挖掘课本建模实例，培养学生创新能力

●尹志春(浙江金华第五中学 321000)

浙江省义务教育全日制初级中学《数学教学指导纲要》中明确要求“引导学生把数学知识应用到生活和生产实际中去，培养学生解决简单实际问题的能力”，“会应用所学知识解决简单的实际问题，能适应社会日常生活和生产劳动的基本需要”.现用省编教材的编排中，充分体现了大纲的这一精神，平时教学中如能去充分挖掘，重视数学建模的教学，引导学生去发现问题，给出解决问题的方法、建立数学模型、用所学知识解决问题，对学生创新能力、解决实际问题的能力的培养大有裨益.下面以省编教材第五册第 145 页“相似三角形应用举例(三)”的教学为例，谈谈自己教学中的一点粗浅体会.

这一节是用相似三角形知识解决生产实际中的某些测量问题，例 1 测电

线杆高，例 2 测河宽，例 3 测人与远处某物距离，课本上实际已给出了测量方法，建立好数学模型，我在教学中，作了如下改进，以测电线杆高为重点内容，尽量让学生自己去动手动脑想出测量方案，建立数学模型，然后应用所学知识去解决问题.

  1. 给出问题 1：应用相似三角形知识，根据下面所给条件，测出底部可以到达的电线杆的高度，要求所测数据尽量少.

挖掘课本建模实例，培养学生创新能力 - 图1

  1. 条件 1：一把长 30cm 的刻度尺，一把长 100 米的卷尺.

由于课本中已有例题，学生容易想出如图 1 的方法，只要知道刻度尺 CD， 臂长 OF，人与电线杆距离 EB，即可应用相似三角形知识求出电线杆高为 AB

＝ EB·CD ．

OF

  1. 条件 2：只有一把长 100 米的卷尺.

引导学生注意课本例 1 和例 3 中用“跳眼法”目测的方法，可目测电线

杆的高度，把条件 1 中的刻度尺用大拇指代替，不过人与电线杆的距离比较远，经计算可知，手臂向前伸直时，眼睛与大拇指的距离约是大拇指长度的12 倍，因此，只需量出人与电线杆的距离 EB，即可求得电线杆高度约为 AB

＝ 1 EB.

12

  1. 条件 3：2 米长标杆一根，100 米长卷尺一把，在阴天测量.

引导学生找出与上述不同的测量方法.注意“2 米长标杆一根”的应用， 经师生讨论，逐渐给出下面方法：如图 2，把标杆垂直坚立某一适当位置 F， 人向着 BF 方向退至 D，使视线看去 O，E，A 在一直线上，B，F，D 也在一直线上，只要测量出人的地面与眼的高度 OD、人与电线杆距离 DB、人与

标杆距离DF，应用相似三角形即可求得电线杆高度AB＝OD + DB(2 - OD)

DF

(“2”即标杆的长度).

  1. 条件 4：2 米长标杆一根，100 米长卷尺一把，在太阳光下测量.

挖掘课本建模实例，培养学生创新能力 - 图2挖掘课本建模实例，培养学生创新能力 - 图3启发学生与条件 3 不同的是有“太阳光线”，除了上述方法外，如何充分利用“太阳光线”这一条件？学生自然想到了影子，经引导给出了各种方法，下面是其中之二.

方法 1：如图 3，把标杆 EF 垂直坚立地面，分别测出标杆、电线杆的影

子DF，BC的长，即可计算出电线杆高度AB＝ EF·BC ．

DF

方法 2：如图 4，把标杆 EF 垂直坚立地面一适当位置，使得电线杆的影子 BC 与标杆的影子 FC 在 C 点重合，则 A，E，C 在一直线上，测量出 CF，

CB的长度，可求出电线杆高度AB＝ EF·BC ．

CF

  1. 条件 5：只给 100 米长卷尺一把，并在太阳光下测量，由于有了条件4

    中的测量方法，现在少了“标杆”的条件，就想到了用“人”代替“标杆” 的作用，在上面方法 1，方法 2 中把“标杆”用“人”代替，可估测出电线杆高度.

挖掘课本建模实例，培养学生创新能力 - 图4挖掘课本建模实例，培养学生创新能力 - 图5

  1. 经过上面的思考，学生对测量建筑物高度的方法已有初步了解，再给出下面“测量底部不能到达的建筑物的高度”的问题.

问题 2：如图 5，河 MN 对岸有电线杆

AB，如何不过河测出电线杆 AB 的高度？应用相似三角形知识解决这个问题虽然有所困难，但由于未受条件限制，启发学生在河岸选定一适合点 P， 把 P 到电线杆距离 PB 与电线杆高度 AB 作为两个未知量，通过两次测量列方程组计算.此问题可让学生作为课外思考题，并告诉学生，在第六册学了三角函数知识后就比较容易解决，为学习解直角三角形的应用打下基础.

在学了第六册第五章《解直角三角形》后，应用三角函数知识，再来解决这个问题，许多同学就能给出方法了.学习了解直角三角形的应用后，我把北京市第一届《高中数学知识应用竞赛初赛试题》第 6 题给学生解答，许多

学生就能轻而易举地解决了.题目如下：“如图 5，有一条河 MN，河岸的一侧有一很高建筑物 AB，一人位于河岸另一侧 P 处，手中有一个测角器(可以测仰角)和一个可以测量长度的皮尺(测量长度不超过 5 米)，请你设计一种测量方案(不允许过河)，并给出计算建筑物的高度 AB 及距离 PA 的公式，希望在你的方案中被测量数据的个数尽量少.”给出的方案其中两个如下：

方案 1：P 地位于开阔地域，则测量方案如图 6 所示，被测量的数据为PC(测角器的高)和 PQ(Q 为在 PB 水平线上选取的另一测量点)的长度，仰角α 和β，则应用解直角三角形知识可求得

AB = PC + PQ ，

ctgα − ctgβ

PQ·ctgβ

挖掘课本建模实例，培养学生创新能力 - 图6挖掘课本建模实例，培养学生创新能力 - 图7PB = ctgα − ctgβ .

方案 2：如图 7，若 P 处也是一可攀登建筑物(如楼房)，则可在同一垂线上选两个测量点，被测数据为 PC 和 CD 的长度，仰角α和β，则可求得

CD·tgα AB = PC + tgα − tgβ

CD

PB = tgα − tgβ .

在平时的教学中，有意识地挖掘、发挥课本中数学建模实例的作用，加强数学建模的教学，对学生的创造能力、解决问题能力的培养是很有好处的， 正如中国数学会教育委员会主任、北京师范大学严士健教授在北京市高中数学知识应用竞赛会议上所讲：“这不在于学生在中学中解决了多少应用问题，只要他有这种感受，有一点经验，知道一点如何把实际问题化成数学问题， 有点初步的能力，有点体会，他将来就可以以小见大.这个意义应该是很大的，对学生的成长有很大好处，这个就是素质教育.”