些值是无意义的。正像我们在（7）里看到的，既然必定有被排除的x 的值，可见“如果 x 是人，x 有死”这个函项必定有确定的意义域①，这个意义域缺少 x 的所有可想像的值，虽然它超出那些是人的值。对 X 的限定因此也是对“如果 X 是人，x 有死”这个函项的意义域的限定。

  4. 我们得出结论：“所有的人都有死”意指“恒有如果 x 是人，x 有死”。这里的恒意指“对函项‘如果工是人，x 有死’的所有值来说”。这是一个对 x 的内在的限定，是由这个函项的性质给出的；而且这是一个不需要明确陈述的限定，因为一个函项的真不可能比对它的所有值来说更为一般。进一步说，如果这个函项的意义域是 i，那么“如果 x 是 i ，那么如果x 是人，x 有死”这个函项具有同一个意义域，因为，除非此函项的成分“如果 x 是人，x 有死”有意义，这个函项不能有意义。但是，这里的意义域正像曾经在“如果 x 是人，x 有死”这个函项里一样，又是不明确的；因此， 我们不能精确地作出意义域，这样做的尝试只能产生出一个新的命题，在这个新命题里，同样的意义域也是不明确的。

因而一般说来：“（x）·φx”的意思是“恒有φx”。尽管缺少精确性， 这一点也可以解释为“φx 恒真”，或者更明确地说：“所有的具有φx 形式的命题都是真的”，或“函项φx 的所有的值是真的”。①因此，这个基本的所有是“一个命题函项的所有的值”，而每一其他的所有都来自这个所有。而且，每一命题函项都具有一个确定的意义域。在这个域之内是这个函项对

① 称一个函项对于变目 x 是有意义的，如果此函项具有对于这个变目的值。因此，我门可以简略地说“φ χ是有意义的”，意指“函项φ具有对于变目 x 的一个值。”一个函项的意义域是由所有的对于此函项是真的变目和所有的对于此函项是假的变目 共同组成的。

① 这个观点在语言上方便的表述是：“对于 x 的所有可能的值而言，φx 是真的”，可以将一个可能的值理解为这样一种东西：φx 对于它是有意义的。

其具有值的一些变目。在这个变目的域之内，这个函项不是真就是假；在这个域之外，这个函项则无意义。

上述论证可以总结如下：

试图限定变项的重重困难是：这些限定自然地将自身表述为下列的假设，即变项属于某一个类，而且，当这样表述的时候，所产生的假设是不受预想限定的约束的。例如，让我们试图将变项限定于人，并断定，以此限定为条件，“x 有死”恒真。那么，恒真的东西是，如果 x 是人，x 有死；即使 x 不是人，这个假设也是真的。因此，一个变项绝不可能限定在某个域之内，如果，当变项在那个域之外时，这个变项出现在其中的命题函项仍然有意义的话。但是，如果当上述变项超出某一域之外，该函项就不再有意义的话，那么事实上变项就被限定在那个域，而无需作任何明确的类似的陈述。在发展逻辑类型时需要这一原则，我们很快要对此进行讨论。

现在我们开始看到“所有的某某”这样的短语何以有时是合理的而有时又是不合理的。假设我们说：“所有的具有性质φ的项具有性质ψ”。根据上述解释，其意思是，“φx 恒蕴涵ψx”。假定ψx 的意义域与ψx 的相同， 这个陈述就是有意义的；因此，给定任何确定的函项φx，就存在关于“所有满足φx 的项”的命题。但是，有时也会出现这样一种情况（正像我们后面会更充分地看到的）：一个在语言上似乎是一个函项的东西实际上是许多具有不同的意义域的同类函项。例如，这一点适用于“p 是真的”。我们将看到，它实际上不是一个关于 p 的函项，而是以 p 是某类命题为根据的不同的函项。在这样的情形下，表述这个模糊函项的用语，由于其模糊性质，可能在超出任何一个函项的意义域的变目值的整个集合中都是有意义的。在这样的情形下，所有这个词是不合法的。因此，如果我们试图说“所有的真命题具有性质φ”，即“‘p 是真的’恒蕴涵φp”，对于“p 是真的”可能的变目必定超出关于φ的可能的变目。因此，人们希望的一般陈述是不可能的。有鉴于此，做出关于所有的真命题的真正一般的陈述是不可能的，然而假设的函项φ实际上有可能像“p 是真的”一样模糊，而如果它碰巧具有像“p 是真的”一样的模糊性，我们也许总能给命题“‘p 是真的’蕴涵φp”一个解释。例如，如果φp 是“非-p 是假的”，就会出现上述的情形。于是，在这样的情形下，我们就得到一个有关所有命题的一般命题的外观，但这种外观是关于真和假这样的词的系统的模糊性造成的。（这种系统的模糊性来自命题的分层，这一点将在后面作解释。）在所有这类情形里，我们可以做出关于任何命题的陈述，因为那些模糊的词的意义将使自身适应于任何命题。但是，如果我们将命题变为一个表面变项，并且说出一些关于所有的事情， 那么我们必须假设，这些模糊的词存在某种可能的意义，尽管它可能是这些词所具有的各种可能的意义中的完全无关的意义。这就是所有这个词何以具有排除“所有的命题”的限定，又何以似乎存在关于“所有的命题”的真实陈述的原因。对类型论作出解释之后，这两点会更明显。

有人常常提出这样的看法①；为了可以合法地谈及一个集合的所有，所需的是这个集合应当是有限的。因此，“所有的人都有死”是合法的，因为人构成一个有限的类。但是，这实际上不是我们能够谈及“所有的人”的理由， 从上述讨论可以看出，最本质的不是有限性，而是可称作逻辑齐性的东西。

① 例如，由 M.彭加勒提出的看法，见《形而上学和道德评论》（1906 年 5 月）。

这个性质属于任意一个这样的集合：它们的项都包含在某一函项的意义域中。要不是由于隐藏在真和假这样通常的逻辑词中的模糊性，一个集合是否具有这个性质总是一目了然的；这种模糊性赋予那种实际上是具有不同意义域的许多函项的混合物一种单一函项的外观。

这一节结论如下：每一含有所有这个词的命题断定了某一命题函项恒真；这意指，所说的函项的所有的值都是真的，但不意指这个函项对所有的变目是真的，因为存在这样的变目，对此任何给定的函项都是无意义的，亦即没有值。因而，我们可以谈及一个集合的所有，当且仅当该集合构成某个命题函项的全部或部分意义域，意义域定义为有关函项对其有意义亦即有值的那些变目的集

