六、哥尼斯堡七桥问题——抽象思维的推演

环环相扣，节节相连。

18 世纪，东普鲁士的首府哥尼斯堡是一座景色迷人的城市，普莱格尔河横贯城区，使这座城市锦上添花，显得更加风光旖旋。这条河有两条支流， 在城中心汇成大河，在河的中央有一座美丽的小岛。河上有七座各具特色的桥把岛和河岸连接起来。

每到傍晚，许多人都来此散步。人们漫步于这七座桥之间，久而久之， 就形成了这样一个问题：能不能既不重复又不遗漏地一次相继走遍这七座桥？这就是闻名遐迩的“哥尼斯堡七桥问题。”每一个到此游玩或散心的人都想试一试，可是，对于这一看似简单的问题，没有一个人能符合要求地从七座桥上走一遍。这个问题后来竟变得神乎其神，说是有一支队伍，奉命要炸毁这七座桥，并且命令要他们按照七桥问题的要求去炸。

七桥问题也困绕着哥尼斯堡大学的学生们，在屡遭失败之后，他们给当时著名数学家欧拉写了一封信，请他帮助解决这个问题。

欧拉看完信后，对这个问题也产生了浓厚的兴趣。他想，既然岛和半岛是桥梁的连接地点，两岸陆地也是桥梁的连接地点，那就不妨把这四处地方缩小成四个点，并且把这七座桥表示成七条线。这样，原来的七桥问题就抽象概括成了如下的关系图：

这显然并没有改变问题的本质特征。于是，七桥问题也就变成了一个一笔画的问题，即：能否笔不离纸，不重复地一笔画完整个图形。这竟然与孩子们的一笔画游戏联系起来了。接着，欧拉就对“一笔画”问题进行了数学分析一笔画有起点和终点，起点和终点重合的图形称为封闭图形，否则便称为开放图形。除起点和终点外，一笔画中间可能出现一些曲线的交点。欧拉注意到，只有当笔沿着一条弧线到达交点后，又能沿着另一条弧线离开，也就是交汇于这些点的弧线成双成对时，一笔画才能完成，这样的交点就称为“偶点”。如果交汇于这些点的弧线不是成双成对，也就是有奇数条，则一笔画就不能实现，这样的点又叫做“奇点”。见下图：

欧拉通过分析，得到了下面的结论：若是一个一笔画图形，要么只有两个奇点，也就是仅有起点和终点，这样一笔画成的图形是开放的；要么没有奇点，也就是终点和起点连接起来，这样一笔画成的图形是封闭的。由于七桥问题有四个奇点，所以要找到一条经过七座桥，但每座桥只走一次的路线是不可能的。

有名的“哥尼斯堡七桥问题”就这样被欧拉解决了。

在这里，我们可以看到欧拉解决这个问题的关键就是把“七桥问题”变成了一个“一笔画”问题，那么，欧拉又是怎样完成这一转变的呢？

他把岛、半岛和陆地的具体属性舍去，而仅仅留下与问题有关的东西， 这就是四个几何上的“点”；他再把桥的具体属性排除，仅留下一条几何上的“线”，然后，把“点”与“线”结合起来，这样就实现了从客观事物到图形的转变。我们把得到“点”和“线”的思维方法叫做抽象，把由“点” 和“线”结合成图形的思维方法叫做概括。所谓抽象就是从客观事物中排除非本质属性，透过现象抽出本质属性的思维方法。概括就是将个别事物的本质属性结合起来的思维方法。

抽象和概括的结果是概念。概念反映了事物的本质属性。例如：曾有许多老师教过你，他们其中有姓张的有姓王的、有男的有女的、有年轻的有年老的、有教语文的有教数学的等等，但他们共同特征却是传道、授业、解惑， 也就是传授知识、道理，讲授业务、技能，解答疑难问题。

在概念的基础上，人们可以进行判断和推理，例如，在初中平面几何中有这样一个定理：三角形的内角和等于 180°。这个定理的证明就是以“点”、“直线”、“三角形”、“平行”等概念为基础，通过判断和推理完成的。

（1）a.过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；

b.C 是直线 AB 外一点； c.作直线 CD∥AB。

（2）d.两直线平行，同位角相等； e.CD∥AB；

f.所以，∠1=∠4。

（3）g.两直线平行，内错角相等； h.CD∥AB；

i.所以，∠2=∠5

（4）j. 平 角 等 于 180°； k.∠3+∠4+∠5 是平角；

1.所以，∠3+∠4+∠5=180°。

（5）m.等量可以互相替换； n.∠1+∠2+∠3=∠3+∠4+∠5； o.所以，∠1+∠2+∠3=180°。

这样，我们通过推理就证明了三角形内角和等于 180°。

我们把上面这种运用概念、判断和推理进行的思维叫做抽象思维。抽象思维与动作思维和形象思维不同，它是以概念作为思维细胞的。倘若离开了概念，就不能进行判断和推理，也就不能进行抽象思维了。

