建立数列模型

对于一些产量增长、细菌繁殖、存款利率、物价调节、人口控制等应用问题，往往需要通过观察分析，归纳抽象，建立出数列模型，然后用数列的有关知识加以解决.

例 3 某一信托投资公司，考虑投资额 1600 万元，建造一座星级饭店，

经预测，该饭店建成后每年可获利 600 万元.试问三年内能否把全部投资收回？假设银行每年复利计息，利率为 15％，若需要在三年内收回全部投资， 则每年至少应获利润多少万元？

建模求解 设每年收益额为 A，年利率为 R，当年投资额为 Q，则 n

年后这笔投资额的实际额为Q(1+ R) ⁿ ，n年收益的总额为

A＋A(1＋R) ＋ ＋A(1＋R) ^n-1

(1 + R) ⁿ − 1

= A· R .

若 n 年恰好还清投资额，则有数列模型：

Q(1＋R) ⁿ = A

(1 + R) ⁿ − 1

R ，

A 1

即 Q = R [1− (1 + R) n ].

代入数据 n=3，A＝600，R＝15％，得 Q≈1369.9 万元. 所以 3 年后不能把全部投资收回.当 Q＝1600 万元时，由

A 1

1600＝ 0.15[1- (1 + 0.15) ³ ]，

得 A≈700.8 万元.

即每年至少应收益 700.8 万元，才能在 3 年内收回全部投资.