  1. 类型的分恳

一个类型被定义为一个命题函项的意义域，即这个函项对其有值的变目的集合。如果一个表面变项出现在命题里，这个表面变项的值域就是一个类型，这个类型由涉及其“所有的值”的函项确定。将对象划分成类型是必不可少的，因为否则就会产生自我指称的谬误。正像我们看到的，这些谬误可通过叫做“恶性循环原则”的东西加以避免；这一原则是说“没有一个总体能包含通过自身定义的元素”。用我们的术语来说，这个原则就是：“包含一个表面变项的任何东西一定不是该变项的可能的值。”因此，包含一个表面变项的任何东西必定属于与此变项的可能的值不同的类型；我们可以说， 它属于更高的类型。因此，包含在一个表达式中的表面变项是决定其类型的东西。这是下列讨论中的指导原则。

包含表面变项的命题通过一些过程——概括过程总是其中之一，即以一个变项代入命题的一个项，并断定对该变项所有可能的值所产生的函项—— 从不包含这些表面变项的命题中产生出来。因而，当命题包含表面变项时， 此命题称为概括命题，我们将一个不包含表面变项的命题称作初等命题。很显然，含有表面变项的命题预设了其他命题，它是通过概括从这些其他的命题得到的；因而所有概括命题都预设了初等命题。在初等命题中，我们可以从一个或多个概念中区别一个或多个项；这些项不管是什么，都可被视为此命题的主词，而概念是对这些项所断定的谓词或关系①。我们把初等命题的项叫做个体；这些个体构成第一或者最低的类型。

实际上，无必要了解哪些对象属于最低的类型，甚至无必要了解那些出现在给定的语境之中的最低类型的变项是不是个体的或另外什么的类型。因为，实际上唯有变项的关系的类型才是有关的；因此，出现在一给定的语境中的最低类型就这个语境而论可称作是个体的类型。由此可知：上述关于个体的说明对于以下论述的真不是根本的；最根本的是在其中其他类型从个体产生、而个体类型可以建立的方式。

通过将概括过程用于初等命题中出现的个体，就得到新的命题。这一过程的合理性只要求：任何个体不应当是命题。这一点是由我们给个体这个词的意义保证的。我们可以将个体定义为没有复杂度的某一事物；那么，既然命题本质上是复杂的，个体显然不是命题。因而，将概括过程用于个体时，

① 见《数学的原则》，第 48 节。

我们不会冒出现自我指称谬误的危险。

我们将初等命题以及只包含个体作为表面变项的初等命题叫做一阶命题。它们构成第二逻辑类型。

这样我们有一个新的总体，一阶命题的总体。我们又能形成新的命题， 其中一阶命题作为表面变项出现。我们称这些命题为二阶命题；它们形成第三逻辑类型。比如说，如果爱匹门尼德断定“我所肯定的所有一阶命题都是假的”，那么他断定的是一个二阶命题；他可以真正地断定这个命题而不是真正地断定任何一阶命题，所以不会产生矛盾。

这一过程，可以无限地继续，第 n＋1 逻辑类型是由 n 阶命题组成的。n 阶命题是包含 n－1 阶、但不包含更高阶的命题作为表面变项的命题。如此得到的类型是相互排斥的。因而，只要我们记住：一个表面变项必定总局限于某一类型之内，就不可能出现自我指称的谬误。

实际上，函项的分层比命题的分层更方便。不同阶的函项可以通过代人的方式从不同阶的命题得到。如果 p 是一个命题，a 是户的一个成份，令“p/a； x”表示由于用 x 代 a（不论 a 出现于 p 中的何处）商得到的命题。那么，我们将 p/a 称作母式（matrix），它可以代替一个函项，它对变目 x 的值是 p/a； x，而对变目 a 的值是 p。同样地，如果“p/（a，b）；（x，y）”表示先用x 代 a、然后又用 y 代 b 的结果，我们可以用双重母式 p/（a，b） 代表双重函项。这样可以避免除个体和不同阶的命题之外的表面变项。母式的阶定义为在其中实行代入的命题的阶。我们把这样的命题称作原型（prototype）。母式的阶并不确定母式的类型：首先因为它不确定以其他变目所代入的那些变目的数目（即该母式是否具有 p/a、p/（a，b）或 p/（a，b，c 等形式）； 其次因为，如果此原型是大于一阶的，其变目可以是命题或者个体。但是很显然，一个母式的类型通过命题的分层总是可定义的。

虽然，用母式代替函项是可能的，而且这个程序使得对类型的解释在一定程度上变得简单了，但这在技术上却不方便。从技术上说，用φa 代替原型 p，用φx 代替 p/a；x，是方便的；因此，要是在使用母式的地方 p 和 a 作为表面变项出现，我们就有φ作为表面变项。为了使φ作为表面变项可以合理，有必要使它的值局限于某一类型的命题。因而我们继续推论如下。

一个其变目是个体，而且值总是一阶命题的函项，称为一阶函项。一个包括一阶函项或命题作为表面变项的函项称为二阶函项，以此类推。一个具有比其变目高一阶的一个变项的函项称为直谓（predicative）函项；有几个变项的函项，如果在这些变项中存在一个使函项成为直谓函项的变项，而所有其他的变项被赋值，也称为直谓函项。所以，一个函项的类型是由它的值的类型以及它的变目的数目和类型决定的。

函项的分层可以进一步解释如下。一个个体 x 的一阶函项由φ！x（ψ， x，θ，f，g，G 这些字母都可以用作函项）表示。所有一阶函项都不包含作为表面变项的函项；因而这类函项构成一个明确规定了的总体，在φ！X 中的φ可以转变成表面变项。任何一个φ在其中出现为表面变项且不存在比φ 有更高类型的表面变项的命题是一个二阶命题。这样的命题如果包含个体X，它就不是 X 的直谓函项；但是如果它包含一阶函项φ，它就是φ的直谓函项，记作 f！（ψ！■）。所以 f 是一个二阶直谓函项；f 的可能的值又形成一个明确规定了的总体，并且我们可以将 f 变成表面变项。这样又能定义三阶直谓函项，它们是一些对它们的值具有三阶命题和对它们的变目具有二阶

直谓函项的函项。我们可以这种方式继续下去。几个变项的函项的情况完全类似。

我们采用下列约定。任何语境中出现的最低类型的变项由小写拉丁字母

（除去 f 和 g，这两个字母仍用于函项）表示；变目 x 的直谓函项（其中 x 可以属于任何类型）由φ！x 表示（其中φ，x，θ，f，g，F 或 G 可以代替φ）；同样地，x 和 y 这两个变目的直谓函项由φ！（x，y）表示；x 的一般函项由φx 表示，而 x 和 y 的一般函项由 φ（x，y）表示。在 x 中，φ不能变成表面变项，因为它的类型是不确定的；但是在φ！x 中，φ是其变目属于某一给定类型的直谓函项，Φ就可以变成表面函项。

观察下面这一点十分重要：既然有不同的命题和函项的类型，既然概括只能在某一个类型之内运用，那么，含有“所有命题”或“所有函项”这些词的所有用语显然都是无意义的，虽然在某些情形里它们可以有无可非议的解释。矛盾是由于在找不到确切意思的情形中使用这类用语而产生的。