在抽象思维中，推理类型是多种多样的，在证明三角形内角之和等于 180

°的过程中，使用的是演绎推理，也就是从一般推出个别的思维方法。除此之外，我们经常用到的还有归纳推理和类比推理等。

所谓归纳推理就是从个别推出一般的思维方法。例如，毛泽东关于“一切反动派都是纸老虎”的论断，就是利用归纳推理得出的，他是这样推理的：

俄国沙皇是纸老虎， 希特勒是纸老虎， 墨索里尼是纸老虎，

日本帝国主义是纸老虎；

俄国沙皇、希特勒、墨索里尼、日本帝国主义都与纸老虎有着必然的联系，因为他们都是反动

派；

所以，一切反动派都是纸老虎。

所谓类比推理是由两个对象的某些属性相同，并且已知其中一个对象还

有其他属性，由此推出另一个对象也可能具有同样属性的一种思维方法，这也是一种由此及彼的思维方法。

传说，鲁班想造一个能出海打鱼的东西，费了许多心思也没有成功。一天，他的妻子去河边洗衣裳，就把脚上穿的一双翻头鞋放在河堤上。一阵风吹来，有一只鞋被吹到河里去了。鲁班的妻子发现后，赶快到河里去捞鞋子，

可是鞋已借风势，顺流漂了下去。鲁班看到妻子赤着脚回家，就问这是怎么回事，鲁班的妻子就把发生的事情告诉了鲁班。鲁班听后，接过另一只翻头鞋仔细地看了看，忽然茅塞顿开，他认识到，如果用木头造一个像翻头鞋这样的东西，不就既能载人又不会沉到水里去了吗？于是，鲁班仿照翻头鞋的样子，造了一只可供出海打鱼的木船。鲁班造船利用的就是类比推理。

抽象思维不仅广泛地应用于数学和科学技术领域，就是在日常生活，也时时在发挥着作用。

有一天，歌德与一位文艺批评家“狭路相逢”。这位批评家生活古怪， 遇到歌德走来，不仅没有礼让，反而卖弄聪明，一边高傲地往前走，一边大声说道：“我从来不给傻子让路！”面对如此尴尬的局面，歌德却笑容满面， 恭敬地闪在一旁，很有礼貌地回答道：“呵呵，我可恰恰相反。”结果故作聪明的批评家，反倒自讨了个没趣。

尽管他们两人各自都只说了一句话，但是我们不难从中发现，这两句话各是两个演绎推理的省略，而这并没有使我们误解双方的用意，反倒更增加了幽默感。

列宁说：“认识过程是一系列的抽象过程，即概念、规律等等的构成、形成过程。”（列宁：《哲学笔记》第 194 页）由于概念和规律等来自于抽象，所以下面我们再谈谈抽象在认识事物本质方面的重要作用。

自然界的事物是纷繁复杂的，事物的本质被隐藏在复杂的现象之中，因此，我们就要善于透过现象把握住事物的本质。例如，上海地面沉降的原因就是通过科学抽象得出的。

据记载，从 1921 年起，上海地面就开始连续下沉。如果不采取措施，势必有一天会沉到海平面以下，到那时，上海可就要“下海”了。

为了查明上海地面沉降的原因，从而找到控制地面沉降的办法，上海水文地质大队进行了大量的调查研究，初步归纳出可能造成上海地面沉降的原因，即：高层建筑的压力，车辆行驶振动的压力，海平面相对上升，开采地下天然气，大量抽取地下水，等等。在这纷纭的原因中，到底哪一个是主要原因？这就需要进行进一步的调查、分析和抽象。

上海水文地质大队的工作人员翻阅了几座大楼的历史资料，发现高层建筑建成以后确有沉降现象，但是沉降率一年比一年小，一般过了 15～20 年， 沉降就停止了，而且沉降只发生在大楼周围局部地区。因此，高层建筑的压力不可能成为上海地面大面积下沉的主要原因。

他们又调查了车辆行驶最集中的火车站附近，发现平均每小时有 300 辆

车经过，而杨浦区平均每小时仅有 100 辆车经过。可是火车站附近的沉降量只有杨浦区沉降量的二分之一。可见车辆行驶振动的压力也不是主要原因。那么，开采地下天然气是不是主要原因呢？据了解，上海市区早就停止开采天然气，郊区也只有极少量开采，不能认为这是主要原因。他们还了解到， 从 1915—1963 年，潮位升幅也不大，总趋势基本稳定，海平面并未上升。因此这也不是主要原因。

上海水文地质大队在深入调查的基础上进行了科学抽象，在 1964 年终于查明了上海地面沉降主要是大量抽取地下水造成的。解放前夕，上海深井有708 口，每天抽水 24 万吨，每年地面沉降量为 35mm。第一个五年计划期间， 深井有 854 口，每天抽水 34 万吨，每年地面沉降量为 54mm。1957—1960 年期间，深井有 1183 口，每天抽水 56 万吨，每年地面沉降量为 98mm。就整个

上海地区来说，尤以用水量最多的东西两个工业区沉降严重，其中又以打深井抽取大量地下水的纺织厂集中的地区沉降量为最大。由此可见，深井越多， 地下水用得越多，地面沉降也就越快。由于大量抽取地下水，地下土层里水分大量流失，土层就压缩变形，因而地面就沉降。所以，大量抽用地下水是造成上海地面沉降的主要原因。

他们通过科学抽象得出的这个结论, 后来为采用向地下回灌水来控制地面沉降的实践证明是完全正确的。