渗透化归转换的思想方法

化归思想是指在处理、解决数学问题时，把那些需要解决的问题通过某种转化过程归结为一类已经解决或比较容易解决的问题.运用化归思想的基本原则是化难为易、化生为熟、化繁为简、化未知为已知、化正为反.

例 2 已知集合

A＝x|x² - 4mx＋2m＋6＝0，x∈R. 若A∩R^{- ≠Φ，求实数m的取值范围.}

分析 集合 A 是方程

x²－4mx＋2m＋6＝0，

(1)

的实数解组成的集合，A∩R^-≠Φ意味着方程(1)的根有：

1. 两负根；

2. 一负根、一零根； (iii)一负根、一正根

1. 种情况.分别求解相当麻烦.上述 3 种情况虽可概括为方程(1)的较小的根

4m −

( −4m)² − 4(2m + 6) 2

＜0，

但此不等式求解也并不简单，怎么办？

如果考虑A∩R^{- ≠Φ的反面：A∩R-}

= Φ，则问题可转化为先求方程(1)

的两根均非负时 m 的取值范围，再应用补集求解就非常容易.

解 设全集I = {m| △ = 16m² - 8m - 24≥0} = {m|m≤ - 1或m≥ 3}.

2

若方程(1)的两根均非负，则有 m∈I，且 4m≥0，且 2m+6≥0，得 m

≥ 3 .

2

因此，{m|m 3 I的补集{m|m≤ - 1}即为所求的m的取值范围.

≥ 2 关于

注 本题应用化正为反的化归思想顺利求解.