现在，如果我们回到这些矛盾上来，立即就会看出，通过类型理论可以解决某些矛盾。凡是提及“所有的命题”之处，我们必须代之以“所有的 n 阶的命题”，其中，我们给 n 什么值无关紧要，根本问题在于 n 应当有某个值。因此，当一个人说“我正说谎”时，我们必须将他的话解释为：“有一个我肯定的 n 阶的命题，且这个命题是假的”。这是一个 n＋1 阶的命题；因而，这个人不是在肯定 n 阶的任何命题，因而他的陈述是假的，然而这一陈述的假并不蕴涵“我正说谎”这个陈述的假似乎蕴涵的意思：他正作出一个真陈述。这就解决了说谎者悖论。

再看“用少于十九个音节不可命名的最小整数”。首先要注意到，“可命名的”必定指“通过某种指定的名称可命名的”，而且指定的名称的数目一定是有限的。因为，如果它是无限的，就没有理由说为什么应当有一个用少于十九个音节不可命名的整数，这个悖论便可消失。我们下一步可以假设， “用类 N 的名称可命名的”意指“是满足完全由类 N 的名称组成的某个函项的唯一的项”。我认为，这一悖论的解决在于下面这个简单的考察：“用类 N 的名称可命名的”本身绝不是用那个类的名称可命名的。如果通过给 N 添上“用类 N 的名称可命名的”这个名称而扩展 N，名称的基本结构（apparatus）就被扩大了；称新的结构为 N’，“用类 N’的名称可命名的”就不再是用类N’的名称可命名的。如果我们试囹扩展 N 直至它包含所有的名称，“可命名的”就变成（根据上述所说）“是满足完全由名称组成的某一函项的唯一的项”。但此处有一个函项是表面变项；因而我们被局限于某一类型的直谓函项（因为非直谓函项不能是表面变项）。因而我们不得不看到：为了避免悖论，通过这类函项表示的可命名性是非直谓的。

关于“最小的不可定义的序数”的情形近似于刚刚讨论的情形。正像前面所讲，这里的“可定义”必定和某一给定的基本观念的结构相关；因而有理由假设“用类 N 的观念可定义的”不是用类 N 的观念可定义的。以下这一点是真的：存在完全由可定义的序数组成的序数序列的某个确定的节，且具有最小的不可定义的序数作为它的界。这个最小的不可定义的序数通过对我们的基本结构稍作扩展是可定义的；但是，又将存在一个新的序数，它将是带有新结构的最小的不可定义的序数。如果我们扩展我们的结构，以便包括所有可能的观念，就不再有任何理由使人相信存在不可定义的序数。我认为这个悖论明显的力量很大程度上在于假设如果某类的所有序数是可定义的，

这个类必定也是可定义的，这样一来它的后继当然也是可定义的；但是，没有理由接受这个假设。

其他的矛盾，尤其是布拉里-弗蒂的矛盾，需要更深入的工作加以解决。5.可化归性公理

正像我们已经看到的，x 的命题函项可以是任何阶的函项；因而，关于“x 的所有的性质”的任何陈述都是无意义的。（“x 的性质”与“对 x 成立的命题函项”是一回事。）但是，如果数学是可能的，就应当有某个方法做出这样的陈述：它们通常等值于当我们（不精确地）谈及“x 的所有的性质” 时心中所想之物。这一点绝对有必要。这一必要性表现在许多方面，尤其和数学归纳法关系密切。通过使用任何而不用所有，我们可以说，“任何这样的性质即被 0 具有并且被具有它的所有数的后继所具有的性质为所有有穷数所具有”。但是，我们不能继续说：“一个有穷数是具有所有这样性质的数： 它们 0 所具有且被具有它们的所有数的后继所具有。”如果我们将此陈述局限于数的所有一阶性质上，我们便不能推出：此陈述对二阶性质成立。例如， 我们将不能证明：如果 m、n 是有穷数，则 m＋n 也是有穷数。因为，根据以上定义，“m 是有穷数”是 m 的二阶性质；因而，m＋0 是有穷数以及如果 m

＋n 是有穷数，那么 m＋n＋1 也是有穷数这个事实不许可我们通过归纳法得出 m＋n 是有穷数。很明显，这种状况使得许多部分的初等数学成为不可能。

另一个由整体和部分的非相似性给出的有穷的定义处境也不好。这个定义是：“一个类称为有穷的，如果其前域是这个类而其后域被包含子这个类的每一个一一关系具有整个类作为它的后域。”这里出现了一个可变关系， 即关于两个变元的一个可变函项；我们必须取这个函项的所有值。这就要求此函项应当属于某个指定的阶；但是，任何指定的阶都不能使我们推演出许多初等数学命题。

因而，如果可能，我们必须找出在不影响命题函项的值的真或假的情况下化归命题函项的阶的某种方法。这似乎是常识通过对类的承认而实现的。给定属于任何阶的任何命题函项φx，对于所有 x 的值而言假定这一点等价于一个具有“x 属于类 a”形式的陈述。这个陈述是一阶的，因为它没有提及“某一类型的所有的函项”。确实，这个陈述唯一在实践上优于原来的陈述φx 之处在于它是一阶的。假定实际上存在像类这样的东西，这并没有什么好处， 而关于不是自身元素的类的矛盾表明：如果存在类，它们必定是与个体根本不同的东西。我认为，类适合的主要目的，以及使类有语言上的方便的主要理由是类提供一种化归命题函项的阶的方法。因此，我不假定任何似乎包含在常识中的对类的认可的东西，除非每一命题函项就其所有的值而言都等值于某一直谓函项。

关于函项的这个假定不论它们的变目的类型可能是什么，都是适用的。令Φx 是有任何阶的变目 x 的函项，变目本身可能是一个个体或者任何阶的函项。如果φ是比 x 高一阶的，我们用φ！x 这一形式写出这个函项；在这种情形下，我们称φ是直谓函项。因此，个体的直谓函项是一阶函项；而对于变目的更高的类型来说，直谓函项代替了一阶函项关于个体所起的作用。然后我们假定，每个函项对于所有它的值来说都等值于同一变目的某个直谓函项。

8 这个假定看来是通常关于类的假定的本质所在；不管怎样，它保留了我们有用的那些类，其数目之少，足以避免由于不愿勉强认可类而易于引起的那些矛盾，我们称这一假定为类的公理，或者可化归性公理。

同样我们假定：两个变项的每一函项，就其所有的值而言，等值于这些变项的直谓函项；这里两个变项的直谓函项是这样的函项：在两个变项中存在一个变项，对于它而言函项成为直谓函项（在我们先前的意义上），这时赋予另一变项一个值，这个假定看来应解释为：关于两个变项的任何陈述规定它们之间的一种关系，我们称这个假定为关系的公理或可化归性公理。

