算盘

算盘的历史非常悠久。它似乎是从印度向东西两个方向传播的，但有一种说法认为它是闪米特人发明的，可能源于阿卡德人①。现在，东方仍然使用这种工具，而在西方它仅被用于初等教育。但在古代和中世纪，欧洲曾普遍应用这种计算工具，直至十七世纪。它甚至影响到了算术的书写记法，而后者取代了算盘的应用。原始形式的算盘只不过是些卵石（拉丁语 calculi, 因而有英语动词 to calculate② ），或者其他诸如此类的东西，它们被置于沙土上划出的沟槽里，或摆在划成长条的表上。后来出现了一种我们比较熟悉的形式，即在一个浅底盒子的边上固装着许多互相乎行的等距离的线或杆，杆上串上珠子，可以自由滑动。各相继杆上的珠子形成一个个组合，分别代表各相继位的数值，由此表示一个名数。据说热尔贝（约 1000 年）首先采用算筹（apices），它可以用来代替算珠表示数字。在中世纪的西欧，这种器具有各种名称：mensapythagorica〔毕达哥拉斯表〕（这个名称也用来称呼乘法表）、mensa 或 tabula geometricalis〔几何表〕以及 abax 或abacus〔算盘〕。这种表通行的欧洲形式是用线条将表划分成若干长条

（spacia）以代表相继的各位数。(557)在这些长条中，放上适当数目的算筹，英国人把这整个表称作“计数器”，这个名称一直沿用至今。十五世纪时，这种行式算盘在欧洲商业上广泛采用。通行用算盘算帐。到了十七世纪， 算盘的应用为从意大利传来的笔算法所取代，欧洲各国一般就只有文化水平低下的人在使用算盘了。在中国和日本式的这种工具中，算珠串在杆条上， 每根杆条都被一根隔条分隔为两段，其中一段有五颗珠子，另一段有一颗， 有时两颗。任何度量单位的五以下的数字均可通过将五颗算珠的一颗或多颗拨向隔条来表示；数字五也可以通过将五颗算珠拨回原处，进而拨下另一段上的一颗算珠或两颗中的一颗来表示；六至十的各数字可通过拨动这后一颗算珠和那五颗算珠中的一颗或多颗来表示。数字十也可通过拨动左边邻行上的一颗算珠来表示，余此类推。算盘主要用来做加法和减法，但在中国和日本也巧妙地用来计算较复杂的乘法和除法以及开平方和开立方（见图 296）。

图 296—算盘

^{① 古代闪米特人的一支，古代巴比伦北部的阿卡德王国（公元前三世纪下半期）的居民。——译者}

^{② 此动词意为”计算”。——译者}

(558) 耐普尔骨筹

另一种做乘法的工具是“耐普尔骨筹”即算筹。约翰·耐普尔——对数的发明者——在其《魔杖的研究或用魔杖计算的两书》（Rabdologiae, seu, numerationis per virgulas, libri duo）（爱丁堡，1617 年）一书中描述了这种工具，不过其原理似乎早已为东方人所知。算筹有几种形式，但一般都是每套有十根矩形木杆，每根木杆有四个平整的表面。每个面都划分为九个方块。最上端的方块中写上一个数字，下面诸方块依次写着顶端那个数字相继与 2 至 9 各数的乘积。每个乘积的十位数和个位数用方块上的一根对角线隔开。0 至 9 十个数字都用这种办法处理。图 297（a）所示即为数字 7 的情况。若要用 0 和 9 之间的一个数乘另外一个数，譬如 315×7，那未就将顶端数为 3、1 和 5 的三个面并排放置，如（b）所示；记下各面的第七个乘积，将每个方块上的十位数与其左邻方块的个位数相加。如此相加的各个数字看去都处于一个个小的平行四边形之中。于是，对于乘数 7，我们即可得5、3＋7、1、2，如此便以逆序给出所求之 315 和 7 的乘积为 5、0、2、2， 即积本身为 2205。当乘数是一位以上的数时，将上述过程对每一位数都进行一次；把各个(559)部分积一一记录下来，最后将它们总加起来，同时考虑到每个部分积的位值。每个数字的倍数都在四根不同的算筹上重复出现， 其分配原则是使各数字尽可能自由地相结合以便作乘法运算。

图 297—耐普尔骨筹的使用

十七世纪时，人们对“耐普尔骨筹”进行了多方改革。例如，朔特在 1668 年表明了如何把这些算筹安装在一些可转动的圆筒上，再封装在一个盒子里，这样操作起来就非常迅速。