在处理两项以上的关系时，对三个、四个⋯⋯变项也需作类似的假定。但是，就我们的目的来说，这些假定并非必不可少，所以本文不做这些假定。

借助于可化归性公理，关于“所有的 x 的一阶函项”或者关于“a 的所有直谓函项”的陈述产生大部分若没有这一公理就需要“所有的函项”的结果。就像数学中必然有的情形一样，关键之点是，这类结果是在所涉及的函项值的真或假是唯一相关的所有情形中取得的。因此，例如，现在只需要对数的所有直谓函项陈述数学归纳法；而它是从对任何阶的任意函项都成立的类的公理得到的。或许有人认为导致我们发明类型分层的那些悻论现在会再次出现。但并非如此，因为在这些悖论中，或者超出函项的值的真或假的某些东西是相关的，或者那些出现悖论的表达式即使在引人可化归性公理之后还是无意义的。诸如“爱匹门尼德断定φx”这样的陈述不等值于“爱匹门尼德断定φ！x”，尽管φx 和φ！x 是等值的。因此，如果企图将所有的命题都包括在我可以虚假地肯定的命题之中，那么，“我正说谎”这句话还是没有意义，而如果将这句话局限于 n 阶的命题，则它不受类的公理的影响。因此，命题和函项的分层正是在存在着要加以避免悖论的情形中才是需要的。

  1. 符号逻辑的初始观念和命题符号逻辑中需要的初始观念表现为下列七种：

  1. 一个变项 x 或几个变项 x，y，z，⋯的任何命题函项。这由φx 或φ（x，y，z，⋯）表示。

  2. 一个命题的否定。如果 p 是这个命题，它的否定由～p 表示。

  3. 两个命题的析取或逻辑和；即“这个或那个”。如果 p，q 是两个命题，它们的析取由 pvq①表示。

  4. 命题函项的任何值的真，即φx 的真，x 不是特指的。

  5. 命题函项的所有值的真。由（x）·φx 或（x）：φx 表示，或者由使此命题去掉括号所必需的任意多的圆点表示。②在（x）·φx 之中，我们称 x 是表面变项，而当φx 被肯定（x 不是特指的）时，我们称 x 是真实变项。

  6. 任何类型的一个变目的任何直谓函项；根据情况，由φ！xorφ！

① 以前刊登在本刊的一篇文章里，我将蕴涵而不是析取看作不加定义的。这两者之间的选择是兴趣问题； 现在我选择析取，因为它使我们能够减少初始命题的数目。（参见《蕴涵理论》，《美国数学杂志》，1906 年，第ΧΧⅧ卷，第 159—202 页。——LC.马什]

② 圆点的这一用法源于皮亚诺（Peano），怀特海先生的《论基数》（《美国数学杂志》第ⅩⅩⅧ卷）和《论物质世界的数学概念》（《美国哲学学报》第 CCV 卷，第 472 页）对此作了充分解释。

aorφ！R 表示。如果 x 是个体或命题，x 的直谓函项就是其值是比 x 高一层的类型的命题的函项，或者如果 x 是函项，它就是 x 的值的函项。可以这样来描述：在直谓函项之中，表面变项（如果有）都是具有和 x 一样的类型或较低类型；而一个变项，如果它可以作为 x 的变目，或者作为 x 的变目的变目等等有意义地出现，就具有比 x 低的类型。

  1. 断定；即断定某个命题是真的，或者某个命题函项的任何值是真的，这需要将一个实际上被断定的命题与一个仅仅被考虑的命题加以区别，或者与作为某个其他命题的假设而提出的命题加以区别。我们用置于被断定东西之前的符号“+”及去掉被断定东西的括号所需的足够圆点表示断定。①在继续讨论初始命题之前，我们需要一些定义。在下列定义，以及在初始命题中，字母 p，q，r 用于指谓命题。

p⊃q·=·～p∨q 定义。②

这个定义说的是“p⊃q”（读作“p 蕴涵 q”）的意思是“p 假或者 q 真”。我不想断言“蕴涵”不能有其他的意思，只是认为在符号逻辑中将这个意思给与“蕴涵”是最便利的。在一个定义中，等号和字母“Df”（“定义”） 可以被视作一个符号，它们共同表示：“被定义为⋯⋯的意思”。不带有“定义”的等号具有另外的意思，对此很快要定义。

p·q·=·～(～p∨～q) 定 义 。

这定义了 p 和 q 两个命题的逻辑积，即“p 和 q 二者都真”。上述定义是说，这意谓“p 假或者 q 假，这一点是假的”。同样地，这里没有给出可以给“p 和 q 二者都真”的那个唯一的意思，而给出是就我们的目的而言最方便的意思。

p≡q·=·p⊃q·q⊃p 定义。

那就是说，“p≡q”可以读作 p 等值于 q”，它意指“p 蕴涵 q 且 q 蕴涵p”；当然，由此又得出 p 和 q 同真或者同假。

(∃x)· Φx·=·～(x)·～Φx 定义。

这定义了：“至少有一个 x 的值，对它而言φx 真”。我们将它定义为“φx 恒假，这一点是假的”。

x=y·=:(Φ):Φ!x·⊃·Φ!y 定义。

这是关于同一性的定义。它说明，当被 x 满足的每一直谓函项也被 y 满足时，x 和 y 就被说成是同一的。从可化归性公理可以得出：如果 x 满足φx

（φ是直谓的或非直渭的任何函项），那么 y 也满足φy。下列这些定义不太重要，引入它们的唯一目的是简化。(x,y)·Φ(x,y)·=:(x):(y)·Φ(x,y) 定义，

(∃x,y)·Φ(x,y)·=·(∃x):(∃y)·Φ(x,y) 定义，

Φx,⊃x·ϕx:=:(x):Φx·⊃Φx 定义

Φx,≡x·ϕx:=:(x):Φx·≡·Φx 定义，

Φ(x,y)·⊃x,y·Φ(x,y):=:(x,y):Φ(x,y)·⊃·Φ(x,y) 定义， 以及对任意多的变项成立的诸如此类的公式。

① 这个符号，以及它表述的那种观念的引入都源于弗霄格。参见他的《概念文字》（哈雷，1879 年）第 1

页，和《算术的基本规律》（耶拿，1893 年）第 1 卷，第 9 页。

② “定义”在原公式中用“Df”表示。——译者

下列是所需要的初始命题，（在 2、3、4、5、6 和 10 之中，p，q，r 代表命题。）

(1)由真前提蕴涵的命题是真的。(2)+:p∨p.⊃.p。

(3)+:q.⊃.p∨q。

(4)+:p∨q.⊃.q∨p。

(5)+:p∨(q∨r).⊃.q∨(p∨r)。

(6)+:q⊃r.⊃:p∨q.⊃.p∨r。

(7)+:(x).φx.⊃.φy

即，“如果Φ■的所有的值是真的，那么φy 也是真的，这里的φy 是任何值”。

①

  1. 如果φy 是真的（这里φy 是φ■的任何值），那么（x）·φx 是真的。这一点不能用我们的符号表述；因为，如果我们写出“φy. ⊃.（x） φx”，就意指“φy 蕴涵：φ■的所有值是真的，这里的 y 可以有适当类型的任意值”，但情况一般并非如此。我们的意思是要肯定：“如果不管如何选择 y，φy 是真的，那么（x）·φx 是真的”，而用“φy.⊃.（x）·φx” 表述的是：“无论怎样选择 y 如果φy 是真的那么（x）·φx 是真的”。这是完全不同的陈述，而且一般是假陈述。

  2. +：（x）·φx.⊃.φa，其中 a 是任何确定的常项。

这个原则实际上是像存在 a 的可能的值同样多的不同的原则。即是说， 它说明（例如），凡对所有个体成立的对苏格拉底也成立，对柏拉图也成立， 等等。这个原则是这样的：一般的规则可以适用于特殊的情形；但为了给出其范围，有必要提及那些特殊的情形，因为不这样，我们就需要这个原则本身使我们确信：一般的原则可以适用于特殊的情形这个一般的规则可以适用于（比如说）苏格拉底这个特殊的情形。因此，这个原则与（7）不同；该原则作出一个关于苏格拉底、柏拉图或其他某个确定常项的陈述，而（7）则作出关于变项的陈述。

上述原则从不在符号逻辑或纯粹数学中使用，因为所有这些命题都是全称的，即使我们似乎具有一个严格的特例（如“一是一个数”），若填密考查，结果这也并非如此。事实上，使用上述原则是应用数学的显著标志。所以，严格说起来，我们可以从我们的初始命题表中删掉这个原则。

（10）+:.(x).p∨φx.⊃:p.∨.(x).φx；

即是说，“如果‘p 或φx’ 恒真，那么或者 p 真，或者φx 恒真”。

  1. 当不论 x 是什么变目，f（φx）为真，并且不论 y 是什么可能的变目，F（φy）为真时，那么，不论 x 是什么可能的变目，f(φx).F(φx) 为真。

这是“变项的同一（identification）”公理。两个独立的命题函项， 已知每个总是真的，而且我们希望推论出它们的逻辑积也总是真的，这时就需要以上公理。这个推论只有在这两个函项采取同一类型的变目时才是合理的，否则它们的逻辑积是无意义的。在上述公理中，x 和 y 必须是同一类型的，因为这两者都作为φ的变目出现。

  1. 对任意可能的 x 来说，如果φx·φx⊃φx 为真，那么φx 对任一

① 相对于函项的这个或那个值，我们用φx 这个记法指示函项本身，这是很方便的。

可能的 x 也是真的。

需要这个公理是为了使我们确信：在这个假设情形中的φx 的意义域与φx·φx·⊃φx.⊃.φx 的意义域是一样的，事实上这二者和φx 的意义域是一样的。我们知道，在假设情形里：每当φx·φx⊃φx 和φx·φx⊃φx.⊃. φx 工都有意义时，φx 是真的。但我们不知道：倘若没有公理，每当φx 有意义时，φx 是真的。因而需要这个公理。

例如，在证明下列命题时，需要公理（11）和（12）： (x).φx:(x).φx⊃ϕx:⊃.(x).ϕx。

由（7）和（11），

+:.(x).φx:(x).φx⊃φx:⊃:φy.φy⊃ϕy。由（12）可得，

+:.(x).φx:(x).φx⊃ϕx:⊃:ϕy。由（8）和（10）导出上面要证的结果。

（13）+:.(∃f):.(x):φx.≡.f!x。

这是可化归性公理。它说的是：给定任何函项φ■，存在一个直谓函项f！■使得 f！x 总等值于φx。 注意：既然以“（∃f）”打头的命题根据定义是以“（f）” 打头的命题的否定，上述公理就涉及思考“x 的所有直谓函项”的可能性。如果φx 是 x 的任何的函项，我们就不能作出以“（φ）” 或“（∃φ）”打头的命题，因为我们不能考虑“所有的函项”，只能考虑“任何的函项”或者“所有的直谓函项”。

（14）+:.(∃f):.(x,y):φ(x,y).≡.f!(x,y)。这是关于双重函项的可化归性公理。

在上述诸命题中，x 和 y 可以是任何类型。在其中涉及类型理论的唯一方式在于：在（11）中当两个真实变项都作为同一函项的变目出现，因而它们具有同样的类型时，（11）只允许我们将在不同的内容中出现的真实变项视为同一的，而且，在公理（7）和公理（9）中，y 和 a 必须各自具有对Φ

■的变目来说合适的类型。这样，比如说假定我们有一个（φ）.f！（φ！

■，x）形式的命题，它是 x 的二阶函项。那么根据（7），

这里的ψ！■是任何一阶函项。但是，不能将（φ）.f！（φ！■，x）处理为好像它是 x 的一阶函项，也不能将这个函项视作上述φ！■的可能的值。正是这种类型的混淆产生了说谎者悸论。

再看那些不是自身的元素的类。显然，既然我们将类与函项视为同一①, 就不能有意义他说任何类是或不是自身的元素；因为一个类的元素是这个类的变目，而一个函项的变目总具有比这个函项低的类型。如果我们问“所有的类的类的情形又如何呢？它难道不是一个类，因而是自身的一个元素吗？”回答是两方面的。首先，如果“所有的类的类”意指“任一类型的所有的类的类”，那么不存在这样的概念。第二，如果“所有的类的类”意指“具有类型 t 的所有的类的类”，那么这是一个具有比 t 高一类型的类，因此不是它自身的元素。

所以，尽管上述初始命题同样适用于所有的类型，它们却不能使我们引出矛盾。因而在任何演绎过程中，绝对无必要考虑变项的绝对的类型；唯一

① 这种同一常要作一点修改，下面很快就会解释。

必要的是注意：出现在命题中的不同的变项具有适当的相对的类型。这就排除了产生我们的第三个矛盾的那类函项，即：“在 R 和 S 之间有关系 R”。因为在 R 和 S 之间的关系必然具有比这两者都高的类型，因此该函项是无意义的。

  1. 类和关系的初等理论

在其中出现函项φ的命题，就其真值而言，可以依赖个别的函项φ，或者只依赖φ的外延，即能满足φ的变目。我们称后一类的函项是外延函项。因此，例如“我相信所有的人都有死”也许不等值于“我相信所有的无羽毛的二足动物都有死”，即使人与无羽毛的二足动物具有相同外延；因为，我也许不知道它们的外延是一样的。但是“所有的人都有死”必定等值于“所有的无羽毛的二足动物都有死”，如果人与无羽毛的二足动物外延一样。因此“所有的人都有死”是“x 是人”这个函项的一个外延函项，而“我相信所有的人都有死”不是一个外延函项；我们将不是外延函项的函项称作内涵函项。与数学有特殊关系的函项的函项都是外延的。φ！■这一函项的外延函项 f 的记号是

从函项φ！■的任意的函项 f，可以得到相关的外延函项如下：

f{■（ψZ）}这个函项实际上是ψ■的函项，尽管不是像 f(ψ■)一样的函项，假定后者是有意义的。但是，将 f{■（ΦZ）} 技术上处理为仿佛它有一个变目■(ψz)是十分方便的，我们将■(ψz)称作“由ψ规定的那个类”。我们得到

由此可知，将上述给出的同一性定义用在虚构的对象（zφ）z 和■（ψz） 时，就会得到这个公式及其逆（其逆也能得到证明）是类的显著特性，因而， 将■（φz）处理为由φ规定的类是合理的。以同样的方式可提出

这里，关于φ！（■，■）和φ！（■，■）之间的差异我们有必要说几句话。我们将采用下列约定：当函项（相对于它的值来说）由一种涉及■和■ 或者字母表中其他任何两个字母的形式表示时，通过用 a 代■和用 b 代■可以得到这个函项对于 a 和 b 的变目的值；即是说，第一次提及的变目要代入字母表中较早出现的字母，和第二次提及的变目要代入字母表中较后出现的字母。这样就足以区分φ!(■,■)和φ!(■,■)；例如：

φ!(■,■)对变目 a，b 的值是φ!(a,b)

φ!(■,■)对变目 b，a 的值是φ!(b,a)

φ!(■,■)对变目 a，b 的值是φ!(b,a)

φ!(■,■)对变目 b，a 的值是φ!(a,b) 我们给出

由此得出

x∈φ!■.=.φ!x 定义，

又由可化归性公理我们得到

由此得出

不管 x 是什么，这一点都成立。现在假设我们想讨论■（ψz）∈φf{■ (φ!z)}。根据上述可得出

由此得出

其中 x 是对于任意具有φf{■（φz）}形式的表达式而言的。我们给出

这里的 cls 有一个依赖表面变项的逻辑类型的意思。因此，例如“cls∈ cls” 这个命题——它是上述定义的一个结果——要求：“cls”在其出现的两个地方应当有不同的意思。“cls”这个符号唯一只能用于无必要知道其逻辑类型的情形；它具有一种使其适应情况的模糊性。如果我们引入一种不可定义的函项“Indiv！x”，其意思是“x 是个体”，则我们可以给出

Kl 是一个明确的符号，意思是“个体的类”。

我们将使用小写希腊字母（除了∈、φ、ψ、x、θ之外）代表任何逻辑类型的类，即代表具有■（φ！z）或■（φz）形式的符号。

从这一点开始，类理论很像在皮亚诺的体系中一样进行展开；■（φz） 取代 z∋（φz）。我也给出

和皮亚诺的体系一样，其中Λ是空类。Ξ，Λ，V 这些符号就像 cls 和∈一样是模糊的，当有关的类型以另一种方式被指示出来时，它们只取得一个确定的意思。

我们以完全相同的方式处理关系，给出

（这个次序是由 x 和 y 的字母次序以及 a 和 b 的排印次序确定的）；由此可得

由可化归性化理,又得出

我们用大定拉丁字母作为■■ϕ(x,y)这些符号的缩定,得到其中

我们给出

我们看到：对于类所证明的一切对于二元关系都有其类似的东西。根据皮亚诺，我们给出

这定义了两个类的积或公共部分；

这定义了两个类的和；以及

这定义了一个类的否定。同样，对于关系我们给出

  1. 摹状函项

迄今我们讨论的函项，除了少数几个诸如 R■S 这样的个别函项之外，都是命题函项。但是，普通的数学函项 x2，sin x，logx，等等都不是命题函项。这类函项总是指“对 x 具有如此这般关系的那个项”。鉴于这个理由， 可以称它们为摹状函项，因为，它们通过某一个项对它们的变目的关系而摹状了这个项，因此，“sinл/2”摹状了数 1；然而“sinл/2”出现在其中的命题却和代入 1 而得到的命题不一样。这可以从“sinπ/2＝1”这个命题看出来。这个命题传达了有价值的信息，但“1＝1”却不足道，摹状函项没有自身的意义，只是作为命题的成份；而这一般适用于“具有如此这般特性的那个项”形式的短语。因而，在研究这类短语时，我们必须定义这些短语出现在其中的任何命题，而不是这些短语本身①。因此这导致我们给出下列定义，其中的“（lx）（φx）”要读作“满足φx 的那个项 x”。

ϕ{(tx)(φx)}.=:(∃b):φx.≡x.x=b:φb

这个定义说，“满足φ的那个项满足φ是指“有一个项 b，使得φx 是真的，当且仅当 x 是 b 且φb 是真的”。因此，如果不存在某某或存在几个某某，关于“那个某某”的所有命题就将是假的。

一个摹状函项的一般定义是

R‘y=(tx)(xRy) 定义；

这就是说，“R‘y’是指“对 y 具有关系 R 的那个项”。如果有几个项或者无项对 y 具有关系 R，关于 R‘y 的所有命题一定是假的。我们给出

E!(tx)(φx).=:(∃b):φx.≡x.x=b 定义。

这里“E！（tx）（φx）”可以读作“有一个诸如 x 的项满足φx”或者“满足φx 的 x 存在”。我们有

+:.E!R‘y.≡:(∃b):xRy.≡x.x=b。

R‘y 中的倒逗号可以读作“的（of）”。因此，如果 R 是父亲对儿子的关系， “R‘y” 就是“y 的父亲”。如果 R 是儿子对父亲的关系，关于 R‘y 的所有命题是假的，除非 y 有一个儿子且不多于一个儿子。

从上述看出，摹状函项是从关系中得出的。现在要定义的这些关系鉴于它们产生摹状函项因而尤其重要。

这里 Cnv 是“逆”（converse）的缩写。它是一个关系对其逆的那种关系。例如，较大对较小的关系，父母身分对儿子身分的关系，前对后的关系等等。我们有

为了有更短且常常更简单的记法，我们给出

① 参见前面提到的文章《论指称》，其中对此观点给出详细的说明。

下一步我们希望有对 y 具有关系 R 的诸项的类的记法。为此，我们给出由此得出

同样我们给出

由此得出

下一步我们需要 R 的前域（即对某事物具有关系 R 的诸项的类），R 的后域（即同某事物具有关系 R 的那些项的类），以及 R 的场，它是 R 的前域和后域的和。为此目的，我们定义 R 的前域、R 的后域以及 R 的场对 R 的关系。这些定义是：

注意：上述第三个定义只有在 R 是我们可以称作一种齐性

（homogeneous）关系的东西时才有意义；即这样一种东西，其中如果 xRy 成立，那么 x 和 y 具有相同的类型。否则无论我们怎样选择 x 和 y，xRy 和yRx 中一定有一个是无意义的。这种意见在考虑布拉里。弗蒂的矛盾时是非常重要的。

借助上述的定义我们得到

最后这个定理只有在 R 是齐性关系时才有意义。“D‘R”可读作“R 的前域”；“■‘R”读作“R 的后域”，而“C‘R”读作“R 的场”。字母 C 被选作“场”（campus）这个词的开始字母。

其次，我们需要下述的一种关系的记法：即类 a（包含在 R 前域中的一个类）对之有 R 关系的那些项的类与类 a 的关系，也需要下述的一种关系的记法；即同类β（包含在 R 的后域中的一个类）的某一分子有关系 R 的那些项的类与β的关系。对后者我们

给出因此

所以，如果 R 是父亲对儿子的关系，而β是伊顿公学学生的类，那么 R∈‘β

就是“伊顿公学学生的父亲们”的类；如果 R 是“小于”关系，而β是对于n 的整数值具有 1－2－n 这一形式的真分数的类，那么 R∈‘β就是比有 1－2

－n 这一形式的某个分数更小的分数的类；即是说，R∈‘β是真分数的类。上句提到的另一种关系是（■）∈。

我们给出另一种更方便的记法

R“β=R∈‘β 定义

R，S 这两个关系的关系积是在 x 和 z 之间成立的关系，只要有一个 y 的项使得 xRy 和 yRz 者都成立。关系积用 R|S 表示。

因此

我们还给出

R2=R\R 定 义 。 类的类的积与和是经常需要的。它们定义如下：

同样，关于关系我们给出

我们需要其唯一元素是 x 的类的记法，皮亚诺使用的是τx，因而我们用τ ‘x。皮亚诺证明（弗雷格对此作过强调）这个类不能等同于 x。根据通常的类的观点，这种差异的必要性一直是神秘的，但根据上述提出的观点，这种必要性变得很明显。

我们给出由此得出

和

即是说，如果 a 是只有一个元素的类，那么，τ‘a 是那个唯一的元素①。对包含在所给的类中的类的类，我们给出

Cl‘α=β(β⊂α) 定义。

现在，我们可以开始研究基数和序数，以及这些数怎样受到类型理论的影响。

  1. 基数

一个类 a 的基数定义为所有的相似于 a 的类的类，当两类之间具有一一关系时，这两个类是相似的。一一关系的类由|→|表示，其定义如下：

相似性由 Sim 表示；其定义是

那么，由定义，Sim' α 是α的基数；我们用 Nc‘α表示这一点；由此我们给出

由此得出

Nc =Sim

Nc' α =Sim' α

定义 ο

定义 ο

q 们用 NC 表示基数的类；因此

NC=Nc“cls 定义。 0 定义为这样的类：其唯一的元素是空类∧，因而

0=τ‘Λ 定义。

1 的定义是

1=α{(∃c):x∈α≡x.x=c} 定义。

根据定义，0 和 1 是基数这一点很容易证明。

然而，可以看出，根据上述的定义，0、1 和其他所有的基数都像 cls 一样是一些模糊的符号，并且，有多少类型，它们就有多少意义。首先是 0，0 的意义决定于∧的意义，∧的意义根据它是空类的那个类型而有所不同。因

① 因此 I'a 就是皮亚诺称作 ta 的东西。

此，正像有许多类型一样，也有许多 0；这同样适用于所有其他的基数。但是，如果两个类α，β属于不同的逻辑类型，可以说，它们具有同样的基数， 或者说，其中一个具有比另一个更大的基数，因为，一一关系可以在 a 的元素和β的元素之间成立，即使α和β属于不同的类型。例如，令β作为τ“α； 它是这样的一个类：其元素是由 a 的单个元素组成的类。那么τ“α比α有更高的类型，但是它和α相似，由一一关系τ而与α互相关联。

类型的分层在加法方面有很重要的结果。假定我们有α项的类和β项的类，这里α和β是基数；要把这两个类加在一起得到α和β项的类或许完全不可能，因为，如果这些类不是同一类型的，则它们的逻辑和是无意义的。在只考虑有限多的类的地方，我们可以避免这样的实际结果，这是由于我们总可以将运算用于一个使其类型升至所需程度的类，而不改变其基数。例如， 给定任意类α，类τ“α具有相同的基数，但却比α高一个类型。因而，给定任何有限多的具有不同类型的类，可以将所有这样的类上升到我们可称之为有关的所有类型的最小公倍数的那个类型；而且可以表明，这可以通过这样的方式做到这一点，使得所得出的类没有共同的元素。然后我们可以构成如此得到的所有的类的逻辑和，而这个和的基数是原来的类的基数之算术和。但是这一方法却不能适用于具有上升类型的类的无限序列。鉴于这一理由， 现在我们不能证明一定存在无限的类。因为假定在这个宇宙中只存在 n 个个体，其中 n 是有限的，那么就会有 2n 个个体的类，和 22n 个个体的类的类， 等等。因此，每一类型中项的基数会是有限的；尽管这些数的增长超上任何给定的有限数；也不会有什么方法使它们相加以至得到一个无限的数。因而看来我们需要一个公理，大意是说：没有一个有限的个体类能包含所有的个体，但是，如果有人愿意假定宇宙中个体的总数是（比如说）10367，那么似乎也没有驳斥他这个意见的推论方法。

从上述的推理方式看来，很显然，类型学说避免了关于最大基数的所有的困难。每一类型中有一个最大的基数，即这个类型整体的基数；但是这个基数总要被后一个类型的基数所超越，因为，如果α是一个类型的基数，而后一类型的基数是 2α，那么就像康托尔证明的一样，它总大于α。既然不存在不同的类型相加的方法，我们就不能谈及“具有任何类型的所有的对象的基数”，因此也就不存在绝对的最大的基数。

如果承认没有一个有限的个体类包含所有的个体，那么由此可得，存在具有任何有限数的个体类。因此，所有的有限的基数都作为个体基数而存在； 即是说，作为个体的类的基数而存在。由此可知，有一个具有■0 基数的类， 即有限基数的类。因而■0 作为个体类的类的类的基数存在。通过形成有限基数的所有的类，我们发现，2■0 作为个体类的类的类的类的基数存在；而我们可以这样无限地做下去。就 n 的每一有限的值来说，可以证明■0 的存在；但是，这需要考虑序数。

如果，除了假定没有一个有限的类包含所有的个体，我们又假定乘法公理（即：给出一组互相排斥的类，其中没有空类，那么至少有一个类是由这组中的每一类的一个元素构成的），那么我们可以证明：有一个个体类包含

  • 0 个元素，因此■0 将作为一个个体基数而存在。这一点在某种程度上将类型化归到我们为了证明对于任何给定的基数的存在定理而必需的类型。但是，这不能给出任何的存在定理，而不这样做迟早是不能得到任何存在定理

的。

涉及到基数的许多基本的定理都需要乘法公理。①可以看出：这个公理等价于策梅罗公理②，因此也等价于每一类都可良序这个假定③。这些等价的假定显然都是不能证明的，虽然至少乘法公理看起来十分自明的。由于缺少证明，看来最好不把乘法公理视为当然的，只把它陈述为每次被使用时的一种假设（Hypothesis）。

  1. 序数

序数是顺序上相似的良序序列的类，即产生这些序列的关系的类。顺序的相似性或相像定义如下：

这里“Srnor”是“顺序上相似”缩写。

序列关系的类（我们称作“Ser”）定义如下：

这就是说，将 P 读作“先于”，一种关系是序列关系，如果（1）没有先于自身的项，（2）一个前趋的前趋是一个前趋，（3）如果在关系的场中 X 是任何项，那么 X 的前趋与 X 以及 X 的后继共同构成此关系的整个场。

良序序列的关系（我们称作Ω）定义如下：

即，如果 P 是序列关系，而包含在 P 的域之中并且非空的任何一个类α具有一个第一项，那么 P 产生一个良序的序列。（注意：■“α是α的某项之后出现的那些项。）

如果用 No‘P 表示一个良序关系 P 的序数，而用 NO 表示序数的类，那么， 我们将得到

从 No 的定义又得出

如果现在从上述定义与类型理论相联系的角度考查这些定义，那么，一开始我们就会看到：关于“Ser”和Ω的定义涉及到序列关系的场。现在，只有当这个关系是齐性的，其场才有意义；因而，不是齐性的关系不产生序列。例如，可以认为关系τ产生序数ω的序列，例如

xτ‘x,τ‘τ‘x,⋯τn‘x,⋯,

而我们可以试图以这一方式证明ω和■0 的存在。但是，xτ‘x 具有不同的类型，因此根据定义，不存在这类序列。

根据上述关于 No 的定义，个体的序列的序数是个体关系的类，因此这个类具有和任何个体不同的类型，并且不能构成个体在其中出现的任何序列的

① 参考作者一篇文章《论超穷数和序型理论中的困难》的第 3 部分，《伦敦数学学会学报》，第二辑，第Ⅳ，第Ⅰ部分。

② 参考上述引文中关于策梅罗公理的一个陈述，以及关于这个公理蕴涵乘法公理的证明的部分。其逆蕴涵证明如下：给定 Prod‘k 作为 k 的乘法类，考虑 并假定那么 R 是一个策梅罗关系。因而，如果 Prd‘Z“cl‘ α 不是空的，那么对于α至少有一个策梅罗关系存在。

③ 见策梅罗：《每一量都可以良序》，《数学纪事》，第 LIX 卷，第 514—516 页。

一部分。另外，假定所有有穷序数作为个体存数存在，即作为个体的序列的序数存在。那么，有穷序数本身就形成一个序列，其序数是ω；因此ω作为一个序数-序数存在，即作为序数的一个序列的序数存在。但是一个序掩序数的类型就是个体的关系类的关系类的类型。因此，ω的存在已在比有穷序数的类型较高的类型中得到了证明。此外，可以从有穷序数中产生的良序序列的序数的基数是■1；因而■1 在个体关系类的关系类的类的类的类型之中存在。由有穷序数组成的良序序列的序数也能按大小顺序排列，其结果是一个其序数是ω1 的良序的序列。因而ω1 作为序数-序数-序数而存在。这个过程可以重复任意有限多次，这样就可能在适当的类型中确立■n 和ωn。对于 n 的任何有限的值的存在。

但是，上述生成过程不再导致所有序数的任何总体，因为，如果我们考虑任何给定类型的所有的序数，总会有更高类型的更大的序数；而我们不可能把一组其类型大于任何有限的界的序数加在一起。因此，任何类型的所有序数都可以通过良序序列中的大小顺序排列，这个良序序列具有比构成此序列的序数的类型更高类型的序数。在新的类型里，这个新的序数不是最大的。事实上，不存在有任何类型的最大序数，但在每一类型中，所有的序数都小于更高类型的某一序数。由于序数的序列升至大于每一可指定的有限的界的类型，因而完成这个序列就是不可能的；因此，尽管序数序列每一节都是良序的，我们却不能说整个序列是良序的，因为这“整个序列”是一个虚构。因而布拉里-弗蒂的矛盾消失了。

从最后这两节可以看出：如果允许个体的数目不是有限的，那么除■ω。和ωω。外（论证两个数的存在也是完全有可能的），可以证明康托尔的所有的基数和序数的存在。不假定任何东西的存在可以证明所有有穷基数和序数的存在，因为，如果有任何类型的项的基数是 n，那么后一类型的项的基数是 2n。因此，如果没有个体，那么就将有一个类（即空类），两个类的类

（一个不包含任何类，另一个包含空类），四个类的类的类，以及一般说来第 n 阶的 2n-1 个类。但是，我们不能把不同类型的项加在一起，因此也不能以这一方式证明任何无穷类的存在。

现在可以总结全部的讨论了。在陈述了某些逻辑悖论之后，我们发现所有的悖论都产生宁这个事实：牵涉某一集合的所有的一个表达式看来自身也指称此集合中的一个；例如像“所有的命题或是真的，或是假的”似乎自身也是一个命题。我们确定，凡是在这种情形出现的地方，我们处理的是一个假的总体。而且事实上对于所假设的集合的所有说的任何话不能是有意义的。为了使这种确定有效，我们解释了关于变项的类型学说，继而讨论了这个原则：牵涉某一类型的所有的任何表达式（如果它指称任一事物）一定指称具有比它牵涉的某一类型的所有更高类型的某些事物。在牵涉某一类型的所有的地方，存在一个属于那个类型的表面变项。因此，任何含有表面变项的表达式都具有比那个变项更高的类型，这就是类型学说的基本原则。只要遵守这个基本原则，建立逻辑类型的那种方式中的变化（如果证明它是必要的）不会影响矛盾的解决。上面解释的建立类型的方法已经表明，它能使我们陈述所有数学的基本定义，同时避免所有已知的矛盾。而且看来在实际上， 类型学说只在涉及存在定理，或者应用于某个个别的情形时才是需要的。

类型理论提出了一些困难的关于它的解释的哲学问题。然而这些问题本

质上可以从这一理论的数学发展中分离出去，而且它们像所有的哲学问题一样引入了并不属于理论本身的非确定性的因素。因此，陈述这个理论而不涉及哲学问题，将这些问题单独处理，看来更好些。